Поверхностные интегралы

Глава 7. Поверхностные интегралы.Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассматриваются интегралы двух типов: поверхностныеинтегралы I-го и II-го рода, их определения аналогичны соответствующим определениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностногоинтеграла II-го рода на поверхности необходимо задать ориентацию. Как и длякриволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхностные интегралы I-го и II-го рода.

Однако в отличие от кривой, которая определяется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо ужедва параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного интеграла Римана, как для криволинейных интегралов).7.1. Поверхностный интеграл I-го рода.В трехмерном пространстве с декартовой системой координат ОXYZ рассмотрим кусочно-гладкую (определение было дано в п.5.1 главы 5) поверхностьΩ, ограниченную кусочно-гладкой (определение в п.6.1) кривой Г = Г(Ω). Вчастном случае замкнутой поверхности (например, сферы) ее граница представляет собой пустое множество, а значит также является кусочно-гладкой.Пусть на поверхности Ω задана функция f (M), где M = M (х, у, z) – точкана поверхности, а (х, у, z) – ее декартовы координаты.

Пусть функция f (M) непрерывна на поверхности Ω, т.е. в ранее введенных обозначениях f(M) ∈ С(Ω).Зададим разбиение T поверхности Ω с помощью произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части Ω1, Ω2, …, Ωn (рис. 1). В каждой из этихчастей Ωk выберем по произвольной точке Mk с координатами (ξk, ηk, ζk), исоставим интегральную сумму:121ST =n∑k =1f ( M k ) ⋅ Ωk =n∑ f (ξk ,ηk , ζ k ) ⋅ Ωk ,(1)k =1где Ωk – площадь поверхности Ωk (определение площади поверхности см. вп.4.4 главы 4 ).ΩΩ3…Ω2Ω1ΩnРис.1.

К определению поверхностного интеграла I рода.Определение 1. Пусть P и N – произвольные точки части Ωk поверхности Ω. Соединим эти точки дугой γ гладкой кривой, целиком лежащей в Ωk.Обозначим через γ(P, N) длину этой дуги, а через ℓ (P, N) – длину самой короткой дуги, соединяющей точки P и N и целиком лежащей на поверхности Ωk:( P, N ) = min γ ( P, N ) . Диаметром части Ωk поверхности Ω назовем величинуγd ( Ωk ) =supP , N ∈Ω k( P, N ) .Диаметром dT разбиения T будем называть наи-больший из диаметров частей:dT = max d ( Ω k ) .1≤ k ≤ nЗамечание 1.

Данное определение самой короткой дуги ℓ(P, N) не вполне корректно. Действительно, пусть длины ℓ1, ℓ2, ℓ3, …, ℓm, … некоторых дуг,соединяющих точки P и N образуют последовательность чисел: 1/2, 3/8, 1/3,1225/16, …, (1/2 – (m – 1)/(4m)), … . Как легко видеть, предел этой последовательности равен 1/4, в то же время ни одна из дуг не имеет длины, точно равной 1/4(все они больше этого значения). В таком случае записывают (аналогично тому,как это делалось при определении диаметра множества в пункте 4.1 главы 4):( P, N ) = infnn=1.4Запись (от латинского infinum – низший):b = inf f (a )a∈Aозначает, что для всех значений a из множества A значение функции f (a) неменьше, чем величина b, но при этом для любого значения ε > 0 найдется такоезначение аε из множества A, что функции f (аε) в этой точке окажется меньшей,чем b + ε.Таким образом, точное определение величины( P, N )в определении 1должно быть дано следующим образом:( P, N ) = inf γ ( P, N ) .γОпределение 2.

Поверхностным интегралом I-го рода от функции f (M)по поверхности Ω называется предел интегральной суммы (1) при бесконечномувеличении числа n частей разбиения Ωk и бесконечном уменьшении диаметраdT разбиения, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения T, ни от выбора точек Mk:nST = lim ∑ f ( M k ) ⋅ Ω k∫∫ f ( M ) d Ω = ∫∫ f ( x, y, z ) d Ω = dTlim→0dT →0Ω.

