Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем

2СодержаниеСтр.СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ . . . . . . . . . . . . .5ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ . . . . . . . .131.1. Нелинейные динамические системы . . . . . . . . .

. . . . . . .131.1.1. Обратимые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.1.2. Аффинные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2. Терминальная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.3.

Метод обратных задач динамики . . . . . . . . . . . . . . . . .20Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГОАППАРАТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.1. Модель космического аппарата как твердого тела . . . . . . .242.2. Полиномиальные расширения . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .272.3. Сплайн-расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.4. Другие способы задания кинематической траектории. Кубические В-сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312.5. Стабилизация программной траектории . . . . . . . . .

. . . .322.6. Учет ограничений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.7. Моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.7.1. Переориентация космического аппарата без ограниченийна управления . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .382.7.2. Переориентация космического аппарата при наличии ограничения на управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.7.3. Переориентация космического аппарата с недиагональнойматрицей инерции при наличии ограничений на управления 503Стр.2.7.4. Работа алгоритма стабилизации в условиях не точной информации об инерционных характеристиках космическогоаппарата и наличии ограничения на управления .

. . . .542.7.5. Моделирование квазиоптимального и оптимального алгоритмов переориентации космического аппарата . . . . . .622.7.6. Обсуждение результатов моделирования . . . . . . . . . .67Выводы по второй главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ДОПУСТИМЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713.1. Модель летательного аппарата как материальной точки в траекторной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713.2. Преобразование модели летательного аппарата к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .733.3. Построение траектории на базе полиномов при известном времени маневра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .743.4. Численная минимизация времени перелета в классе полиномов5-й степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763.5. Моделирование . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.6. Другие методы построения траектории. . . . . . . . . . . . .853.6.1. Построение фазовой траектории . . . . . . . . . . . . . .853.6.2. Оптимизационный подход к выбору фазовой траектории903.6.3. Моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .933.6.4. Векторный случай . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.6.5. Движение летательного аппарата в вертикальной плоскости при наличии ограничений на состояния . . . . . . . . 1023.6.6. Пространственное движение летательного аппарата приналичии ограничений на состояния . . . . . . . . . . . . . 107Выводы по третьей главе . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1114Стр.ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО РАБОТЕ . . . . . . . 114ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155Список сокращений и обозначенийКА — космический аппарат.ЛА — летательный аппарат.6ВведениеАктуальность темы.

Задача управления движением различных механических объектов не нова, но остается и по сей день актуальной. Этообусловлено как ростом числа подобных объектов, так и требованиями улучшения тех или иных характеристик уже существующих алгоритмов управления. Среди данных задач можно выделить класс, когда за заданное иликонечное время требуется перевести объект из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Такие задачи называют терминальными.Однако, большинство разработанных к настоящему моменту методов решения терминальных задач [3,35,36,42–44,51,68–70,75,84] не дают возможностиучета ограничений, наложенных на состояние системы. Применение принципа максимума Понтрягина к решению терминальных задач при наличииограничений на управления ведет к получению управления, не являющегосянепрерывным. Одним из возможных подходов к учету ограничений на состояния в терминальных задачах является метод локальных вариаций [50,74]применение которого, однако, может приводить к ограничениям на реализуемость траектории.

В настоящее время широкое распространение получилиметоды, основанные на преобразовании аффинных систем к регулярному каноническому виду при помощи замен переменных состояния, управления инезависимой переменной [45, 69–71, 79, 82, 85–88]. В некоторых методах процесс поиска требуемой программной траектории и управления, с целью учетаналоженных ограничений, может быть итерационным [37, 38, 71, 79].К подобным задачам относятся и рассматриваемые в данной работе задача переориентации космического аппарата (КА), а так же задача движениялетательного аппарата (ЛА) через заданные граничные состояния.

Решениеданных задач достаточно сложны и основные трудности связаны с необходимостью учета ограничений на переменные состояния и управления. При этомдля некоторых объектов, в силу их специфики, чаще возникают ограничения7на управления, как, например, в задаче переориентации КА, что вызваноограниченностью ресурсов систем управления.Задача переориентации КА в различных постановках рассмотрена в целомряде работ [1, 4, 5, 9, 10, 20, 21, 24, 47, 48, 52–59, 61–63, 72, 73]. В большинстве изних — это задача оптимизационная.

