АнГеом_ДЗ2 (Условие ДЗ №2 «Кривые и Поверхности второго порядка» (СМ, РК4))

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 курс 1 семестр”КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА”В задачах 1 − 2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническомувиду и построить кривую в системе координат OXY .В задаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY .Для задач 1 − 3 указать:1) канонический вид уравнения линии;2) преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;3) в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстоянияот точки C до фокусов;в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния отточки C до фокусов, уравнения асимптот; в случае пораболы: параметр, вершину, фокус,уравнение директрисы, расстояния от точки C до фокуса и директрисы;4) для точки C проверить свойство, характеризующее данный тип кривых какгеометрическое место точек.В задаче 4 указать преобразование параллельного переноса, приводящее данноеуравнение поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнения поверхностии тип поверхности.Построить поверхность в канонической системе координат OXY Z.1)2)3)4)Вариант 1.√3x2 + y 2 − 12x − 2y + 4 = 0,C(3; 1 + 6);7 74y 2 − 3x + 8y + 7 = 0,C( ; − );4 4√Гипербола с фокусами F1 (1; 1) и F2 (7; 1) пересекает ось OY в точке C(0; 1 + 15);x2 + 2y 2 − 4z 2 + 8x − 8y + 20 = 0.Вариант 2.1C(0; );2√ 2√ 2√√2) 3x + 4 3y + 8x − 8 2y = 8 3,1) xy − x − 2y + 1 = 0,rC(0; −2);333) Парабола проходит через точку С (−4; −1), ее директриса имеет уравнение x + = 0,21расстояние фокуса от вершины равно , вершина лежит во второй четверти.24) 2x2 + y 2 − z 2 − 8x + 2y + 2z + 7 = 0.Вариант 3.1) 2x2 − 12x + y + 16 = 0,C(4; 0);222) 3x − y + 24x + 2y + 35 = 0,C(0; −5);√3 3; 0), его большая ось параллельна оси OY ,3) Эллипс проходит через точку С (1 −254центр находится в точке O0 (1; − ), эксцентриситет ² = .254) 9x2 + 4y 2 − 18x + 16y − 36z − 9 = 0.Вариант 4.1 11) 9x2 − 16y 2 − 36x − 96y + 36 = 0,C( ; );√3 42) 5x2 + 9y 2 − 30x + 18y = 126,C(0; 15 − 1);3) Парабола симметрична относительно прямой, параллельной оси OY , проходит черезточку С (1; 0), имеет вершину в точке O0 (−1; −4).4) 36x2 + 9y 2 + 4z 2 − 72x + 36y − 24z = 0.Вариант 5.1) y 2 − 4x − 8y + 24 = 0,C(6; 0);1112) 16x2 − 9y 2 + 32x + 18y + 16 = 0,C(− ; − );16 12√√3) Точки A(−3 5 − 1; 4) и B(−1; 4 − 2 5) являются вершинами эллипса, а точка С (2; 0)лежит на нем.4) x2 + 4y 2 − 2z 2 + 8x − 8y − 12z − 2 = 0.Вариант 6.√√√√1) 4 3x2 + 3y 2 − 8 2x − 2y = 3,1C(0; − √ );32) 3x2 + 18x + 4y + 31 = 0,C(−1; −4);√3)АсимптотыгиперболыпараллельныосямкоординатOXиOY,F(4+32; −2 −1√√√3 2) и F2 (4 − 3 2; −2 + 3 2) - ее фокусы, а C - точка пересечения гиперболы с осью OX.4) y 2 + 4z 2 + 8y − 8z − x = 0.Вариант 7.21) y + 3x + 4y = 2,C(−1; 1);√2) 2x2 − y 2 − 8x − 4y + 2 = 0,C(2 − 3; 0);3) Оси симметрии эллипса параллельны√осям координат OX и OY , A(3; 1) - вершина8 22эллипса, F1 (−1; 4) - его фокус, а точка C(− 1; − ) принадлежит эллипсу.334) 2x2 − 2y 2 − z 2 + 4x + 4y − 6z − 10 = 0.Вариант 8.1) 4x2 − 21y 2 + 16x + 84y + 268 = 0, √ C(19; −8);2) x2 + 4y 2 − 2x − 4y = 2,C(1 + 3; 0);13193) Директриса параболы имеет уравнение y = , F (−1; ) - ее фокус, а C - точка88пересечения параболы с осью OY .4) 2x2 + 3y 2 − z 2 + 8x − 18y − 2z + 16 = 0.Вариант 9.√1) x + 5y − 6x + 20y + 4 = 0,C(3 − 5; 0);2) 2y 2 − x − 4y + 3 = 0,C(3; 0);003) Углы между асимптотами√ гиперболы и осью OX равны 60 , O (3; −1) - центргиперболы, а точка C(0; −1 + 2 6) лежит на ней.4) x2 + 4y 2 + 4z 2 + 4x − 8y + 8z + 8 = 0.22Вариант 10.11) 4x2 + 16x + 3y + 7 = 0,C(− ; 0);22) xy + x + 4y = 0,C(0; 0);√√√3) Эллипс проходит через точку C(1 + 5 3; 0), F1 (1 + 7 3; −4) и F2 (1 − 7 3; −4) - егофокусы.4) 2x2 − 3y 2 − 12x − 12y + 5 = 0.Вариант 11.12√C( ; 1 +14);332) 9x2 − 7y 2 − 18x − 14y + 30 = 0,C(−13; 15);3) Парабола симметрична относительно прямой y + 4 = 0 и пересекает ось OX в точкеC(−5; 0).

