13Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Лекции по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 13Собственные значения и собственные векторы линейного оператораОпределение собственного значения и собственного векторалинейного оператораОпределение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейномпространстве Rn. Число называется собственным значением, а ненулевойвектор ̅ из Rn — соответствующим собственным вектором линейного оператора̅.̅, ̅A, если они связаны между собой соотношением. ̅Примеры.̅ 0⋅ ̅̅ , т.е.1. Нулевой оператор :̅0— собственное значениенулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевыевекторы пространства Rn.2.

Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅̅ — т.е.1собственноезначение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы— все ненулевые векторы пространства Rn.3. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 наподпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:̅, ̅, , ∈ ,, ,0 ∈ ,̅, ,0̅, , 0, т.е.1— собственное значениеоператора, проектирования, а соответствующие собственные векторы — всененулевые векторы R3, третья координата которых равна нулю: , , 0.Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в Rn.Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы̅ или, что то же самое,̅:связаны соотношением̅̅, ̅̅̅, ̅̅,̅, ̅̅ .

Здесь — единичный оператор.̅̅̅̅̅ , где EПо теореме о связи координат образа и прообраза имеем:̅n— единичная матрица, а ̅ — нулевой вектор R .Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым̅ . Ненулевое решение̅решением линейной однородной системыоднородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда итолько тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю: det0.Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть0, а собственные векторы — каквычислены как корни уравнения detрешения соответствующих однородных систем.Легко видеть, что определитель det— многочлен n-й степениотносительно .Определение.

Уравнение det0называется характеристическим— характеристическимуравнением оператора, а многочлен detмногочленом оператора.Примеры.̅ , матрица нулевого оператора — нулевая̅1.Нулевой оператор :0матрица соответствующего порядка, т.е. det0∣...0...0............00∣...10,т.е.0— единственное собственное значение нулевого оператора, асоответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространстваRn.22.Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅ , матрица тождественногооператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е. det∣100...01...0...0...0......... 10, т.е.1 1∣1— единственное собственноезначение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы —все ненулевые векторы пространства Rn.3.Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на̅, ̅, , ∈ ,подпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:, , 0 ∈ , тогда матрица тождественного оператора — единичная матрицасоответствующего порядка, т.е.

det10,т.е.0и1 0 0∣0 1 00 0 01 0 010 1 0∣ ∣ 00 0 101— собственные значения оператора.10000 ∣Найдем соответствующие собственные векторы.Пусть0, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения̅ 0,0,т.е.системы1 0 00,0,0, свободная переменная,т.е. вектор0 1 0⋅0 0 00̅0— собственный вектор оператора, отвечающий собственному значению10 00и, следовательно, все векторы вида С 0 0 — собственные векторы оператора,1отвечающие собственному значению0.Теперь положим1, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые̅ 0,1,т.е.решения системы0 0 00,0, , свободные переменные,т.е.

векторы0 0 0 ⋅0 0110̅0, ̅1— линейно независимые векторы, которые являются собственными00векторами оператора, отвечающими собственному значению1и, следовательно,10 Свсе векторы вида С 0 С 1 С — собственные векторы оператора, отвечающие000собственному значению1.4.. Оператор U поворота пространства R2 на угол φ относительно началакоординат против часовой стрелки:̅, ,U̅cossin , sincos .Матрица оператора∣detcossincossincossinsincos2λcossin, тогдаcoscos1 0∣ ∣sin0 11 0,4cossin∣cos44sin0.Характеристическое уравнение имеет единственный корень1прии0 001при0,2π. Если,1, и̅ 0, ⇔, ,0 00свободные переменные,т.е. соответствующие собственные векторы — все ненулевыевекторы пространства R2.При— оператор поворота не имеет собственных векторов.3И, наконец, при0и2π,1, оператор поворота совпадает стождественным оператором, собственные значения и собственные векторыкоторого вычислены выше.Однако, все приведенные выше рассуждения относились к матрице оператора,записанной в некотором определенном базисе в пространстве Rn.

