ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов - Теория вероятностей, Мат.статистика, Случайные процессы (Сборник задач с решениями))

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»___________________________________________________________________________________________________В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫСБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИУчебное пособие по курсу «Высшая математика»для студентов МЭИ, обучающихся по всем направлениям подготовкиМоскваИздательский дом МЭИ2013УДК 51KУтверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия длястудентовПодготовлено на кафедре высшей математикиРецензенты: докт.

физ.-мат. наук, профессор А.С. Барашков,докт. физ.-мат. наук, профессор А.А. ТуганбаевКрупин В.Г.Высшая математика. Теория вероятностей, математическаястатистика, случайные процессы. Сборник задач с решениями:учебное пособие / В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. — М.:Издательский дом МЭИ, 2013. — 368 с.КISBNУчебное пособие содержит краткие теоретические сведения, необходимыедля понимания и решения задач. Подробно разобраны примеры решения задач иприведены по 30 вариантов каждого типа задач для самостоятельного решения.Предназначено как для студентов, приступающих к изучению теориивероятностей, так и для студентов старших курсов, изучающих ееспециальные разделы. Пособие будет полезно для дистанционного обучения.Представляет интерес для преподавателей, желающих активизироватьсамостоятельную работу студентов (с помощью типовых расчетов илииндивидуальных домашних заданий).______________________Учебное изданиеКрупин Владимир ГригорьевичПавлов Александр ЛеонидовичПопов Леонид ГлебовичВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫСБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИУчебное пособие по курсу «Высшая математика»для студентов МЭИ, обучающихся по всем направлениям подготовкиРедактор издательства____________________________________________________________________________________________________Темплан издания МЭИ 2012, учеб.Печать офсетнаяФормат 60´84/16Тиражэкз.Изд.

№Подписано в печатьФиз. печ. л. 23Заказ____________________________________________________________________________________________________ЗАО «Издательский дом МЭИ», 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14© Крупин В.Г., Павлов А.Л., Попов Л.Г., 2012© ЗАО «Издательский дом МЭИ», 20122Нельзя выучить математику,только слушая лекции, точно так жекак нельзя выучиться игре напианино, только слушая пианиста.К. Рунге (1856–1927),немецкий математик.ПРЕДИСЛОВИЕПо мнению древнекитайского мыслителя Конфуция (551–479 дон.э.), три пути ведут к знанию: путь размышления –– это путь самыйблагородный, путь подражания –– это путь самый легкий и путь опыта ––это путь самый горький.

Предлагаемая книга позволяет пойти по самомулегкому пути. Путь этот состоит в том, чтобы, разобравшись в решениитипового примера, воспроизвести рассуждения и вычисления в похожейзадаче.Задачник [1] по спецкурсам высшей математики для типовыхрасчетов был создан на кафедре Высшей математики Московскогоэнергетического института (ныне Национального исследовательскогоуниверситета «МЭИ») еще в восьмидесятые годы прошлого столетия.Лет пятнадцать назад была осознана необходимость значительнорасширить этот задачник, т.е. фактически сделать новый задачник.

Однакоэтот замысел удалось воплотить в жизнь лишь в недавнее время.Настоящее издание является третьей книгой в предполагаемой сериизадачников. Первые две книги [2] и [3] уже увидели свет в 2011 и 2012годах.Предлагаемый задачник с решениями содержит задачи по разделам:комбинаторика, теория вероятностей, математическая статистика, теорияслучайных процессов. Каждый тип задач предваряется подробноразобранным стандартным примером.

