Диссертация (Исследование взаимодействия низкотемпературной плазмы с неоднородной поверхностью электродов в газоразрядных приборах), страница 11

(4.51) deellleUec  c cПроизводя в нем замену переменнойe eU c  s и учитывая условие (4.1),его можно привести к виду1I 2   dc l c 2 Y  s   exp   dcl c  s   dc l e  1  s   ds.(4.52)В первом интегралеemd c2I1 2eU c l c2 t2  d c2l c2e  etetd ed c l c 1e eU c0 e    t  dteU  c  область интегрирования d  l exp   c  1  c   le  le (4.53)t 2  d c2 l c2  e eU c имеет вид, приведенный на Рис.

4.3, гдеtmax  d c l c 1  et eU c  d c l c 1   , а уравнение верхней границы определя-ется соотношением t  d c l c 1  e eU c , поэтомуemd c l c 1e eU c deet0 dt 0 eU c 1 l c2 dc2 t 2dc lc 1dtde .0tt max0etemeРис. 4.3.Область интегрирования в интеграле (4.53)(4.54)79СледовательноI1  dt2eU c l c2 eU c 1 lc2 d c2 t 2dc l c 1d c20eteY etd c  l c  2  d c2   e   exp    1   t   2    t le  le eUl c   c  d eВыполняяв(4.55)t 2  d c2 l c2  e eU c  .интегралахзаменыпеременных lcdc  t  и2  e eU c  s , получаем d c2 I1   2  lc 101 s 2  2 d  Y 2  (4.56) d d  exp   c  1  s    c   s     ds. lc  l e СледовательноRa 0 Ji0 I1  I 2 ,J az 0 (d c )(4.57)где d c2 I1   2  lc 101 s 2  2 d  Y 2   d d  exp   c  1  s    c   s     ds. lc  l e d I2   c  lc 1 d c   d c  s2 Yexps1s ds.     lc   le Выражение для Ra 0 , используя функцию f a1 (4.19), можно представитькак80eU dc c eJ i 0  d c2Ra1 exp    kd c   Y J az 0 (dc )  2eU c l c2 le et  et de ( dc / lc ) 1e / eU c  l d c2 e2cexp1tt2leUle cc0 d c2 e2 exp k l c t  2 t  exp(k l ct )  eUlcc d dt / t 2  (d c2 / l c2 )(e / eU c )   d c exp    c   kd c   2eU c l c   lc eme Yeet  t  eU c  11  e expd  clleUcec e (4.58)e exp(kdc ) 1 d e.eU cВторой интеграл в этом выраженииem d e  eU c dccI4 exp   kd c )  Y   le2eU c l ceeet  t  11  e  exp   d c    exp kd c e / eU c  1 d e,lleUc c  cс помощью замены(4.59)e / eU c  t приводится к видуd I4   c  lc 1  dc   dc  t2 Yexpt(1t)       lc   le (4.60) exp(kd c (1  t ))  exp(kd c )  dt.В первом же интеграле  dc  eU c  ed c2I3 exp      kd c   Y 2eU c l c2  le  e  ett( dc / l c ) 1( e / eU c )0 de   l d c2 e2cexp   1   t  2 t   le eUlcc(4.61)81d2 e exp  k l c t 2  c2 t   exp(k l ct )  l c eU cdt / t 2  (d c2 / l c2 )(e / eU c ),можно поменять порядок интегрирования( dc / l c ) 1( e / eU c )em deet0eU c (1( l c2 / dc2 ) t 2 )( dc / l c ) 1dt dt0d e.(4.62)etВыполняя после этого замены переменных в полученных интегралах2  e / eU c  s , можно получить(l c / d c )t   и1d c2I3  2lc01 s 2  2  dcdcd  Y  exp   (1  s )  ( s  )   lc le2  (4.63) exp(kd c (1  s ))  exp(kd c (1  ))  ds.СледовательноRa1 Ji0 I3  I 4  .J az 0 (dc )(4.64)Полный же коэффициент распыления катода в расчете на один бомбардирующий его ион равенY  x   Yi  x  J a  x, d c Ya  x   Y0  Y1 cos kx ,J i  x, d c (4.65)гдеJ Y0  Yi 0   a 0  Ya 0 , Ji0 (4.66)J J  J  J Y1  Yi1   a1  Ya 0   a 0  Ya1   a1  i1  Ya 0 . Ji0  Ji0  J i 0  J i 0 (4.67)Распределения плотностей потоков атомов материала катода, распыленныхс его поверхности ионами и атомами, определяются выражениями:J si ( x, d c )  J si 0  J si1 cos kx ,(4.68)J sa ( x, d c )  J sa 0  J sa1 cos kx ,(4.69)82гдеJ si 0  J i 0Yi 0 ,J sa 0  J a 0Ya 0 ,J si1  J i1Yi 0  J i 0Yi1,J sa1  J a1Ya 0  J a 0Ya1,а распределение полной плотности потока распыленных атомов имеет вид:(4.70)J s ( x, d c )  J si ( x, d c )  J sa ( x, d c )  J s 0  J s1 cos kx,гдеJ s 0  J si 0  J sa 0 ,J s1  J si1  J sa1.4.5.

