5Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Лекции по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 5. ОпределителиОсновные понятия, определения, обозначенияМатрицы. Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в mстроках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или простоматрицей.Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.Примеры:01 2— квадратная матрица порядка 2, 0.3— прямоугольная матрица,3 42 √310.75 1 9— матрица-строка.0 —матрица-столбец,3Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ] или двевертикальные черты ∥∥∥∥.

Чаще используют круглые скобки.Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же строчной буквойс двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки, второй — номер столбца),столбцы матрицы — той же заглавной буквой с верхним индексом (номер столбца), а строки— заглавной буквой с нижним индексом (номер строки). В сокращенной записи будемзаключать элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы.Таким образом, обозначаем:A — матрица, ij — элемент матрицы A, расположенный в i-й строке, j-м столбце,— j-й столбец матрицы A, — i-я строка матрицы A —...1112...2122ij......

... ...,...mn...ij,j-й столбец матрицы A,mj11211112...,...Пример.— 1-й столбец матрицы A,,...114in02,7ij,¯ ,1,Транспонирование матрицы— i-я строка матрицы A,— 1-я строка матрицы A.02,74 7.Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица,получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называетсятранспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT:211............122122......112112... ,22...mn..................

.mnОПРЕДЕЛИТЕЛИДля каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы,детерминантом матрицы или просто определителем (детерминантом).Определение. Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число,равное единственному элементу этой матрицы: A={a}, detA=|A|=a.Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n>1:11............122122.........

.nnОпределение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядкаn), n>1, называется число, равное11det21∣ ...1222.................. ∣1⋅,nnгде— определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиваниемпервой строки и j-го столбца.Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементыматрицы.Определитель 2-го порядка:∣11122122∣1⋅11⋅111⋅12⋅1211⋅2212⋅21 .Определитель 3-го порядка:∣111213212223313233∣111⋅∣⋅2223323311∣⋅11112⋅∣⋅21233133∣12⋅13112⋅∣21223132⋅13⋅13∣.Введем полезные в дальнейшем определения — минор элемента матрицы, алгебраическоедополнение элемента матрицы.В этих новых терминах определение определителя n-го (n > 1) порядка звучит иначе.Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядкаn), n>1, называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на ихалгебраические дополнения:......2122det∣ ...⋅1⋅....

... ... ∣...nnСправедливо следующее утверждение, которое мы не будем доказывать.1112Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке (столбцу).Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения.Пример. Вычислим определитель разложением по второй строке:31 2 3∣4 5 6∣7 8 91⋅4⋅4 ⋅∣4 ⋅6211⋅5⋅1222 31 31 2∣ 5 ⋅∣∣ 6 ⋅∣∣8 97 97 85 ⋅ 126⋅ 624 60⋅6⋅230.36Следствие.

Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональныхэлементов. (Доказать самостоятельно).Свойства определителейДля определителей справедливы следующие утверждения — свойства определителей.1.2.3.4.Определитель не изменяется при транспонировании: det AT = det A.При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то11...определитель умножается на это число: ∣5.6....12....................................11...in...∣∣12............nn...............Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю.Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю...................in...∣.nnЕсли квадратные матрицы A, B и С отличаются только i-й строкой и при этом iя строка а матрицы С равна сумме соответственных элементов i-х строк матриц A и B,то detC=detA + detB:7.11...∣..................11...in...nn...in∣ ∣..................11...in......∣∣...nn..................in...∣.nn8.Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементылюбой другой строки, умноженные на одно и то же число.9.Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой0,.строки равна нулю:∑ij ⋅ kjПоскольку определитель не меняется при транспонировании — утверждения 2—9справедливы и для столбцов.Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.1321444 572134Пример.

∣ 2 6 4∣ 0,поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.2117 2337Пример.1 2 3∣4 5 6∣7 8 9прибавимко второйстроке первую строку, умноженную на -4 :1 23∣036∣7 89прибавимктретьейстроке первую строку, умноженную на -7 : A1 23∣036 ∣ 0 втораяитретьястрокипропорциональны:0612-4 ⋅ A ⇒-7 ⋅ A ⇒2⋅.4Пример.15∣104⋅⇐108 ⋅∣002100301026013710,48∣012 ⋅⇐4⋅5⋅,102 ⋅∣0024111 ⋅,⇐4 ⋅108 ⋅∣0041∣118⋅11 0 1⋅∣ 0 1 1 ∣0 0 18⋅⇐321021001⋅∣216211 20 18 ⋅∣0 10 41 ⋅47∣21301210∣00⇔41∣13⇐1 1∣0 18⋅2 ⋅1⋅18.38203012428∣4141∣27.