После этого формулируется 30вариантов задачи. Такая структура задачника позволяет использовать его впервую очередь для типовых расчетов, для индивидуальных домашнихзаданий, для проведения контрольных мероприятий.Беда современного учебного процесса в том, что в изобилииинформационных потоков студент не всегда может должным образомсориентироваться, а часто просто не имеет времени собрать нужнуюинформацию. Поэтому в целях экономии времени студента в каждомразделе, наряду с разбором типовых задач, приведены необходимыетеоретические сведения и формулы. Теоретические факты и формулы даныв рецептурном виде без подробного обсуждения и вывода, что вполнеприемлемо при первичном знакомстве с предметом.3В задачнике представлены задачи, входящие в стандартный курстеории вероятностей и математической статистики, и задачи из рядаспецкурсов, читаемых на разных факультетах МЭИ (случайные процессы,теория решающих функций и т.д.).

Значительная часть задач по теориивероятностей связана с так называемой «урновой схемой», что позволяетбез излишних подробностей, выявить количественные соотношения иособенности тех или иных моделей случайного эксперимента.Для большинства задач, кроме именных (задача Бюффона, задачаБанаха и т.д.), едва ли возможно установление авторства, так какобсуждение стандартных ситуаций кочует из задачника в задачник.Формулировки многих задач заимствованы из разных известных учебныхпособий и специальной литературы ([1]–[11]), есть и задачисформулированные заново.Нумерация примеров и задач ведется внутри каждой главы.Авторы очень благодарны рецензентам Барашкову А.С. и ТуганбаевуА.А. за внимательное прочтение рукописи, за многие полезные замечанияи пожелания.4ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯAnr –– число размещений из n элементов по r;Cnr –– число сочетаний из n элементов по r;n! –– число перестановок из n элементов;A, B, C, D, … –– случайные события;A –– событие, противоположное событию A ;Ω –– достоверное событие;P(A) –– вероятность события A;P(B/A) –– вероятность события B, вычисленная при условии, что событие Aпроизошло (условная вероятность события B);X, Y, Z, … –– случайные величины, а x, y, z, … –– отдельно взятые значенияэтих величин;2N (m; s ) –– нормальный закон распределения с математическиможиданием m и дисперсией s2 ;X : N (m; s2 ) –– случайная величина X имеет нормальный законраспределения с параметрами m и s2 ;F ( x) –– функция распределения случайной величины X (по определениюF ( x) = P( X < x) );f ( x) –– функция плотности вероятности случайной величины X ;M ( X ) –– математическое ожидание случайной величины X ;D ( X ) –– дисперсия случайной величины X ;cov( X ,Y ) –– коэффициент ковариации случайных величин X и Y ;W –– выборочное пространство;W0 –– критическая область в выборочном пространстве;¥ –– множество натуральных чисел;¢ –– множество целых чисел;F( x) –– функция Лапласа;rxy –– коэффициент корреляции случайных величин X и Y ;H0 – нулевая гипотеза;H1 – альтернативная гипотеза;X(t) –– случайная функция или случайный процесс;K(t1,t2) –– корреляционная (автокорреляционная) функция случайногопроцесса;k(t) –– корреляционная (автокорреляционная) функция стационарногослучайного процесса;51.

КОМБИНАТОРИКАПусть имеется несколько множеств элементов:{a1 , a2 ,¼, at }, {b1 , b2 , ¼, bs }, ¼,{c1 , c2 , ¼, ck },¼ .Вопрос: сколькими способами можно составить новое множество{a1 , b, c,¼}, взяв из каждого исходного множества по одному элементу?Ответ на этот вопрос дают следующие рассуждения.Элемент а из первого множества можно выбрать t способами,элемент b из второго –– s способами, элемент с можно выбрать kспособами и т.

д. Пару элементов аb можно составить t × s способами. Этоследует из табл. 1.1, в которой перечислены все способы такого выбора.Таблица 1.1аа1а2Kаtb1b2Kа1b1а1b2Kа2b1а2b2Kаtb1аt b2Kbsа1bsа2bsKKKKbаtbsСпособы выбора трех элементов аbc перечислены в табл. 1.2.Таблица 1.2abа1b1а2b1а3b1Kаtbsc1c2Kа1b1c1а1b1c2Kа2b1c1а2b1c2Kа3b1c1а3b1c2Kаt bs c1аtbs c2Kckа1b1ckа2b1ckа3b1ckKKKKcаtbs ckВ этой таблице k строк и t × s столбцов. Поэтому искомое числоспособов выбора трех элементов аbc равно t × s × k . Продолжая рассуждатьподобным образом, получим следующее утверждение.Основной комбинаторный принцип.

