Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем, страница 7

2.7. Кубические B-сплайны, m = 4: а — программное управление; б —угловые скорости44абРис. 2.8. Кубические B-сплайны, m = 5: а — программное управление; б —угловые скоростиОсновные результаты расчетов сведены в Таблицу 1.Результаты моделирования показывают, что наиболее эффективным сточки зрения отношения затраченного на оптимизацию времени к достигнутому уменьшению значения критерия достигается при использовании полиномиальных расширений с полиномами 6-й степени.

Дальнейшее увеличениестепени полинома хоть и ведет к уменьшению значения критерия на 5 − 10%,но требует при этом и увеличения затраченного на оптимизацию времени,так как порядок оптимизационной задачи каждый раз возрастает на 4 придобавлении каждой следующей степени полинома. Моделирование показало, что использование кубических B-сплайнов для задания кинематическойтраектории является менее эффективным по сравнению с использованиемпредложенного в [21] метода совместно с полиномиальными расширениямии сплайн-расширениями.В то же время использование полиномиальныхрасширений и сплайн-расширений в случае одинаковой размерностях оптимизационной задачи приводит примерно к одинаковым (разница в ≈ 2 − 5%)результатам.При построении программной траектории согласно предложенному в [21]методу, характер реализующего данную траекторию программного управления был следующим: весь временной отрезок как бы разбивается на 2 примерно равных участка: участок разгона и участок торможения.

При этом45Таблица 1.Сравнительные результаты моделирования переориентации КА сдиагональной матрицей инерции из начального положения покоя вконечное положение покояВариМетодЗначение Уменьшение Максимальныйанткритериякритериямомент управJ (2.11)в %ления, Н · м1.Без оптимизации2561807052.Сплайн-расшире1498442805ния, n = 23.Сплайн-расшире1225052991ния, n = 34.Сплайн-расшире1284649.9860ния, n = 45.Полиномиальные1387246853расширения, ki = 46.Полиномиальные1307749882расширения, ki = 57.Полиномиальные1154654.91170расширения, ki = 68.Полиномиальные1161154.71133расширения, ki = 6,нормирующие множители l1 = l2 =0.5, l3 = 19.Би-сплайны, m = 4 1799830106510.Би-сплайны, m = 5 14370441010на участке разгона управления сначала плавно увеличиваются, примернодо середины участка, а потом так же плавно уменьшаются.

На участкеторможения ситуация в точности повторяется и отличается лишь знакомприложенного к КА управления. При использовании оптимизации, характерпрограммного управления изменяется. В этом случае весь временной отрезок разбивается на 3 примерно равных участка: участок разгона, участоксвободного движения КА и участок торможения. При этом, характер упра-46вления на первом и третьем участках примерно такой же как и на первоми втором участках в случае неоптимизированной траектории.

Возрастаетлишь максимально потребный момент управления. На втором временномучастке оптимизированной траектории программные управления близки к нулю. Увеличение степени полиномов при полиномиальных расширениях иликоличества внутренних узлов в случае сплайн-расширений существенно неизменяют характера программного управления. Следует отметить увеличение размера среднего участка, на котором движение КА близко к свободномуи увеличивается максимальный потребный момент управления.2.7.2. Переориентация космического аппаратапри наличии ограничения на управленияРассмотрим решение задачи из пункта 2.7.1 при наличии ограничений науправления, для чего примем ui max = 700.

Согласно Таблице 1 в каждом из 10вариантов значения стабилизирующих управлений по абсолютной величинепревышают значение ui max . Было проведено моделирование стабилизирующих управлений с учетом ограничения |ui | 6 ui max = 700, i = 1, 3 с помощьюуправлений с насыщением: для полиномиального расширения (вариант 5 изТаблицы 1, Рис. 2.9, a, J = 14162) и сплайн-расширения (вариант 4 из Таблицы 1, Рис. 2.9, б, J = 13107). В алгоритме стабилизации использовалисьзначения параметров k1i = 0.75, k0i = 0.125 из системы (2.15).Для случая полиномиальных расширений (вариант 5 из Таблицы 1) былопроведено моделирование, учитывающее наложенные на управления ограничения на этапе оптимизации программной траектории.

