6Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Лекции по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 6. МАТРИЦЫМатрицы. Основные понятия. Виды матриц. Равенство матрицВспомним определения и обозначения из предыдущей лекции.Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называетсяпрямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.Будем обозначать матрицы заглавными буквами — A, элементы матриц — ij , столбцы, а строки — , транспонированная матрица — .матрицы —Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия:11 ...1n...

... ... ,m=n, матрица, у которой одинаковое числоквадратная матрица, A= ijm,nn1 ...nnстрок и столбцов;матрица-строка,A= 1j11 ...1n ,m=1, матрица, у которой одна строка;j=1,11матрица-столбец, A=i1 i=1,... ,n=1, матрица, у которой один столбец;m1ii ,i=j,0,11диагональная матрица,A=ii i=1,0...0j,022...0............00,a... ijквадратная матрица, уnnкоторой все внедиагональные элементы раны нулю;1 0 ... 00 1 ... 0единичная матрица, E=,диагональная матрица, у которой все диагональные... ... ... ...0 0 ...

1элементы — единицы нулю;0 0 ... 00 0 ... 00,i=1, ,j=1, , матрица, все элементы которой —нулевая матрица, Θ=,a... ... ... ... ij0 0 ... 0нули;1112 ...1n0...222nверхняя треугольная матрица, A= ij...... ... ... ,m=n,aij 0приi>j, квадратнаяm,n00 ...nnматрица, у которой все элементы, расположенные ниже диагонали — нули;0 ... 01102122 ...,m=n,aij 0приi<j, квадратнаянижняя треугольная матрица, A= ijm,n...... ... ...n1n2 ...nnматрица, у которой все элементы, расположенные выше диагонали — нули.В дальнейшем важную роль будет играть ступенчатая матрица:1100...00...12220...00......1r...232r...333r...

... ...0 ...rr0 ... 0... ... ...000...0...013.....................1n2n3n...rn0...,righA=т.е. существует такое число r, 1min m,n , что ij 0для всех i>j, и ij 0для всехпри i>r. Важно понимать, то у ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов.отличны от нуля: ii 0,Пример. Ступенчатые матрицы:1001000002 3 1 2 3 1 02 9,02 9,020 2 0 0 0 0 02 3 4 1 2 3 43 3 9 0 3 3 9 10 5 0 0 0 5 0 0,,0 0 9 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 1 0 00 , 0 1 0,2 0 0 12300392043075 17 0,0 04 02300390043005 17 0,0 00 001003900430057.00Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерностьи равные соответственные элементы:A= ij m,n ,B= ij k,l ,A=B ⇔ m=k,n=l,aij =bij ,i=1, ,j=1, .Линейные операции с матрицами. Линейными операциями называютсяоперации сложения и умножения на число.Определение.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той жеразмерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементовслагаемых: A= ij m,n ,B= ij m,n ,C=A+B= ij +bij m,n .Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности,каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число:A= ij,B=αA= εaij.m,nm,nДля операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:A+B = B+A,A+(B+C) = (A+B)+C,α(A+B) = αA+αB,α(βA) = (αβ)A,(α+β)A=αA+βA,6.

1·A=A,7. 0·A= .Здесь A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности, — нулевая матрица тойже размерности (читается «тэта»), и — произвольные числа.1.2.3.4.5.Умножение матрицОперация умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом.Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равночислу строк второй. Если...1n1112 ...1k...21222n2122 ...2kA= ...,... ...

... ,B= ...... ... ...m1m2 ...mnn1n2 ...nkто произведением матриц A и B называется матрица...111k...212kC= ... ... ... , элементы которой вычисляются по формулеm1 ...mk...+ain ⋅ nj , i=1, j=1, ; произведение матриц A и B обозначается AB:ij =ai1 ⋅ 1j +ai2 ⋅ 2jC=AB.1112Пример.1⋅1 2⋅0 1⋅ 12⋅3 1⋅2 2⋅ 41 51 211 23⋅1 4⋅0 3⋅ 14⋅3 3⋅2 4⋅ 43 4⋅3 90 345⋅1 6⋅0 5⋅ 16⋅3 5⋅2 6⋅ 45 65 13Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:1.