(2)k =1ΩДля поверхностного интеграла используются и другие обозначения:∫∫ f ( x, y, z ) dσ , ∫∫ f ( x, y, z ) dS .ΩΩ123Сформулируем без доказательства теорему о существовании поверхностного интеграла I-го рода:Теорема 1. Если Ω – непрерывная кусочно-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г(Ω), и функция f (M) непрерывна на ней, топоверхностный интеграл I-го рода (2) от функции f (M) существует и определеноднозначно.Обратимся теперь к вычислению поверхностного интеграла I-го рода.Теорема 2. Пусть Ω – гладкая поверхность, заданная на ограниченнойобласти D плоскости OXY уравнением: z = g(x,y), где (x,y) ∈ D, и пусть функция f (M) непрерывна на этой поверхности.

В этом случае поверхностный интеграл I-го рода от функции f (M) находится по формуле:∫∫ f ( M )d Ω = ∫∫ f ( x, y, g ( x, y ) ) ⋅ΩD(1 + g ′x2 + g ′y2 ) dxdy.(3)Доказательство теоремы 2. Спроектируем на плоскость OXY множество кривых, разбивающих поверхность Ω на части Ωk (рис.2). Получим врезультате разбиение области D на части Dk.ΩZΩkYDkXDРис.2. К доказательству теоремы 2.124По формуле из пункта 4.4 главы 4 имеем выражение для площади поверхности Ωk:Ωk =∫∫Dk(1 + g ′x2 + g ′y 2 ) dxdy .Это равенство можно преобразовать, применив теорему о среднем длядвойного интеграла:(1 + g ′ ( x , y )Ωk =xkk2+ g ′y ( xk , yk )2)⋅ Dk ,(4)где ( xk , yk ) – некоторая точка части Dk , а │Dk│– площадь этой части.Подставляя формулу (4) в выражение (1) для интегральной суммы, получим:ST ==n∑ f (Mk )⋅k =1)(221 + g ′x ( xk , yk ) + g ′y ( xk , yk ) ⋅ Dk =n∑ f (ξk ,ηk , g (ξk ,ηk ) ) ⋅k =1(1 + g ′ ( x , y )xkk2+ g ′y ( xk , yk )2)⋅ Dk(5).Отметим, что выражение (5) отличается от интегральной суммы*ST =(1 + g ′ (ξ ,η )n∑ f (ξk ,ηk , g (ξk ,ηk ) ) ⋅xk =1двойного интеграла∫∫ f ( x, y, g ( x, y ) ) ⋅Dk(1 + g ′ ( x, y )xk22+ g ′y (ξ k ,ηk )+ g ′y ( x, y )22)⋅ Dk) dxdy толькозначениями аргументов частных производных g ′x и g ′y под знаком квадратногокорня.

В силу предположения о гладкости поверхности эти частные производныенепрерывны(1 + g ′ ( x, y )x2назамыкании+ g ′y ( x, y )2DобластиD.Тогдаифункция) = h ( x, y ) также непрерывна на D .Функция, непрерывная на замкнутой (т.е. содержащей свою границу) ограниченной области является равномерно непрерывной на ней, т.е. для любого125значения ε > 0 существует такое δ > 0, что при диаметре dT разбиения меньшим δ, разность h (ξ k ,ηk ) − h ( xk , yk ) будет меньше ε .Из непрерывности на поверхности Ω функции f (M) следует, что функцияf (х, у, g(x,y)) непрерывна, а следовательно, и ограничена на области D :f ( x, y , g ( x, y ) ) ≤ C .Тогда получаем, что при dT < δ выполнено неравенствоST − ST*≤n∑ f (ξk ,ηk , g (ξk ,ηk ) ) ⋅ h (ξk ,ηk ) − h ( xk , yk ) ⋅ Dk≤k =1n≤ C ⋅ ε ⋅ ∑ Dk = C ⋅ ε ⋅ D ,k =1поэтому при dT →0 разность ST − ST* → 0 , т.е. пределы интегральных суммST и ST* совпадают:lim ST = lim ST* = ∫∫ f ( x, y, g ( x, y ) ) ⋅dT →0dT →0D(1 + g ′x2 + g ′y2 )dxdy.Отсюда и следует утверждение теоремы 2.ПРИМЕР1.ВычислитьповерхностныйинтегралI-города:I = ∫∫ ( x + y ) d Ω, где Ω – часть плоскости 2x + 5y + z = 10, лежащая в первомΩоктанте (рис.

