1. Математический анализ (Лекции по курсу Математический анализ)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции по курсу Математический анализ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
||||||||| ( !"#)||||||||||||||||||||||||||{.. , .. % " !!""# " $ %#& '"#& '2000517-312:517(075.8) ! "#$ %& ' &!( ( &' %) &*+ !%!,-.:%. )!..{. %, ). 1.$.23( .., .."!&%!+ !.: &!./ . 5.6.6%. |".: $. 3& "#$, 2000.
| 180 c.ISBN 5-7046-0605-9; & %!'! %-!!, !*!&( ! . !< )% 3< "#$ ! ( . = &(> &!&%' !. ( , !))-!!, !&& !)%-!+ & >3? !.<), % &&!?&( && <!&%!< .<. ( !&-!' !.!( !&%' !. &!&< &-! 3&+ <!&%!< ..IBSN 5-7046-0605-9c "&%&%!+ @'!&%!+ !&!, 2000 , I . " "$ % ", " & % '().' " . $ * % '(). $ && & . " , " " *, " % % . $ * , * %. $ + ., "$ % " " 780 , * : , , 1 , " .2 % , & '(), * " " * " , " " " % .
$ + " % , 1 * , " " 1 " .$ * . + , * " 4 1 , " , * % , " ".4 " " "$ % " " '(). $ * " " "5 % , 1 %, , 1 +. " % %. 6 % < , { >.,* " " " 1 , '() . 2 * , , , ". % , " , , * " , % . 4 % * " %, % , " " " %. % * " , * . * . 8 , , * 1 ( * , , ).8 , , 1 . * 5 , % ( * * ). < % , *1 . 6 % % . 6 * % , % . , %, .
% , , . = , $ %, $ " % . > .? , $ " , %, " % , *1 , % * , *.' " . ? " . $ 1 $, +&& * (), , * .) * % ", ,1 . " + &.> " <8.@., ) $.)., A% 2.$. " % 1 , .6 1 $ + & . 2 &&& { .
1.1. = &xn = f (n) n " x1 x2 : : : xn : : : fxng.< x1 x2 : : : xn : : : . 1.2. D a fxng, ", " " > 01 N , n > N jxn ; aj < ".": a = nlim!1 xn.? * + " :8 { "1 ( " "" " ").9 { 1 ( " 1 " " ").nlim!1 xn= a 8" > 0 9N : 8n > N jxn ; aj < ":E jxn ; aj < " , xn a %, ". 8 " , xn " a. ) , a = nlim!1 xn, xn" a n, " % N . > " * " , fxng " a " % n.7(1) 1.1.
4 n .$ 1 12 13 : : : n1 : : :, n, % 1 0 " % n.1 = 0:limn!1 n?* +, . 1 ; 0 = 1 < " n > 1 : nn"* N = 1" . 28" > 0 9N = 1" : 8n > N j n1 ; 0j < ":1 = 0.( , nlim!1 n( 1 n ) 1.2. 4 n sin 2 .< 1 0 ; 13 0 41 0 ; 15 n1 sin n2 :?*, 1 sin n = 0:limn!1 n2 1 sin n ; 0 = 1 sin n 1 < " n > 1 :n n22 n"+1n18" > 0 9N = " : 8n > N n sin 2 ; 0 < " .8 1.1.