Расстояние ее фокуса от директрисы равно 1, а ее ветви лежат в полуплоскостиx 6 0.4) 2x2 − 5y 2 + z 2 − 8x − 10y − 6z + 12 = 0.1) 7x2 + 16y 2 + 14x − 32y = 89,Вариант 12.1)2)3)4)x2 + 4x − 4y − 4 = 0,C(0; −1);√222x + y + 4x + 6y + 7 = 0,C(0; −3 − 2);Гипербола имеет фокусы F1 (3; −1) и F2 (−1; −1) и проходит через точку C(−1; 2).4x2 + z 2 + 8x − y − 4z + 1 = 0.Вариант 13.√1) 8x2 + 9y 2 + 48x − 18y = 207,C(0; 1 − 2 6);2 22) x2 − 8y 2 − 4x − 16y + 4 = 0,C(− ; );7 73) Парабола лежит в полуплоскости x > −3, имеет вершину A(−3; 2) и пересекает осьOX в точке C(1; 0).4) x2 − 2y 2 − 3z 2 + 8x + 8y − 6z + 5 = 0.Вариант 14.1) 3x2 − 12x + 4y + 8 = 0,C(0; −2);√2C(0; 1 +);313) Гипербола пересекает ось OX в точке C( ; 0) и имеет асимптоты x + 5 = 0 и y = 3.34) 2x2 + 4y 2 + z 2 − 8x + 8y − 2z + 9 = 0.222) 9x + 36y + 60x − 72y + 28 = 0,Вариант 15.1C(− ; −1);2√C(0; 1 + 3 3);1) 4x2 + 3y 2 − 8x + 12y + 4 = 0,2) 3x2 − y 2 − 30x + 2y + 26 = 0,73) Парабола симметрична относительно прямой y + 3 = 0, имеет директрису x = и41 3проходит через точку C( ; − ).4 24) 4x2 + y 2 − 8x + 4y − 8 = 0.Вариант 16.1 11) x2 − 8y 2 + 14x + 64y = 7,C(− ; );7 77 922) 2x − 5y − 4x + 12 = 0,C( ; );2 253) Эллипс проходит через точку C( ; 2), его большая ось оканчивается вершинами2A(−2; 5) и B(−2; −7).4) x2 + 4y 2 − 2z 2 + 6x + 8y + 8z + 9 = 0.Вариант 17.1) 3x2 + 4y 2 + 6x + 24y = 9,C(1; 0);2) 7x2 − 9y 2 − 56x − 54y + 24 = 0,1 1C( ; );3 93) Парабола симметрична относительно прямой y + 1 = 0 и проходит через точкиA(−2; −1) и C(4; 2).4) 3x2 − y 2 + 2z 2 + 6x − 6y − 4z − 4 = 0.Вариант 18.1) x2 + 2y − 10x + 23 = 0,C(3; −1);4√7C( ; 2 +5);333) Фокусы равносторонней гиперболы находятся на расстоянии 6 от центра, одна изее асимптот задается уравнением x = 4, а C(−5; 0) - точка пересечения гиперболы с осьюOX.4) 3x2 − 2y 2 − 12x − 12y − z − 1 = 0.2) 16x2 + 25y 2 + 32x − 100y = 284,Вариант 19.141) 16x2 − 9y 2 + 128x − 36y + 364 = 0,C(0; );32) y 2 + x + 4y + 1 = 0,C(−1; 0);3) Эллипс симметричен относительно прямой y = 1, проходит через точку C(0; 1 −и имеет вершину A(−2; 0).4) x2 − 3y 2 + 4z 2 − 6x − 6y − 8z + 9 = 0.√5)3Вариант 20.1) x2 − 4y + 2x + 9 = 0,C(1; 3);√15C(1 +; 0);21 23) Гипербола проходит через точку C( ; ) и имеет асимптоты 3x − 4y + 31 = 0 и5 53x + 4y − 1 = 0.4) 3y 2 − 4z 2 − x + 6y + 16z − 2 = 0.2) 36x2 + 20y 2 − 72x − 60y = 99,Вариант 21.1 71) 4x2 − 5y 2 − 32x − 10y + 104 = 0,C( ; );4 22) y 2 − 2x + 4y + 2 = 0,C(1; 0);√√3) Эллипс проходит через точку C(3 − 2; 0), имеет вершины A(5; −1) и B(3; 2 − 1),а его оси параллельны осям координат OX и OY .4) x2 − 3y 2 + 4z 2 + 8x + 6y + 8z + 18 = 0.Вариант 22.1) xy + 2x + 4y = 8,C(4; 0);3√3; 0);2133) Парабола пересекает ось OX в точке C(1; 0), имеет директрису x = .

