Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем, страница 9

Использовалось управление с насыщением(см. Рис. 2.17) и вариант учета ограничений на этапе оптимизации программной траектории (см. Рис. 2.18).Стабилизирующие коэффициенты равныk1i = 0.75, k0i = 0.125. Результаты моделирования при различных величинах ошибки в матрице инерции КА при указанных значениях коэффициентовстабилизации kij приведены в Таблице 7. В Таблице 8 приведены результатыаналогичного моделирования в случае использования k1i = 3, k0i = 2.59абвгРис. 2.18. Возмущение в матрице инерции 10%, ограничения на управления:а — ошибки по углам между одноимёнными осями; б — ошибки поуглам Крылова; в — ошибки по угловой скорости; г — управления,стабилизирующие программную траекториюИз приведённых результатов видно, что при наличии ограничений науправления, использование в алгоритме стабилизации коэффициентов k1 = 3,k1 = 2 вместо k1 = 0.75, k1 = 0.125 не всегда ведет к улучшению результатакак это было в случае отсутствия ограничений на управления.

Использование бо́льших коэффициентов kij , как правило, ведет к уменьшению ошибки поуглам и увеличению ошибки по угловой скорости и ускорению. При ошибкахв матрице инерции до 10%, учет ограничений на управления на этапе построения программной траектории в целом более эффективен, чем управление снасыщением. Особенно такой подход эффективен в сочетании со значениями стабилизирующих коэффициентов k1 = 3, k1 = 2 при малых (≈ 1 − 5%)ошибках в матрице инерции.Возмущение матрициинерции1%, управление с насыщением1%, учет ограниченийпри оптимизации10%, управление с насыщением10%, учет ограничений при оптимизации20%, управление с насыщением20%, учет ограничений при оптимизации0.0280880.0937200.0232890.1575230.8106340.4984691.6056731.3227290.0024010.0036440.0013780.0012790.0001540.0110650.0298950.196110Углы Крылова, t = t∗ , max(|ωi (t∗ )|),градусы1/сек0.0083070.000159|∠(Xi , Xi )(t∗ )|, градусы0.1013870.1535860.0323690.0660040.002769max(|ω̇i (t∗ )|),1/сек20.011964Сравнительные результаты моделирования работы алгоритма стабилизации в условиях не точнойинформации о инерционных характеристиках КА и наличии ограничений на управление ui max = 700.Коэффициенты стабилизации k1 = 0.75, k1 = 0.125Таблица 7.60Возмущение матрициинерции1%, управление с насыщением1%, учет ограниченийпри оптимизации10%, управление с насыщением10%, учет ограничений при оптимизации20%, управление с насыщением20%, учет ограничений при оптимизации0.0209740.0181450.0407600.0349850.5331370.1324481.2229270.7750810.0036730.0003990.0018390.0039920.0000180.0018660.0025500.073827Углы Крылова, t = t∗ , max(|ωi (t∗ )|),градусы1/сек0.0021020.001078|∠(Xi , Xi )(t∗ )|, градусы0.2548860.2548860.0255490.1805110.000350max(|ω̇i (t∗ )|),1/сек20.019558Сравнительные результаты моделирования работы алгоритма стабилизации в условиях не точнойинформации о инерционных характеристиках КА и наличии ограничений на управление ui max = 700.Коэффициенты стабилизации k1 = 3, k1 = 2Таблица 8.61622.7.5.

Моделирование квазиоптимального и оптимальногоалгоритмов переориентации космического аппаратаВ связи c большим разнообразием алгоритмов переориентации, многие изкоторых строятся как решение задачи оптимального управления, возникаетвопрос сравнения представленного в данной работе решения, полученного наоснове концепции обратных задач динамики, с решением, построенным наоснове принципа максимума Понтрягина.Рассмотрим задачу оптимального управления пространственным разворотом КА из произвольного начального в заданное конечное угловое положениеза заданное время, представленную в работе [58] .

Оптимизация траекториипроизводится по критерию минимума интеграла кинетической энергии вращения КА, с использованием принципа максимума Понтрягина. В работе [58]задача оптимального управления пространственным разворотом КА в общемслучае рассматривается в кинематической постановке, то есть вместо системы кинематических и динамических уравнений (2.1), рассматриваются лишькинематические уравнения движения2Λ̇ = Λ ◦ ω,(2.23)а в качестве управления — вектор угловой скорости ω = (ω1 , ω2 , ω3 )T ∈ R3КА. В качестве критерия оптимальности траектории выступает интегралакинетической энергии вращения КАZt∗G = 0.5(I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32 )dt,(2.24)0где I1 , I2 , I3 – главные центральные моменты инерции КА.

Полученное автором при помощи принципа максимума Понтрягина программное управлениеω(t) определяется следующими соотношениями [58]ωi = b · pi /Ji ,ṗ = −ω × p,i = 1, 3,(2.25)63где b =p(I1 ω1 )2 + (I2 ω2 )2 + (I3 ω3 )2 – модуль кинетического момента КА.Уравнения (2.25) совместно с (2.23) полностью решают поставленную задачунахождения оптимального управления в кинематической постановке.

К сожалению, как отмечает и сам автор [58], определить общее решение системыуравнений (2.23), (2.25) не удается. Трудность заключается в определенииграничных условий p(0) и p(t∗ ), которые связаны следующим соотношениемΛ(t∗ ) ◦ p(t∗ ) ◦ Λ̃(t∗ ) = Λ(0) ◦ p(0) ◦ Λ̃(0).(2.26)Лишь для динамически симметричного КА, то есть когда J2 = J3 задача оптимального управления решена до конца [58]. Для произвольного КАJ1 6= J2 6= J3 решение системы уравнений (2.23), (2.25) предлагается находить численными методами.