A·B ≠ B·A,2. (A + B) · C = A·C + B·C,3. C·(A + B) = C·A + C·B,4. α(A·B) = (αA) ·B,5. (A·B) ·C = A·(B·C),6. (AB)T = B TA T,7. det ⋅det ⋅ det , A, B — квадратные матрицы одинаковой размерности.610.148. AE=EA=A, A— квадратная матрица, E — единичная матрица соответствующейразмерности.Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичнойматрицыОбратная матрицаОпределение.

Если существует квадратная матрица X той же размерности, что иматрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называетсяобратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1.Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A-1= A-1·A=E.Пример.1 1 111 01 0 01 0 0A= 0 1 1 ,X= 0 11 ,A ⋅ X= 0 1 0 ,X ⋅ A= 0 1 0 , ⇒ X=A .0 0 10 010 0 10 0 1Теорема о существовании обратной матрицы. Если det0, то матрицаAобратима и11...det⋅i1...n1Здесь...............1j...ij...nj...............1n...in....nnij — алгебраическое дополнение элементаij матрицыA.Доказательство теоремы. Докажем, что для матрицы B=...............det⋅...n1...... ...

......1ijini (транспонировали матрицу из алгебраических дополнений)...... ... ...1njn ...nnсправедливо: ⋅ B=B ⋅ A=E.∑k= ik ⋅Вычислим ⋅ B= ∑k= ik ⋅ kj⋅ kj⋅ ∑k= ik ⋅ kj .detdetЕсли i=j, то ∑k= ik ⋅ kj ∑k= ik ⋅ ki det — сумма произведений элементов i-й строкиматрицы A на их алгебраические дополнения. Если же Если, то ∑k= ik ⋅ kj 0—11j1сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на алгебраические дополнения другой (). Отсюда следует, что диагональные (i=j) элементы матрицы ⋅ равныj-й строки,) — равны нулю, т.е. ⋅ B=E.единице, а внедиагональные (Равенство ⋅ A=Eдоказывается совершенно аналогично. Докажите самостоятельно.Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).Для того, чтобы матрица A была обратима, необходимо и достаточно, чтобыdet0.Доказательство теоремы.

Необходимость. Дано: матрица A обратима. Докажем, что det0. Действительно, поскольку A — обратима, то ⋅=Eи det ⋅det ⋅ det0. Отсюда, в частности, следует, что окажем, что det1 0, и, следовательно, detdet.Достаточность. Дано: det0. Но тогда обратимость матрицы A следует из теоремы осуществовании обратной матрицы. Теорема доказана.Теорема о единственности обратной матрицы. Обратная матрица единственна.Доказательство. Докажем «от противного». Пусть это не так, и пусть B=A и C=A ,. Из определения обратной матрицы следует: ⋅ B=B ⋅ A=E, ⋅ C=C ⋅ A=E.Тогда из ассоциативности умножения матриц и свойств единичной матрицы следует:⋅ ⋅ C=E ⋅ C=C, т.е. B=C.Выполним некоторые вычисления: B=B ⋅ E=B ⋅ ⋅доказывает утверждение теоремы.Противоречие с предположениемАналогичными вычислениями можно доказать следующие свойства обратной матрицы:1.⋅=B ⋅.2.=A.Действительно:⋅⋅ ⋅ =B ⋅⋅ ⋅ B=B ⋅⋅ ⋅ B=B ⋅совершенно аналогично, ⋅ ⋅⋅=E, т.е.⋅⋅ E=⋅⋅⋅⋅ A=⋅⋅ B=B⋅⋅ B=E, и.⋅ A=E ⋅ A=A.Нетрудно также доказать, что матрица, обратная к диагональной матрице —диагональная, обратная к треугольной — треугольная, обратная к симметричнойматрице — симметрична.

Докажите эти утверждения самостоятельно.Ниже приведен порядок операций при вычислении обратной матрицы................11...A=...............11...⇒i1...n11j...ij...njПример................i1...n1...............1i...ii...ni1n...in...,detA=Δnn1n...⇒ транспонируем ⇒in...............11......0⇒1i...nn1n11 ......