Ее вершина31расположена в четвертой четверти на расстоянии от фокуса.34) 2x2 − 2y 2 − z 2 − 8x − 8y + 6z − 10 = 0.2) 4x2 + 9y 2 − 16x − 18y = 11,C(2 +Вариант 23.1) x2 + 2x + 3y = 8,C(2; 0);222) 3x − y + 36x + 2y + 80 = 0,C(0; −8);3) Эллипс симметричен относительно прямых x = 1 и y + 2 = 0, проходит через точку5√10 √A(1 −3; −5) и точку C(1 +2; 0).234) 2x2 − 2y 2 − z 2 − 8x − 8y + 2z = 0.Вариант 24.1 91) 2x2 − 8x − 3y + 17 = 0,C( ; );2 28√222) 16x + 9y − 32x − 18y = 119,C(0; 1 −2);33√3) Гипербола проходит через точку C(1 +5; 0) и имеет асимптоты 4x + 3y + 5 = 04и 4x − 3y = 13.4) x2 + 9z 2 − 6x + 18z + 9 = 0.1) 5x2 + y 2 + 20x − 2y = 4,2) 5x2 − 4y 2 + 20x − 8y = 64,Вариант 25.√C(0; 1 − 5);C(12; 14);33) Парабола симметрична относительно прямой y + 1 = 0, имеет фокус F (− ; −1),83пересекает ось OX в точке C(− ; 0), а ее ветви лежат в полуплоскости x > 0.54) 4y 2 − z 2 − 8y − 4z − 1 = 0.Вариант 26.21) x − 4x + 2y + 6 = 0,C(0; −3); √10; 0);33) Асимптоты гиперболыкоординатOX и OY , а фокусы имеют√√параллельны осям√√координаты F1 (−3 + 2; 1 − 2) и F2 (−3 − 2; 1 + 2).

Точка C есть точка пересечениягиперболы с осью OY .4) x2 − 2z 2 + 6x + 3y + 4z − 4 = 0.2) 9x2 + 2y 2 − 18x + 8y = 1,C(1 −Вариант 27.√1) x − 8y − 2x + 40y = 17,C(1 + 3 2; 0);2) y 2 + 4x − 6y + 17 = 0,C(−3; 1);2233) Эллипс симметричен относительно прямой y = 1, проходит через точку C(0; − ).5Его большая ось имеет длину 10, а один из ее концов расположен в точке A(2; 1).4) 4x2 + 9y 2 + 36z 2 + 8x − 18y − 72z + 49 = 0.Вариант 28.√3221) 16x + y − 64x − 4y + 52 = 0,C(2 −; 0);2252) 7x2 − 9y 2 − 14x − 18y = 65,C(−10; );33) Парабола симметрична относительно прямой x = 3, пересекает ось OY в точке3C(0; 11), ее вершина расположена в четвертой четверти на расстоянии от директрисы.84) 2y 2 + z 2 + x + 4y − 4z + 9 = 0.Вариант 29.1) 2y 2 + x + 16y + 33 = 0,C(−9; −2); √1212) 16x2 + 12y 2 − 16x + 36y = 17,C( +; 0);243) Равносторонняя гипербола имеет асимптоту x = 1, пересекает ось OX в точке1C(− ; 0), а ось OY -в точке A(0; 1).34) 16y 2 + z 2 + 32y − 4z + 4 = 0.Вариант 30.√15221) 4x − 5y − 8x + 20y = 11,C(1 +; 0);22) x2 + 6x + 2y + 3 = 0,C(−1; 1);3) Эллипспроходит черезточку C(0; −1), а его малая ось оканчивается вершинами√√A(−3; 2 − 2) и B(−3; − 2 − 2).4) y 2 − 4x + 4y = 0..