11Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Лекции по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 11Линейный оператор и его матрицаЛинейный оператор. Основные понятияОпределение. Если каждому элементу ̅ из пространства Rn ставится всоответствие единственный элемент из пространства Rm , то говорят, чтозадан оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rm (илиоператор, действующий в пространстве Rn, если n=m).Результат действия оператора A на элемент ̅ обозначают̅ .Если элементы ̅ и связаны соотношением̅ , то называют образом ̅ ; а ̅ —прообразом .Множество элементов пространства Rn, для которых определено действиеоператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).Множество элементов пространства Rm, которые являются образами элементов изобласти определения D(A) оператора A, называют образом оператора A иобозначают Im(A).

Если̅ , то ̅ ∈⊂ , ∈ Im⊂.Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства Rn,образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A):̅, ̅ ∈Ker̅: ̅.Определение. Оператор A, действующий из пространства Rn в пространство Rmназывается линейным оператором, если для любых , ̅ из Rn и для любогодействительного числа α справедливо:.̅̅иПримеры̅ — линейный оператор, D()=Rn, Im̅,1. Нулевой оператор :̅nKer()=R .Докажем линейность нулевого оператора:̅,̅,̅,̅̅̅̅̅̅̅;̅̅̅̅̅,̅,̅̅ .2.

Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅ — линейный оператор, D(I)=nn̅R , Im(I)= R , Ker.Докажем линейность тождественного оператора:̅̅, ̅̅,, ̅̅̅;̅̅,̅̅,̅̅ .3. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 наподпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:̅, ̅, , ∈ ,3 32, , 0 ∈ линейный оператор, D(P2)= R R , Im(P2)= R , Ker.Докажем линейность оператора проектирования:̅,̅, 0,,,,, 0,,̅̅̅,̅,,0,, 0,,0,, 0,̅,̅.4. Оператор U поворота пространства R2 на угол φ относительно началакоординат против часовой стрелки:2, ,̅cossin , sincos — линейный оператор, D(U)= R ,̅̅.Im(U)= R2, KerДокажем линейность оператора поворота:,,,, 0,̅,̅2,cos̅̅,̅sin , sincossin ,cos̅,̅̅coscoscos ,sincossin ,̅̅̅cossincossin ,sin,sin ,cossin ,coscoscos ,cos ,cossinsinsin , sinsin , sincos ,Замеч,sin ,coscoscos ,sinsinsin ,cos̅аниеЛинейный оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rn(действующий в Rn) называют линейным преобразованием пространства Rn.Матрица линейного оператораПусть — линейный оператор, действующий из пространства Rn в пространствоRm , ̅, ̅, ,..., ∈ ,, ,...,∈.nЭто означает, что в некотором базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ в R и в базисе ̅ , ,..., ̅ в Rm имеютместо разложения:̅̅ ...̅̅.∑∑̅̅̅...̅̅,Поскольку A — линейный оператор, то̅̅̅̅ .m̅Но ̅ ∈ следовательно, ̅ ∑, ,..., mi — вектор из R ,ji ,т.е.компоненты которого — координаты образа базисного вектора ̅ .Продолжим вычисления:∑̅∑1121...Тогда∑∑̅̅ .Обозначим...12...22...

... ... ....nn̅ ,т.е.ji∑̅̅∑∑ji̅∑̅∑ji̅.Формула̅ связывает вектор-столбец ̅ координат образа с векторомстолбцом координат прообраза, столбцы матрицы A — координаты образовбазисных векторов.Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образовбазисных векторов некоторого базиса в Rт —...

,̅̅...mj̅mj— называется матрицей линейного оператора A в заданных базисах.Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначениелинейного оператора, A(светлая) или Aef — обозначение матрицы оператора A в̅ , ̅ ,..., ̅ .некоторых базисах или в базисе̅ , ̅ ,..., ̅ иТаким образом, доказана следующая теорема.Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространствах Rn и Rmопределены некоторые базисы ̅ , ̅ ,..., ̅ и ̅ , ,..., ̅ , ̅ ∈ , ∈ — и̅ , товекторы-столбцы их координат ̅ ∈ и ∈в этих базисах связанысоотношением̅ , где A — матрица оператора A в этих базисах.Между множеством линейных операторов, действующих из пространства Rn впространство Rm , и множеством прямоугольных матриц размерности m, n можноустановить взаимно однозначное соответствие.3Примеры̅ 0,0,..., 0,то̅1.