3).Поверхность Ω задана уравнением: z = 10 – 2x – 5y, откуда z ′x = −2 ,z ′y = −5 , и(1 + z′x2 + z′y2 ) =1 + 4 + 25 = 30 . Следовательно, по формуле (3)I = ∫∫ ( x + y )d Ω = ∫∫ ( x + y ) ⋅ 30 ⋅ dxdy, где D – треугольник с вершинами вΩDточках (0,0), (5,0), (0,2) плоскости OXY. Вычисляя двойной интеграл, получаем:12652−I = 30 ⋅ ∫ dx2x5∫005⎛y2 ⎞( x + y ) dy = 30 ⋅ ∫ ⎜⎜ xy + ⎟⎟2 ⎠⎝02−2x5⋅ dx =05⎛6 x 8x2 ⎞35= 30 ⋅ ∫ ⎜ 2 +−⎟ dx = ⋅ 30.

ƒ⎜525 ⎟⎠30⎝Z10Y22X5Y5XРис.3. К примеру 1.ПРИМЕР 2. Найти поверхностный интеграл I-го рода: I = ∫∫ xy d Ω , где ΩΩ222– часть поверхности сферы x + y + z = 25, расположенная внутри цилиндра22x + y = 9 и в первом октанте (рис. 4).Поверхность задается уравнением: z = 25 − x 2 − y 2 . Тогда имеем частные производные: z ′x =(1 + z ′x2+ z ′y2−x225 − x − y)=1+2, z ′y =x2225 − x − y2+−y225 − x − y2y2225 − x − y2. Отсюда=Подставляя найденные значения в формулу (3), получаем:I = ∫∫ xy ⋅ d Ω = ∫∫ΩD5 xy225 − x − y2127dxdy,5225 − x − y2.где область D в плоскости OXY – четверть окружности радиуса 3 с центром вначале координат.Z53DXYРис.4.

К примеру 2.Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:π /2∫I = 5⋅03dϕ ∫0π /23r 3drsin 2ϕdϕ ⋅ ∫⋅ rdr = 5 ⋅ ∫=2200 25 − rr cos ϕ ⋅ r sin ϕ25 − r 23r 2 dr 25π /2 1= − ⋅ cos 2ϕ 0 ⋅ ⋅ ∫=2420 25 − r35 ⎛352 22 3/ 2 ⎞= ⋅ ⎜ −50 ⋅ 25 − r + ⋅ 25 − r=.ƒ⎟4 ⎝3⎠0 3()Замечание. Интегральная сумма (1) для функции f (M) ≡ 1 равна площади поверхности Ω. Таким образом, площадь поверхности можно найти с помощью поверхностного интеграла I-го рода:Ω = ∫∫ d Ω .(6)Ω12822ПРИМЕР 3. Вычислить площадь части параболоида z = 5 – x – y , отсекаемой плоскостью z = 1 (рис.

5).ZΩ1O22D55XYРис.5. К примеру 3.В этом примере z ′x = −2 x , z ′y = −2 y , и(1 + z′x2 + z′y2 ) =1 + 4 x2 + 4 y 2 .Тогда по формуле (6) получаем: Ω = ∫∫ d Ω = ∫∫ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ⋅ dxdy, где D –ΩDкруг в плоскости OXY радиуса 2 с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, получаем:Ω=2π200∫ dϕ ∫211 + 4r ⋅ rdr = 2π ⋅ ⋅ ∫ 1 + 4r 2 ⋅ dr 2 =22=π ⎛(⋅ 1 + 4r4 ⎜⎝)2 3/ 2022⎞π⋅ ⎟ = ⋅ 17 17 − 1 .

ƒ3⎠0 6129()ПРИМЕР 4. Вычислить площадь части верхней полусферыx2 + y2 + z2 = 25, z > 0, лежащей внутри цилиндра 5x = x2 + y2 (рис. 6).Z5Ω0D5XYРис.6. К примеру 4.Пользуясь вычислениями примера 2, запишем:Ω = ∫∫ d Ω = ∫∫ΩD5dxdy225 − x − y2,где D – окружность в плоскости OXY с радиусом 5/2 и центром в точке (5/2, 0),Y(рис.