В работах рассматриваются вопросыполучения управления, оптимального по быстродействию [1, 5, 56, 59, 61, 62],расходу топлива или интегралу энергии [1, 4, 24, 53, 58].Для осесимметричного тела известно аналитическое решение задачи нахождения оптимального по быстродействию управления, построенное на основепринципа максимума Понтрягина [5]. Другой вариант синтеза управления,оптимального по быстродействию, для решения динамической задачи переориентации основан на использовании метода экстенсивного разворота [1],базирующегося на теореме Эйлера о конечном повороте твердого тела, имеющего неподвижную точку.

В [4, 59], с использованием принципа максимумаПонтрягина рассмотрена задача оптимального по быстродействию управления пространственной переориентацией КА при наличии интегральных ограничений на вектор угловой скорости. При этом до конца решить задачуаналитически удается лишь в кинематической постановке.В [52,53] с использованием прогнозирующей модели изложен вариант синтеза управления для задачи пространственной переориентации несимметричного КА по критерию минимума расхода топлива и при наличии ограниченийна управляющие моменты. В основе метода лежит известное решение задачинахождения оптимального по быстродействию управления для осесимметричного тела и соответствующей траектории, которая выбирается в качествепрогнозируемой траектории на заданный интервал времени.В [81] строится управление с обратной связью по состоянию в случае наличия ограничений на управления и отсутствия возможности вести расчетуправления в реальном времени.

Суть метода заключается в построении законов управления, оптимизируемых по заданным критериям, для всех режимов8ориентации КА еще на этапе проектирования КА, т.е. до его вывода на орбиту. Для каждого режима ориентации КА при синтезе закона управления всепространство состояний КА разбивается на области, в каждой из которых находится управление в виде обратной связи по состоянию.

В блок управленияКА записываются найденные области и законы управления в каждой из нихи на орбите по результатам анализа текущего положения выбирается необходимый закон управления. Данный подход особенно актуален для небольшихКА.В [72] предложен способ синтеза алгоритма управления ориентацией КА,базирующийся на концепции обратных задач динамики [48] с использованиемкватернионного способа описания вращательного движения КА. Используется расширенный (восьмимерный) вектор состояния КА и расширенный(четырехмерный) вектор управления, что позволяет синтезировать регулярные в целом законы управления. Программная траектория задает переводКА из заданного начального состояния покоя в требуемое конечное состояниепокоя и строится в виде плоского эйлерова разворота.

При построении программной траектории используется принцип максимума Понтрягина, когданеобходимо реализовать оптимальный по быстродействию разворот КА, либо кубические сплайны, когда задано время переориентации КА. Предложенспособ построения программной траектории в случае наличия у КА равныхначального и конечного вектора угловой скорости.В работе [58] рассматривается задача оптимального управления пространственным разворотом КА из произвольного начального в заданное конечноеугловое положение за заданное время. Оптимизация траектории производится по критерию минимума интеграла кинетической энергии вращения КАс использованием принципа максимума Понтрягина. Приводятся структура оптимального управления и соотношения для определения программногодвижения КА. Однако в общем случае, решении задачи переориентации получается лишь численными методами. Для динамически симметричного КА9дается полное решение задачи переориентации в замкнутой форме.

Приводится расчет программных управлений при наличии конкретного вида ограничений.При планировании требуемых траекторий движения ЛА достаточно широко используется подход, основанный на концепции обратных задач динамики [48], включающий два этапа: задание кинематической траектории движения объекта и определение управлений, реализующих данную траекторию.Преимуществом данного подхода является возможность сформировать желаемую траекторию, удовлетворяющую заданным ограничениям, и исследоватьее реализуемость. Однако именно задача поиска траектории, удовлетворяющей заданным ограничениям, зачастую и представляет собой наибольшуютрудность.Кроме того, для нахождения программного управления, реа-лизующего заданную программную траекторию, отображение «вход-выход»математической модели, описывающей движение, должно быть обратимым.Обратимость отображения «вход-выход» означает, что для любой программной траектории в пространстве выходов найдется реализующее ее программное управление.

При этом учет ограничений зачастую ведет к итерационнойпроцедуре, когда в некотором классе функций по тому или иному алгоритмуперебираются возможные траектории, пока не будет найдена такая траектория, которая бы удовлетворяла наложенным ограничениям.Первые алгоритмы решения задачи по переводу ЛА из заданной начальной точки пространства в заданную конечную точку за фиксированное времяпредставлены в [67]. В [89] приведены достаточно общие идеи примененияконцепции обратных задач динамики применительно к исследованию движения вертолета.В указанных работах, а так же в [13, 16, 30–33, 47], вкачестве модели ЛА использовалась нелинейная система 6 порядка, записанная в траекторной системе координат с использованием перегрузок. Даннаямодель рассматривает ЛА как материальную точку и не учитывает движениеЛА вокруг его центра масс.