Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем, страница 2

Несмотря на приближенный характер, данная10модель является общепринятой благодаря своей универсальности посколькуотражает динамику пространственного движения ЛА любой схемы компоновки в предположении о неизменности массы ЛА. Кроме этого, данная модельобладает еще одним существенным достоинством — она позволяет задаватькинематическую траекторию в земной системе координат в виде набора дважды дифференцируемых функций времени.Для проектирования сложных пространственных траекторий ЛА можноиспользовать метод [31, 32], основанный на компоновке траектории из определенного набора более простых траекторий, соответствующих типовым маневрам (смена эшелона, разворота, прямолинейного движения и т.д.).

Однакои при таком подходе, при проектировании траекторий являющихся базовыми,возникает задача по учету ограничений.Цель проведенных исследований — разработка и программная реализация методов аналитического и численного решения терминальных задачдля обратимых систем в множестве непрерывных управлений при наличииограничений на переменные состояния и управления, применение разработанных методов для решения задач переориентации КА, планировании движенияЛА и сравнение различных решений этих задач.Основными вопросами, рассматриваемыми в диссертации, являются методы построения параметрических множеств траекторий, удовлетворяющихграничным условиям, нахождение в этих множествах решения поставленнойзадачи, сравнение различных решений.Методы исследования.

В работе применяются методы математическойтеории управления, методы конечномерной оптимизации, концепция обратных задач динамики, метод Бубнова — Галеркина, различные численныеметоды и методы математического моделирования.Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:111. Методы построения параметрических семейств траекторий для терминальных задач, реализуемых в классе непрерывных управлений, для системс обратимым отображением «вход-выход».2. Численный метод решения терминальных задач для класса обратимыхсистем при наличии ограничений.3. Численное решение задач переориентации КА, планирования движенияЛА и сравнение различных решений этих задач.Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатовобеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы могут использоваться для разработки алгоритмов терминального управления для широкого класса механических систем, а также другихдинамических систем, используемых как модели в различных областях естествознания.Апробация результатов работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на XIII-й международной конференции Process Control(г. Братислава, Словакия 2001), I-й Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании» (г. Москва, 2001), VIIIВсероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Екатеринбург, 2011), VII Международном семинаре «Устойчивость и колебаниянелинейных систем управления» (г. Москва, 2002), втором Международномконгрессе «Нелинейный динамический анализ» (г. Москва в 2002), VIII Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердоготела» (г.

Донецк, Украина, 2002), XII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, 2012), Международной конференции по математической теории управления и механике(г. Суздаль, 2015, 2017), XIII Международной конференции «Устойчивость иколебания нелинейных систем управления» (г. Москва, 2016), XX-ом конгрессе IFAC (Toulouse, France, 2017).12Основные научные результаты диссертации отражены в 7 научных работах общим объемом 3.47 п.л., в том числе в 6 статьях из Перечняроссийских рецензируемых научных журналов и изданий [10, 12, 13, 15, 16, 91],и 8 тезисах докладов [6–8, 11, 14, 17, 18, 90] объемом 0.71 п.л.Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал,который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 124страницах, содержит 45 иллюстраций. Библиография включает 92 наименования.Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 02-01-00704,№ 11-01-00733, № 12-07-329, № 13-07-00743, № 14-01-00424, № 15-07-06484,Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-4144.2010.1, грант НШ-3659.2012.1) и Минобрнауки РФ(проект 1.644.2014/К).13Глава 1.

Основные сведения из геометрическойтеории нелинейных динамических систем1.1. Нелинейные динамические системыСистему обыкновенных дифференциальных уравненийx = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn , u = (u1 , . . . , um )T ∈ Rm ,˙ = d(.)/dt,F (x, t, u) = (F1 (x, t, u), . . . , Fn (x, t, u))T , (.)ẋ = F (x, t, u),(1.1)называют (n–мерной) нелинейной нестационарной динамической системой суправлением u и состоянием x, Rn = {x} — пространством состояний, апеременные x1 , . .

. , xn называют переменными пространства состояний.Если на состояния x нелинейной системы накладываются ограничения ввиде x ∈ X ⊂ Rn , то X называют множеством допустимых состояний, аx ∈ X — допустимым состоянием. На управления так же зачастую накладываются ограничения вида u ∈ U ⊂ Rm . Кроме того, часто предполагают, чтоуправления, как функции времени, принадлежат некоторому классу функций.Если управление зависит только от независимого переменного t, то егоназывают программным, а управление, зависящее только от состояния системы, называют управлением в виде обратной связи. Управление, зависящее иот времени и от состояния системы называют нестационарной обратной связью.1.1.1. Обратимые системыПонятие обратимой системы встречается в целом ряде работ [2, 25–27, 78]и др., однако единого чёткого определения ни в этих, ни в других работахнайти не удалось.

В работах [2, 25–27] рассматривается задача восстановления неизвестного входа системы по проводимым измерениям ее выхода, чтои называется авторами задачей обращения динамической системы. Большинство указанных работ данных авторов посвящены линейным системам сзапаздыванием и без.14В [78] даны определения левых и правых обратных систем для аффиннойсистемы (см. 1.1.2) с выходом, которые, по видимому, наиболее близко отражают суть, вкладываемую в данной работе в понятие обратной системы.Прежде чем дать определение обратимой системы рассмотрим несколькопримеров, поясняющих данное понятие.

Рассмотрим для начала алгебраическую систему, описывающую прохождения тока по цепи с сопротивлением Rпри подачи на нее напряжения u 1i=u.RВ данной системе, в качестве входа системы естественно взять напряжениеu, а в качестве выхода — силу тока i. Для данной системы в качестве обратной системы естественно назвать систему, которая в качестве своего выходаимеет напряжение u, а в качестве входа — силу тока iu = Ri.Очевидно, что с помощью полученной обратной системы можно определятьвход u исходной системы, для получения любого требуемого ее выхода i.Рассмотрим теперь, в качестве следующего примера, динамическую систему, описывающую прохождение тока по цепи, содержащей сопротивлениеR и индуктивность L. В качестве входа системы по прежнему выберем напряжение u(t), а в качестве выхода, традиционно обозначаемого как y — силутока i  i̇ = − R i + u,L y = i.Обратная система должна по входному сигналу y(t) выдать в качестве выходного сигнала напряжение u(t).

В качестве такой системы, можно рассмотретьследующую системуż = ẏ, Ru=z + ẏ,L z(0) = i(0).15Однако, существует более простая система, подходящая на роль обратной Ru=y + ẏ.LПоследний пример показывает, что обратная система, если она существует,не обязательно единственная. Так же отметим, что в общем случае размерность выхода системы может не совпадать ни с размерностью пространствасостояния системы ни с размерностью входа.Вернемся теперь к определению левых и правых обратных систем из [78].Рассмотрим следующую аффинную систему с выходом ẋ = f (x) + g(x)u,x ∈ Rn , u ∈ Rm , y ∈ Rp , y = h(x),(1.2)где f , g и h аналитические функции переменной x.Определение 1.1.

Система ż = F (z, y, ẏ, . . . , y (ν) ), u = H(z, y, ẏ, . . . , y (ν) ),(1.3)называется правой обратной системой для системы (1.2), если существуетz(0), такое что выход y(t) системы (1.2) равен входу y(t) системы (1.3), всякийраз, когда вход u(t) системы (1.2) выбирается равным выходу системы (1.3).Определение 1.2. Система ż = F (z, y, ẏ, .