...1⋅ 1i ...... ...1n ...1 2Вычислим0 50 0j1...ji...jn..............................j1...ji...jnni...nnn1ni...nnсоставим матрицу из алгебраических дополнений:0 65 61⋅∣1⋅∣∣ 10, 12∣ 0, 13110 2211⋅∣2 3∣0 24,221⋅∣1 3∣0 2311⋅∣2 3∣5 63,321⋅∣1 3∣0 62,1матрицу:1004102100Проверим:31061051011 2 30 5 6⋅00 0 20⋅000310351225150⋅∣1330 5∣0 00,1 2∣0 0⋅∣1 2∣0 50,5,36;50, получим обратную3103.51225151⋅∣1236,0;101040 022 0; транспонируем полученную матрицу: 0006 5разделив каждый элемент последней матрицы на detA=101043⇒...31 2 36 :detA= ∣ 0 5 6 ∣20 0 20 2n1...11 0 00 1 0.0 0 1⋅ A= 00251503103 1 2 3⋅0 5 65 0 0 2121 0 00 1 0.0 0 1Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотримсистему линейных алгебраических уравнений+a12...+a1n =b ,...+a2n =b ,21 +a22...............................................+amn =b .m1 +am2111121Обозначим: A= ...m11222...m2............1n2n...

, B= ... , X= ... ,mnA — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.Тогда:......+a1n1n11 +a12......+a2n21222n21 +a22⋅ X= ...тогда и только тогда,... ... ... ⋅ ............+amnm1m2 ...mnm1 +am2когда для элементов матрицы X справедливы равенства рассмотренной системы. Т.е.система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том смысле, что если числа,x ,...,x являются решением рассмотренной системы, то соответствующая матрицаX является решением матричного уравнения; и наоборот, если матрица X являетсярешением матричного уравнения, то ее элементы ,x ,...,x являются решениемрассмотренной системы.Матричные уравнения. Рассмотрим матричное уравнение A·X = B.Если m=n и матрица A обратима, то⋅ =A ⋅ B,A⋅⋅⋅ X=E ⋅ X=X, ⇒ X=A ⋅ ,т.е. получили выражение для решения системы матричного уравненияA·X = B.

Ясно, что по этой формуле можно вычислить решение системы n линейныхалгебраических уравнений относительно n неизвестных (см. запись системы вматричной форме).Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем:X·A = B, X = B·A-1,A·X·B = C, X = A-1·C· B-1,A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A-1·B.1112Пример.1 2 30 5 60 0 21 2 3X= 0 5 60 0 211 2 31Решим матричное уравнение 0 5 6 ⋅ X= 2:0 0 2310⋅ A= 00⋅01 0 00 1 0.0 0 11⋅23110см.предыдущийпример 01 2 3Проверим: 0 5 6 ⋅0 0 201001⋅2310.12.3Формулы Крамера. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравненийотносительно n неизвестных...+a1n =b ,11 +a12...+a2n =b ,21 +a22...............................................+ann =b .n1 +an2...............11...Обозначим: Δ=detA= ∣i1...n11j...ij...nj...............1n...in...∣— определитель матрицы системы, иnn...11 ...1n...

... ... ... ......∣ i1 ...in ∣ — определитель матрицы, полученной из матрицы... ... ... ... ......n1 ...nnсистемы заменой j-го столбца столбцом правых частей.Если определитель матрицы системы отличен от нуля, Δ=det0, то решениесистемы...+a1n =b ,11 +a12+a...+a2n =b ,2122...............................................+ann =b .n1 +an2,...,x0.определяется равенствами:,xДокажем это утверждение. ПустьΔ=detОбозначим X= ...11...⋅ X=i1...n1...............1j...ij...nj..................и покажем, что...⋅1k=1n...⋅...⋅⋅2k⋅1k=...nnnkk=1kk=2kk=.⋅ X=B.Вычислим1kin,...,x⋅...1nkk=.⋅Вычислим определитель разложением по первому столбцу, определитель — повторому, …,— по n-му:......111n... ...