Данное решение предполагает скачкообразноеизменение вектора ω(t), то есть мгновенное достижении КА в начальный момент времени t = 0 некоторой расчетной угловой скорости ωрас , движение поинерции (главный момент сил равен нулю) и мгновенный сброс имеющейсякинетической энергии в момент времени t = t∗ [58].Ограничение величины управляющего момента приводит к появлениюограниченных по времени участков набора и и гашения угловой скорости.В [58] рассматривается задача набора и гашения угловой скорости за минимальное время при помощи принципа максимума Понтрягина.

В качествеограничений на управления рассматривается случай, когда область возможных управлений описывается условиемu21 + u22 + u23 6 m20 .В [58] показано, что на этапе разгона управление должно выбираться по формулеu = m0 J · ω/|J · ω|,а на этапе торможенияu = −m0 J · ω/|J · ω|,64то есть и во время разгона и на этапе торможения вектор управления u должен быть параллелен вектору кинетического момента КА. В случае, когда наэтапах разгона и торможения величина момента u постоянна, автором приводятся оценки для времени набора и гашения угловой скорости, величины«проигрыша» в критерии (2.24) по отношению к оптимальному релейномууправлению и т.п.В качестве примера рассмотрим результат численного моделирования разворота КА на 180о из начального положения Λ(0), совпадающего с осяминеподвижной системы координат, в заданное конечно положение Λ(t∗ ) за время t∗ = 240 c [58].

Итак, имеем следующие исходные данные:— начальное состояниеΛ(0) = (1, 0, 0, 0), ω(0) = (0, 0, 0), t = 0;— конечное состояние√Λ(t∗ ) = (0, 0.5, 0.59, 0.39), ω(t∗ ) = (0, 0, 0), t∗ = 240;— матрица моментов инерции КА00 118952.10350466.9000269497.0;В результате решения кинематической задачи переориентации КА из Λ(0)в Λ(t∗ ) (задача оптимального разворота в импульсной постановке) в [58] былополучено следующее значения вектора начальной угловой скорости:ωрас = (0.654311 o /c, 0.057723 o /c, 0.515097 o /c).На приведённых далее графиках независимой переменной является безразмерное время τ = t/t∗ , τ ∈ [0, 1].65абРис.

2.19. Оптимальный алгоритм: а — угловые скорости; б — управленияабвРис. 2.20. Квазиоптимальный алгоритм: а — угловые скорости; б — управления; в — кинематическая траекторияНа Рис. 2.19 представлены угловые скорости и управления, полученныекак решение задачи оптимального управления согласно [58].

На данных графиках хорошо различимы интервалы разгона и торможения КА. На этих66интервалах компоненты вектора угловой скорости изменяются практическилинейно под действием постоянно действующего момента вычисляемого согласно полученным в [58] формулам. В момент перехода КА на этап движенияпо инерции и в момент его окончания на графиках виден характерный излом.Значение функционала (2.24) составило G = 4016 Дж · с.Далее, на Рис. 2.20, представлены графики программных угловых скоростей, управлений и компонент кватерниона углового положения соответственно, рассчитанные по предлагаемому в работе методу.

В качестве параметрических классов функций использовались полиномы 6-й степени. Вотличии от результатов, полученных согласно [58], все функции, представленные на Рис. 2.20, являются гладкими функциями.Этот факт легкообъясняется тем, что, как уже отмечалось ранее (см. разделы 2.1–2.4), припостроении алгоритма управления программная траектория ищется в класседважды дифференцируемых функций. Значение функционала (2.24) составило G = 4517.2 Дж · с.Анализ приведённых результатов показывает, что в обоих случаях угловоедвижение КА имеет три стадии: на первой стадии КА сообщается необходимая угловая скорость, затем КА движется как свободное тело и затемпроисходит торможение.В случае использования оптимального алгорит-ма [58] все три стадии ярко выраженные, а время первой и третьей стадийсущественно меньше чем второй.

При использовании предлагаемого алгоритма все три описанные выше стадии так же присутствуют, хотя и не такярко выражены. Время разгона и торможения превышает аналогичные времена из оптимального алгоритма более чем в 2 раза, а максимальное значениеуправления уменьшилось с 121 Н · м до 92 Н · м.Так же было проведено моделирование согласно [21], то есть без какойлибо оптимизации. Значение функционала (2.24) при этом составило G == 7579.2 Дж · с.672.7.6. Обсуждение результатов моделированияАнализ приведённых результатов показывает, что при использовании предлагаемого в работе алгоритма управления переориентацией КА программноеуправление принимает «импульсный» характер: на начальном этапе (≈ 1/3интервала управления) КА сообщают необходимую угловую скорость, затем(≈ 1/3 интервала управления) КА движется как свободное тело (управленияблизки нулю) и затем происходит торможение КА.

Увеличение числа интервалов n при использовании сплайн-расширения или степени полинома вслучае полиномиального расширения при построении кинематической траектории существенно не изменяет характера управления. С ростом числа n илистепени полинома лишь несколько уменьшается время разгона и торможения,увеличивая тем самым время «свободного» движения КА и увеличиваетсямаксимальный момент управления.При наличии ограничений на управление отмечается лишь незначительное (≈ 5 − 7%) увеличение значения критерия при уменьшении максимального значения необходимого момента управления (до 25%) по сравнению созначениями, полученными при отсутствии ограничений на управления. Необходимо отметить, что в случае наличия ограничений на управления илиналичия возмущений в матрице инерции КА возможно наличие небольшихошибок по угловому положению КА, а так же угловой скорости и угловомуускорению, на конце интервала управления, При наличии подобных ошибок поокончании интервала управления необходимо продолжить работу алгоритмастабилизации, который переходит в режим стабилизации заданного угловогоположения.