А поскольку впространстве Rn существует много различных базисов, то может возникнутьвпечатление, что собственные значения зависят от выбранного базиса. Докажем,что это не так.̅ , ̅ ,..., ̅ — два базиса в Rn, а → — матрица переходаПусть̅ , ̅ ,..., ̅ и̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е.от базиса̅ , ̅ ,..., ̅ к базису⋅ → ,⋅→ ⋅→ ⋅.Тогда→detdetdet→⋅det⋅→det→det→⋅→⋅→→⋅⋅→⋅⋅⋅ det⋅→⋅ det⋅ detdet→→→⋅ detт.е. характеристическое уравнение инвариантно, не зависит от базиса и его корни— собственные значения оператора — не зависят от базиса.Пример (ТР Линейная алгебра, задача 9).

Найти собственные значения исобственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе133матрицей05603.4Решение. Запишем характеристическое уравнение:∣105603 ∣1∣21,1563418Собственные значения оператора2.Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению̅,̅,̅,̅̅, ̅̅̅1:det330, 11210,4110035 13364 13 1 2,2x1,21, ̅00330,10— собственному значению1собственных вектора ̅ и ̅ .̅412.1,066∣152003→1302x,020011→00012,323321,005 2364 20,0,2отвечает собственный вектор ̅ .2001001отвечают два линейно независимыхНайдем собственный вектор, отвечающий собственному значению̅,̅,̅,̅̅, ̅̅̅2det30333 60,,̅013→0600112:01 0 01→0 1 110 0 001— собственному значению14Проверим.̅ ,̅̅1330561330560 23⋅14 00 003⋅ 124 1221021⋅1002 11Ответ: собственные значения оператора:собственные векторы: ̅21, ̅010, ̅101.1̅ ,133̅0560 13⋅04 110111⋅01̅ .

Верно.1,2; соответствующиеСвойства собственных векторовДля собственных значений и собственных векторов линейного операторасправедливы следующие утверждения:n1) характеристический многочлен оператора, действующего в R являетсямногочленом n-й степени относительно ;n2) линейный оператор, действующий в R , имеет не более n различныхсобственных значений;3) собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянногосомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичнойдлины — орты собственных векторов;докажем, что если ̅— собственный вектор линейного оператора A, отвечающийсобственному значению , то для любого отличного от нуля числа вектор ̅(0)— собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению :̅̅̅̅;4) корни характеристического многочлена не зависят от базиса;5) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,линейно независимы.Докажем линейную независимость собственных векторов, отвечающих различнымсобственным значениям.Пусть ̅ — собственный вектор линейного оператора A, отвечающийсобственному значению , а ̅ — собственный вектор линейного оператора A,отвечающий собственному значению ,: ̅̅ и ̅̅ .Предположим, что векторы ̅ и ̅ линейно зависимы.

Это означает, что один изних линейно выражается через другой: существует такое число0, что ̅̅ . Тогда:̅̅̅αλ ̅̅̅ .Собственный базис линейного оператора. Матрица линейногооператора в собственном базисеЕсли линейный оператор, действующий в Rn, имеет n различных собственныхзначений, то собственные векторы оператора образуют базис в Rn.Действительно, ведь мы доказали, что они линейно независимы.Определение. Базис, составленный из собственных векторов линейногооператора называют собственным базисом оператора.Если ̅ , ̅ ,..., ̅ — собственный базис оператора A, то, поскольку̅̅ ,томатрица оператора в этом базисе — диагональная матрица с собственнымизначениями на диагонали.5Пример. Найти матрицу оператора из предыдущего примера в собственномбазисе.

Оператор в предыдущем примере задан в некотором базисе матрицей13305603.4Решение. В предыдущем примере найдены собственные значения1,21, ̅0̅10, ̅12и соответствующие собственные векторы оператора —01.1Собственные векторы оператора образуют базис в R3. Далее.Первый способПоскольку в базисе ̅ , ̅ , ̅̅̅1⋅ ̅1 00 10 0̅ , ̅ , ̅10,0̅00.2̅̅1⋅ ̅̅01,0̅̅2⋅ ̅2 ̅00и2Второй способЗапишем матрицу перехода от исходного базиса — к собственному базису̅ , ̅ , ̅ :1 00 10 000.22 11 00 101. Тогда12 11 00 1⋅̅ , ̅ , ̅Решения, полученные обоими способами совпали.Ответ:̅ , ̅ , ̅1 00 10 000, ̅221, ̅010, ̅101.10111330560 2 13⋅1 04 0 1011.