D " ( . 1.1), " ( . 1.2). 1.3. 4 f(;1)ng ; 1 1 ;1 1 : : : (;1)n : : : :*, + .nnnlim!1(;1) 6= 1, n (;1) " 1. 6, " = 1 " j(;1)n ; 1j < " = 1 n , , 1 N , " n > N "j(;1)n ; 1j < ".nnnlim!1(;1) 6= ;1, j(;1) ; (;1)j < " = 1 n.n 6= 0, " = 1 j(;1)n ; 0j < " = 1 lim(;1)n!122 n. a f(;1)n g. = ,nnlim!1(;1) 9F( 9F 1 ).n 9F. 1.4. nlimsin!1 2?* . 1.1 ( ). - , ..2 nlim!1 xn = a * nlim!1 xn = b.nlim!1 xn= a ) 8" > 0 9 N1 : 8n > N1 jxn ; aj < "nlim!1 xn= b ) 8" > 0 9 N2 : 8n > N2 jxn ; bj < ":( A ) B " A B ").9 N = max(N1 N2), .e. N " % N1 N2 , N1 = N2, N = N1 = N2 . 28n > N jxn ; aj < " jxn ; bj < " ..jxn ; aj + jxn ; bj < 2"j(xn ; a) ; (xn ; b)j jxn ; aj + jxn ; bj < 2"jb ; aj < 2":6, a 6= b, * , , " = jb ;2 aj .
? " > 0 * a = b, . 1.3. fxng , 1 M > 0, 8n jxnj M:$ 1.1{1.4 , 8n jxnj 1 (M = 1):4 (.. 1 ). 1.5. fng 1 2 3 : : : n : : ::< xn = n 9F M > 0, " 8n jxnj M: , "" % M , jxnj " " % M n > M: = , fng { .n : 1.6. fn sin ng,10;2030;4nsin22n< xn = n sin 2 .
) 0, 9F M > 0, " jxnj M n. = , . 1.2. . , 10 9 nlim!1 xn = a:$ " " > 0. ? + .9N : 8n > N jxn ; aj < ":) , jxnj = ja + (xn ; a)j jaj + jxn ; aj < jaj + ", ,8n > N1 jxnj < jaj + ": N { % , " % N1.* M = max(jx1j jx2j jxN j jaj + ") :(? " " % 1 .)28n jxnj M.. fxng . 2 .!. 8 , .()n fng n sin 2 , 1.5,1.6, . 8 " , * "" 1.2 " , . 1.4.
fng , -nlim!1 n= 0:) , fng { " , 8" > 0 9N : 8n > N jnj < ", , " % " .11 1.3 (" #$%&'( )*( "&'%+ &,$-&$*). fn g fn g { #, fxng { , fn + ng fn ; ng fnxng fnng #.1) $ " > 0.2 fng { " , 2"9N1 : 8n > N1 jnj < 2" :2 fng { " , 9N2 : 8n > N2 jnj < 2" :* N = max(N1 N2): 2 8n > N " " jnj < 2" jnj < 2" jn + nj jnj + jnj < 2" + 2" :.2 " > 0 " " , 8" > 0 9N = max (N1 N2) : 8n > N jn + nj < ".. (n + n) { " .2) > , (n ; n) { " .3) 2 fxng { , 9M > 0 : 8n jxnj M:$ " > 0.2 fng { " , M"9N : 8n > N jnj < M" :12 , jnxnj < M" M = ":2 " > 0 " , ,8" > 0 9N : 8n > N jxnj < " + , fnxng { " .4) 2 fng { " , 9 nlim!1 n = 0J 1.2 fng fnng " .2 .
1.7. 4 ( 1 n )n sin 2 :1 = 0 ( : 1:1):limn!1 n(1)= , n { " .8n n sin 1:2= , fsin n , 2 g { ( 1 n ) n sin 2 { " .1 sin n = 0:limn!1 n2<, n1 sin n1 , 2 * sin n2 1 ( . 1.4).13 1.4. , # fxng , # a, , # # fng { xn = a + n (n = 1 2 )(1:1) . 9 nlim!1 xn = a: 28" > 0 9N : n > N jxn ; aj < ": .8 * n = xn ; a, xn = a + n fng { " , 8n > N jxn ; aj < " ) 8n > N jnj < ":= , (1.1) " . .