Если некоторый первый выборможно сделать t способами, для каждого первого выбора некоторыйвторой можно сделать s способами, для каждой пары первых двух ––третий выбор можно сделать k способами и т.д., то число способов дляпоследовательности таких выборов равно t × s × k × ... .6Комбинаторные формулы в прикладных задачах теории вероятностейобычно связывают с выбором r элементов («выборкой объема r») изсовокупности, состоящей из n элементов (элементов «генеральнойсовокупности»).

Различают два способа выбора:а) повторный выбор, при котором выбранный элемент возвращаетсяв генеральную совокупность и может быть выбран вновь;б) бесповторный выбор, при котором выбранный элемент всовокупность не возвращается и выборка не содержит повторяющихсяэлементов.При повторном выборе каждый по порядку элемент может бытьвыбран n способами.

Согласно комбинаторному принципу, такую выборкуможно сделать n r способами. Например, повторную выборку объема 2 изтрех элементов {a, b, c} можно сделать 32 = 9 способами: аа, аb, bа, bb, bс,сb, ас, са, сс.В случае бесповторной выборки первый элемент можно выбрать nспособами, для второго остается n - 1 возможность выбора, третий элементможно выбрать n - 2 способами и т.д. Элемент выборки с номером rможно выбрать n - r + 1 способом. Согласно комбинаторному принципу,общее число бесповторных выборок объема r равноAnr = n(n - 1)(n – 2)(n – 3) ×¼× (n – r + 1).(1.1)Число Аnr называют числом размещений из n элементов по r.Например, существует А32 = 3 × 2 = 6 размещений из трех элементов{а, b, с} по два: ab; ba; ac; ca; bc; cb.

Отметим, что и в первом случае и вовтором выборки отличаются либо составом элементов, либо порядкомвыбора элементов.Выделим особо случай, когда один за другим выбраны все n элементов.В этом случае выборки имеют один и тот же состав (все n элементов) иотличаются только порядком выбора элементов. Поэтому числоАnn = n(n - 1)(n - 2) ×¼× 3 × 2 ×=1 n!называют числом перестановок из n элементов.Например, пять человек могут встать в очередь 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120способами. Три элемента {а, b, с} можно переставить 3!= 3 × 2 × 1= 6способами: abc, acb, bac, bca, cab, cba.Подсчитаем количество бесповторных выборок объема r, которыеотличаются друг от друга только составом элементов. Пусть X –– числотаких выборок.

Для каждого набора из r элементов можно выбрать порядоких расположения r! способами. Тогда Х × r ! равно числу способов выбратьr различных элементов и выбрать порядок их расположения, т.е. равночислу размещений из n элементов по r:7n (n - 1) (n - 2) × K × (n - r + 1).(1.2)r!Это число называют числом сочетаний из n элементов по r иобозначают через Cnr . Если в формуле (1.2) умножить числитель изнаменатель на (n – r )!, тоn (n - 1) (n - 2) × K × ( n - r + 1) ( n - r )!Сnr =×=(n - r )!r!X × r ! = Аnr Þ X =n (n - 1) (n - 2) × K × 3 × 2 × 1n!=.r !( n - r )!r !(n - r )!Например, сочетаний из четырех элементов {а , b, с, d } по два=4!= 6 . Это аb, ас, ad, bс, bd, cd.2! 2!Так как из n элементов выбрать n элементов можно единственнымn!образом, то Cnn == 1, откуда следует, что 0! = 1 .n!0!существует С42 =Величины Cnr называют биномиальными коэффициентами.