Матрица нулевого оператора: поскольку̅̅0,0,..., 0,1, и, следовательно, матрица нулевого оператора — нулевая матрица.2. Матрица тождественного (единичного) оператора: поскольку ̅̅ , то̅̅0,0,..., 0,1,0,..., 0,1, (единица на i-м месте) и, следовательно, матрицатождественного оператора — единичная матрица.3. Матрица оператора проектирования пространства R3 на подпространство R2̅ , то у1,0̅ ,0,1,̅параллельно вектору ̅ : посколькуматрицы P оператора проектирования последний столбец — нулевой; она имеет1 0 0вид.0 1 04. Матрица оператора U поворота пространства R2 на угол φ относительноначала координат против часовой стрелки:Поскольку̅cos ,sin ,̅sin ,cos , то матрица U оператора поворотаcossinимеет видsin.cosДействия с линейными операторамиДля линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которымимы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейныеоперации — операции сложения и умножения на число, а также операциюумножения операторов.Определение.

Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rnна∩и действующий следующим образом:̅̅̅.Определение. Произведением оператора A на число называется оператор,определенный в Rn на и действующий следующим образом:̅̅ .Определение. Произведением операторов ⋅ называется оператор,определенный в Rn на и действующий следующим образом: ⋅ ̅̅.Нетрудно доказать, что сумма, произведение на число и произведениелинейных операторов — линейный оператор.Действительно: для любых двух векторов ̅ и из Rn и любого числасправедливо: ⋅ ̅̅̅̅⋅ ̅⋅ ,⋅̅̅̅̅⋅ ̅.Нетрудно также доказать, что матрица суммы операторов в некоторыхбазисах равна сумме матриц слагаемых в тех же базисах; матрица оператора,являющегося произведением оператора на число — произведению матрицыоператора на число; матрица произведения операторов — произведению матрицсомножителей.Пример — Задача (ТР Линейная алгебра, задача 6)Пусть A и B — операторы, действующие в R3 :̅, , , ̅,2 ,2и ̅,2 ,.Найдем ⋅3B.В качестве дополнительного задания докажем линейность операторов, найдем ихматрицы.РешениеСначала выполним дополнительное задание.Докажем линейность оператора A:̅̅∣̅̅∣ ̅,,∣,,2 ,2,,2,2∣, 2x2y , 2x,2 ,2,2 ,2,2,22y̅̅4Очевидно, что оба равенства справедливы для произвольных векторов ̅ и, , и любого числа .Докажем линейность оператора B:̅∣̅,̅,∣ ̅∣,2,,, 2x 1,2 ,,,2 ,∣2y ,,2 ,,2̅,̅Очевидно,̅что оба равенства справедливы для произвольных векторов ̅ и, , и любогочисла .Запишем матрицу оператора A: ̅,2 ,2,̅∣ ̅1,0,0 ∣ 1,0,2,∣ ̅0,1,0 ∣1,0,0,̅̅∣ ̅0,0,1 ∣ 0,2,1;запишем координаты образов базисных векторов столбцами — получим матрицуоператора A:1021 00 2.0 10211 00 0.0 1Запишем матрицу оператора B: ̅,2 ,,̅∣ ̅1,0,0 ∣ 0,2,1,̅∣ ̅0,1,0 ∣1,0,0,̅∣ ̅0,0,1 ∣ 0,0,1;запишем координаты образов базисных векторов столбцами — получим матрицуоператора B:Перейдем к решению самой задачи: найдемПервый способ решения задачиСначала найдем 3B: ̅,2 ,, 3B ̅Затем найдем ⋅ : ̅,2 ,2,̅̅,2 ,22x , 42x , 43B.⋅3x , 6 , 32x , 22x2x⋅ :⋅̅̅2x , 42x , 42x2x , 22x ,2x2x2x2x4x4x2x , 22x4x , 53xи, наконец, найдем ⋅3B:3B ̅⋅̅ 3B ̅⋅2x , 22x4x , 53x3x , 6 , 34x4x3x2x , 82x4x , 83x2xПолучили:Второй способ решения задачиСначала найдем матрицу оператора1021 00 2,0 10211 00 0,0 1⋅3B:,23x3x ;2xтеперь найдем5⋅3B0210211 010 000 121 010 040 144 022531 011 000 20 0 2 320 12 0 1112 03 06 0 0022 13 0 32 03 006 0 013 0 343282483 2и тогда⋅3B ̅48832324⋅24x8x8x3x2x3x1 00 00 12x4x .2xСравним с результатом, полученным первым способом:⋅3B ̅4x3x2x , 82x4x , 63x— полное совпадение.Задача решена верно..