Зависимость неоднородности эффективного коэффициентараспыления и потоков частиц у поверхности катода от параметров егорельефа и характеристик разрядаКоэффициент распыления металлических твердых тел атомными частицами как функция их энергии в припороговой области достаточно хорошо аппроксимируется выражением [64,118]:1/4eeY    A  et  et e1   et 7/2,(4.71)где et - пороговая энергия распыления, A - постоянная, зависящая от материала катода и сорта ионов.С использованием этого соотношения интеграл в выражении (4.45) для Ri 0допускает приближенное вычисление.

Для этого, переходя в нем от переменнойинтегрирования t к s  1    t , можно получить: ddRi 0  c exp   c 1  1   lc lc1 0 d A1 ( s ) s 7/2 exp   c s  ds, lc где 1  s A1 ( s )  A  2 7/21   s2 12s 13/4.(4.72)83Так как в соответствии с (4.1) d c / l c  1, то ввиду наличия в подинтегральном выражении сомножителя exp[  (d c / l c )s] вклад в интеграл дает лишьмалая окрестность точкиA1 ( s )  A 1(0)  A 2 1   / s  0 . Поэтому в нем можно считать, что7/2, а верхний предел интегрирования имеет беско-нечно большую величину [120], следовательно d   dc 7/2dcRi 0 A1 (0)exp  1  1     s exp    c  s  ds.lc lc0  lc  (4.73)Полученный интеграл вычисляется аналитически [121], в результате чеговыражение (4.73) приобретает форму:l 9Ri 0   A 1(0)  c 2 dc 7/2 dexp   c 1  1    , lc(4.74)где ( x) - гамма-функция.Аналогичным образом вычисляются и интегралы в выражении для Ri1 , поэтому оно может быть представлено какRi1  hcRi 0 1  exp  kdc 1  1    (1  k l c )9/2 .lc(4.75)В результате соотношения (4.43) и (4.44), описывающие распределенияплотности потока распыленных атомов и усредненного по энергиям ионов коэффициента распыления вдоль поверхности катода, принимают вид [122]: hJ sa  x, d c   Ri 0 1  c 1  exp  kd c 1  1   lc (1  k l c )9/2  cos kx  ,(4.76) hYi  x   Ri 0 1  c 1 / (1  k l c )  exp[ kd c (1  1   )] (1  k l c )9/2  cos kx.

(4.77) lcВ (4.77) первое слагаемое в квадратных скобках учитывает вклад в неоднородность коэффициента распыления энергетической сепарации ионов, т.е.большей фокусировки низкоэнергетичных ионов на вершинах рельефа, а второе– влияние изменения энергетического спектра ионного потока при e  et вследствие такой сепарации. Так как kl c  1 при выполнении условия (4.1), то второе84слагаемое мало по сравнению с первым. Следовательно, неоднородность коэффициента распыления катода с поверхностным рельефом в тлеющем разрядеопределяется наличием энергетической сепарации ионов, т.е.

преимущественной фокусировкой низкоэнергетичных ионов на вершинах рельефа, приводящей к снижению усредненного по энергиям ионов коэффициента распыленияэтих участков. Но плотность потока распыленных ионами атомов материала катода с таких участков, как видно из (4.76), больше, чем с других участков,вследствие повышенной плотности ионного потока на них (что следует из(4.27)). Это обусловливает более интенсивное распыление в разряде в чистомгазе выступающих элементов рельефа даже несмотря на то, что на них осаждается больше возвращающегося из разрядного объема распыленного вещества,чем на других участках катода [101, 123].Неоднородность потока распыленных атомов, согласно (4.76), возрастает сувеличением амплитуды поверхностного рельефа hc (и пропорциональна отношению hc / l c ), так как при этом усиливается фокусировка ионного потока навершинах рельефа [124]. Неоднородность эффективного коэффициента распыления катода (4.77) также пропорциональна hc / l c и растет с увеличением характерного поперечного размера элементов рельефа lc , поскольку при этомприповерхностный слой разряда, в котором существует x - компонента электрического поля, становится шире.

Поэтому дополнительной фокусировке подвергаются и ионы, претерпевшие последнюю перезарядку дальше от катода иимеющие у его поверхности большую энергию, т.е. количество таких ионовувеличивается.Длина перезарядки иона определяется соотношением l c  1 / n c , где n концентрация газа, c - сечение резонансной перезарядки, которое для инертных газов имеет величину (2  5)  1019 м2 [1, 8]. Поэтому при давлении рабочего газа порядка атмосферного ( n ~ 1025 м-3) энергетическая сепарация ионовоказывает влияние на усредненный по энергиям ионов коэффициент распыления катода при характерном размере элементов его поверхностного рельефа85lc ~ l c ~ 0,1 мкм, в то время как при давлении газа 102 Па (при n ~ 1022 м-3) этопроисходит при lc ~ 0,1мм. При еще более низких давлениях порядка 1 Па, используемых в ряде технологий микроэлектроники, энергетическая сепарацияимеет заметную величину лишь при значениях lc в несколько миллиметров, чтосоответствует результатам работы [53].Количественные расчеты на основе полученных соотношений проводилисьдля случая et / eU c  0,05 и l e l c  5,0 , так как при таком соотношении длинпотери энергии быстрыми атомами и перезарядки ионов наблюдается наилучшее согласие результатов аналитических расчетов и моделирования методомМонте-Карло для разряда в аргоне с плоской катодом [85].На Рис.