Графики управлений, стабилизирующих полученную программную траекторию, приведены наРис. 2.10. В алгоритме стабилизации использовались значения параметровk1i = 0.75, k0i = 0.125 из системы (2.15). Значение критерия равно J = 14867.В Таблице 2 приведены полученные результаты моделирования.47абРис. 2.9. Графики управлений с насыщением, стабилизирующих программную траекторию: а — полиномиальные расширения; б — сплайнрасширенияРис. 2.10. Управления, стабилизирующие программную траекторию. Учетограничений при построении программной траекторииДля анализа ошибок, совершаемых алгоритмом переориентации при наличии ограничений на управления в рассмотренных примерах, рассмотримразность угловых скоростей и ускорений полученных для программной и реальной траекторий. Кроме этого, поскольку разность между кватернионамиΛ(t) и Λ, задающими программную и реальную траектории соответственно,не позволяет наглядно оценить величину ошибки, допускаемую алгоритмомстабилизации, предлагаются использовать следующие два варианта описанияошибки:– ∠(Xi , Xi )(t) – угол между одноимёнными осями связанной системы координат программной Λ(t) и реальной Λ траекторий в момент времени t.

В48Таблица 2.Сравнительные результаты моделирования переориентации КА сдиагональной матрицей инерции из начального положения покоя вконечное положение покоя при наличии ограничений на управленияВариант1.2а.2б.3а.3б.3в.МетодБез оптимизации ибез учета ограничений на управленияСплайн-расширения, нет ограничений на управленияСплайн-расширения, ui max = 700,управление с насыщениемПолиномы 6-й степени, нет ограничений на управленияПолиномы 6-й степени, ui max = 700,управление с насыщениемПолиномы 6-й степени, ui max = 700,учет ограниченийпри оптимизацииЗначениекритерияJ (2.11)25618Уменьшение Максимальныйкритериямомент управв %ления, Н · м070512846508851310749700138724685314162457001486742700качестве ошибки бралось наибольшее по абсолютной величине значение изтрёх полученных углов;– углы Крылова – разница между одноимёнными углами Крылова, вычисленными для программной Λ(t) и реальной Λ траекторий в момент времениt.

В качестве ошибки бралось наибольшее по абсолютной величине значениеиз трёх полученных углов.49Таблица 3.Сравнительные результаты моделирования работы алгоритмастабилизации при наличии ограничений на управлениеМетод|∠(Xi , Xi )(t∗ )|,градусыСплайн-рас0.917781ширения,управление снасыщениемПолиномы0.1461666-й степени,управление снасыщениемПолиномы 6-й 0.000189степени, учетограниченийпри оптимизацииmax(|ωi (t∗ )|), max(|ω̇i (t∗ )|),1/сек1/сек2Углы Крылова, t = t∗ ,градусы0.0045840.0009110.0805570.0040610.0000810.0077400.0000040.00.000003В Таблице 3 приведены вычисленные значения введённых выше ошибокалгоритма стабилизации.Следует отметить, что, как показали численные эксперименты, при отсутствии ограничений на управления или в случае их учета еще на этапе построения программной траектории, при построении стабилизирующегоуправления можно использовать бо́льшие значения параметров k1i , k0i изсистемы (2.15), чем в случае построения стабилизирующего управления снасыщением (точнее в случае, когда нет учета ограничений на этапе оптимизации).

К примеру, в случае учета наложенных на управления ограниченийна этапе оптимизации программной траектории, были успешно использованызначения коэффициентов стабилизации равные k1i = 3, k0i = 2. Это вызванотем, что при учете ограничений на управления на этапе построения программной траектории или в случае отсутствия ограничений КА движется по50траектории достаточно мало отличающейся от программной. В этом случае, подобный выбор параметров стабилизации позволяет достаточно быстрогасить уклонения КА от программной траектории. В случае когда ограничения на управления не учитывались при оптимизации, за время выходапрограммного управления за ограничения КА успевает достаточно сильноотклониться от программной траектории.