, ", (1.1). 2, fng { " , 8" > 0 9N : 8n > N jnj < " ) jxn ; j < ":, , 9 nlim!1 xn = a, (1.1). 1.5. 8 xn = C (n = 1 2 : : :), fxng .<, , 8n jxnj = jC j (M = jC j):= 1 * ( ).8 9 nlim!1 xn = a 9 nlim!1 yn = b, fC g { , * 1 141: nlim!1 C = C2: nlim!1 Cxn = C nlim!1 xn3: nlim!1(xn yn ) = nlim!1 xn nlim!1 yn4: nlim!1(xnyn ) = nlim!1 xn nlim!1 ynyn = nlim!1 yn lim xn 6= 0:5: nlim!1 xn nlimn!1!1 xn 1 , jC ; C j = 0 < " 8n.. jC ; C j < " 8" > 0 8n (* N = 0). 2 .
1.4xn = a + n fng { " .Cxn = Ca + Cn : 1.3 fCng { " (fC g { ).= , 1.4nlim!1(Cxn ) = Ca = C nlim!1 xn: 3 . 1.4xn = a + n yn = b + n fng fng { " .xn yn = (a b) + (n n):15 1.3. fn ng { " .= , 1.4,nlim!1(xn yn) = a b = nlim!1 xn nlim!1 yn: 4 .xnyn = (a + n)(b + n) = (ab) + (an + bn + n n): 1.3 , " fang fbng fnng fan + bn + nng, , 1.4nlim!1(xn yn) = ab = nlim!1 xn nlim!1 yn: 5 .2 nlim!1 xn = a 6= 0, " % n y xn " a* 6= 0 % xn .
(E " jxn ; aj < " a ;n " < xn < a + " , " (" < jaj), xn 6= 0.) ? " , xn 6= 0 8n:yn = b + n = b + b + n ; b ! = b + an ; bn :xn a + n a a + n a a a2 + an fang fbng , , fan ; bn g { " .4 ( 1 )fzng = a2 + a :n*, .2 fang { " , 22aa" = 2 9N : 8n > N1 janj < 2 . a2 + an2a> 2 ) 0 < a2 +1a < a22 :n16 N { ! , " % N1.
2* M = max jz1j jzN j a2 . 2(8n jznj M)1.. a2 + a .n 1.3 ()1(an ; bn) a2 + an " 1.4yn = b = nlim!1 yn :limn!1 xna nlim!1 xn 1.6. 8 xn = 1limn!1 yn fxng fyng )#.":xn yn:<, + yn = 1limn!1 xn 5 11 = 1 = 1:limxn!1 n1yn 1.8. (2n2 + 3) 2n2, !2+333 0 0 = 1:12n=lim1+=1+limn!1n!1 2n22 n2217 1.9. (4n2 ; n) 4n2, 1 1!2;n4n1 0 = 1:lim=lim1;=1;2n!1 4nn!14 n4x0n , 9 lim xn 1.5.
xn x0n yn yn0 9 nlim!1 yn0n!1 yn0nxxnnlim!1 yn = nlim!1 yn0 :.0yyxnnn9 nlim!1 yn0 = 1J 9 nlim!1 yn = 1 )!1 x0n = 1J 9 nlimx0n, yn0 , yn " % nxn = xn x0n yn0 :yn x0n yn0 yn 40n0nxxxn9 nlim!1 yn = 1 nlim!1 yn0 1 = nlim!1 yn0 :2 , % % * +. 1.10.4n2 ; n = lim 4n2 = lim 2 = 2:limn!1 2n2 + 3 n!1 2n2 n!1 1.7. fxng *, -8M > 0 9N : 8n > N jxnj > M:$ jxnj > M " M > 0, , " " %, , jxnj " % n.18 1.11. 4 fn3g 1 23 : : : n3 : : :., n p " % " % n. jn3j = n3 > M , n > M.p* N = M , p8M > 0 9N = M : 8n > N jn3j > M:333= , fxng { " " %.8 fn3g " " %, , 1 M > 0, , " " % n jxnj M: 6", " " % M > 0 , N , n > N " * jxnj > M:) " " % , ( .