Уравнения Макселла в криволинейных координатах (Сборник материал для ознакомления с ФП)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/235974565Уравнения Максвелла в криволинейных координатахArticle · January 2011CITATIONSREADS47942 authors, including:Dmitry Sergeevich KulyabovPeoples' Friendship University of Russia (RUDN University)169 PUBLICATIONS   202 CITATIONS   SEE PROFILESome of the authors of this publication are also working on these related projects:System and Network Engineering View projectOne-step processes stochastization View projectAll content following this page was uploaded by Dmitry Sergeevich Kulyabov on 22 May 2014.The user has requested enhancement of the downloaded file.УДК 537.8:514.7:621.372.81Уравнения Максвелла в криволинейных координатахД.

С. Кулябов, Н. А. НемчаниноваКафедра систем телекоммуникацийРоссийский университет дружбы народовул. Миклухо–Маклая, д. 6, Москва, 117198, РоссияПри записи уравнений Максвелла в криволинейных координатах обычно используетсягромоздкий векторный формализм. Предлагается заменить его более простым тензорным описанием.Ключевые слова: волноводы, уравнения Максвелла, тензорный формализм.1.ВведениеВ исследованиях интегрально-оптических волноводов можно выделить дваэтапа: исследования регулярных планарных волноводов и исследования нерегулярных интегрально-оптических векторных волноводов. В тех и в других исследованиях решаются уравнения Максвелла с использованием граничных уравнений.Планарные волноводы образованы стопкой плоских параллельных диэлектрических пластинок и тонкоплёночных слоёв, так что все границы плоские и параллельны между собой.

Это обусловило запись уравнений Максвелла и граничныхусловий в декартовых координатах. Исследование нерегулярных интегрально-оптических волноводов с круговыми и сферическими симметриями границ разделапобуждают к использованию криволинейных координат. Имеется большое число публикаций в этом направлении. Все они имеют дело с «векторной формой»уравнений, для которой характерна большая громоздкость выражений. Использование «тензорной формы» записи уравнений представляется нам более простойи изящной. Чтобы продемонстрировать эквивалентность двух форм, мы подробно приводим параллельно все используемые выражения в тензорной и векторнойформе, а также формулы перехода между ними.Предлагается следующий алгоритм преобразования.

Уравнения в векторномформализме в декартовых координатах преобразуются в тензорную запись пу⃗ на ковариантную производную ∇ . Затемтём формальной замены оператора ∇производится замена координат. После этого тензорная запись переводится в векторную.В данной работе рассматривается трёхмерное пространство. Индексы пробегают диапазон = 1, 2, 3.2.Преобразование координат в тензорном формализмеНапомним, как производятся преобразования дифференциальных операторов [1].Градиент:grad = (grad ) e = ∇ e .Поскольку — скаляр, то можем заменить ковариантную производную на частную:(grad ) = ∇ = .(1)Таким образом, при преобразовании координат компоненты градиента не изменяются.Статья поступила в редакцию 30 декабря 2010 г.Авторы выражают большую благодарность профессору Севастьянову Л. А.

за помощь в постановке и решении проблемы.Кулябов Д. С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволиней‌ . . .173Распишем в компонентах:grad = 1e + 2 e2 + 3 e3 .1(2)Дивергенция:(︀√ )︀ ,⃗ · ⃗ = ∇ = , − Γ = , + √div⃗ = ∇1= √ (︀√ )︀ .(3)Распишем в компонентах:1div⃗ = √[︂]︂√√√( 2 )( 3 )( 1 )++.123(4)Ротор:⃗ ⃗] = ∇⃗ × ⃗ = (rot ⃗) e .rot ⃗ = [∇,(rot ⃗) = ∇ = ; ,(5)где — тензор Леви–Чевиты, выражающийся через — символ Леви–Чевитыследующим образом:⎧ (, , ) — чётная перестановка;⎪⎨1, = = −1, (, , ) — нечётная перестановка;⎪⎩0,среди , , есть равные.

=√ ;1 = √ .Поскольку в (5) фигурируют члены типа [;] , то связности сокращаются, имы можем заменить ковариантную производную на частную:(rot ⃗) = , .(6)Распишем в компонентах:⃒⃒⃒ e1e2e3 ⃒⃒⃒1 ⃒ ⃒=rot ⃗ = √ ⃒ ⃒ ⃒ 1 2 3 ⃒⃒ 123 ⃒{︃[︂]︂[︂]︂[︂]︂ }︃3231112=√− 3 e1 +− 1 e2 +− 2 e3 . (7)231Лапласиан можно получить из (3) для дивергенции, положив = , .1Δ = div⃗ = √ 3.(︀√)︀ .(8)Соответствие между тензорной и векторной записямивекторовВ то время, как в тензорном формализме обычно используется координатныйбазис e = / , в векторном формализме базис задаётся как ^e = / , где d —элемент длины по соответствующей координате [2].174Вестник РУДН.

Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2011. С. 172–179Считая системукоординат ортогональной, запишем d2 = d d = ℎ2 (d )2 ,√√где ℎ = = 1/ — коэффициенты Ламе. Обычно для коэффициентов Ламе√суммирование по индексу не производится. Заметим также, что = ℎ1 ℎ2 ℎ3 .Расписывая вектор в тензорном и векторном виде, найдём соотношение междуэтими формализмами (векторный вид будем помечать шапочкой):⃗ = e = ,1 ⃗ = ^^e = ^ = ^.ℎ Таким образом для контравариантных компонент:1 ^ .ℎ =(9)Аналогично для ковекторов: ⃗ = e = d , ⃗ = ^^e = ^ d = ^ ℎ d .Таким образом для ковариантных компонент: = ℎ ^ .4.Дифференциальные операторы в произвольной системекоординатДля градиента из (1) и (9) получаем:grad = e =1 ^e .ℎ Распишем в компонентах:grad =1 21 31 1^e +^e +^e .ℎ1 1ℎ2 2ℎ3 3Для дивергенции из (3) и (9) получаем:(︀√ )︀11div⃗ = √ = √ (︂√ ^ℎ)︂.Распишем в компонентах:(︂)︂(ℎ2 ℎ3 ^1 )(ℎ1 ℎ3 ^2 )(ℎ1 ℎ2 ^3 )1div⃗ =++.123ℎ1 ℎ2 ℎ3Для ротора из (6) и (3) получаем:(︀)︀1ℎrot ⃗ = √ , e = √ ℎ ^ ^e .Распишем в компонентах:⃒⃒⃒ ℎ1^e1 ℎ2^e2 ℎ3^e3 ⃒[︂]︂⃒⃒(ℎ3 ^3 )(ℎ2 ^2 )1⃒ ⃒= 1rot ⃗ =−^e1 +⃒ 1⃒ℎ1 ℎ2 ℎ3 ⃒ ℎ2 ℎ32323 ⃒⃒ℎ1 ^1 ℎ2 ^2 ℎ3 ^3 ⃒[︂]︂[︂]︂(ℎ1 ^1 )(ℎ3 ^3 )(ℎ2 ^2 )(ℎ1 ^1 )11+−^e2 +−^e3 .3112ℎ1 ℎ3ℎ1 ℎ2Кулябов Д.

С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволиней‌ . . .175Для лапласиана получаем запись, эквивалентную (8).Распишем в компонентах:[︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂]︂1ℎ2 ℎ3 ℎ1 ℎ3 ℎ1 ℎ2 + 2+ 3.Δ =1123ℎ1 ℎ2 ℎ35.ℎ1 ℎ2 ℎ3 Некоторые криволинейные координаты5.1.Цилиндрические координатыВ рамках стандарта ISO 31-11 координаты (1 , 2 , 3 ) обозначаются как (, , ).Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:⎧⎪⎨ = cos , = sin ,⎪⎩ = .Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:√︀⎧22⎪⎨ = +(︁ )︁, = arctg,⎪⎩ = .Метрический тензор:⎛1 0 = ⎝0 20 0⎞00⎠ ,1 ⎛1= ⎝0001/20⎞00⎠ ,1√ = .Коэффициенты Ламе: ℎ1 ≡ ℎ = 1, ℎ2 ≡ ℎ = , ℎ3 ≡ ℎ = 1.1Символы Кристоффеля: Γ122 = −, Γ221 = Γ212 = .

Остальные символы Кристоффеля равны нулю.5.2.Сферические координатыВ рамках стандарта ISO 31-11 координаты (1 , 2 , 3 ) обозначаются как (, , ).Закон преобразования координат от декартовых к сферическим:⎧⎪⎨ = sin cos , = sin sin ,⎪⎩ = cos .Закон преобразования координат от сферических к декартовым:√︀⎧=2 + 2 + 2 ,⎪⎪(︃)︃(︃ √︀)︃⎪⎪⎨2 + 2 = arccos √︀= arctg,⎪2 + 2 + 2⎪(︁)︁⎪⎪⎩ = arctg .176Вестник РУДН.

Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2011. С. 172–179Метрический тензор:⎛1 0 = ⎝0 20 00⎠,022 sin ⎞ ⎛1⎜⎜= ⎜0⎝001200⎞⎟⎟0⎟,⎠12 sin2 √ = 2 sin .Коэффициенты Ламе: ℎ1 ≡ ℎ = 1, ℎ2 ≡ ℎ = , ℎ3 ≡ ℎ = sin .1,= − ctg . Остальные символы Кристоффеля равныСимволы Кристоффеля: Γ122 = −, Γ133 = − sin2 , Γ221 = Γ212 = Γ313 = Γ331 =Γ233 = − cos sin , Γ323 = Γ332нулю.6.Уравнения Максвелла в криволинейных координатахБудем рассматривать уравнения Максвелла в системе СГС [3, 4].⃗⃗ ×⃗ = − 1 ;∇ ⃗41⃗ ×⃗ =+ ⃗;∇ (10)⃗ ·⃗ = 4;∇⃗ ·⃗ = 0.∇⃗ и ⃗ — напряжённости электрического и магнитного полей, ⃗ и ⃗ —Здесь электрическая и магнитная индукция, ⃗ и — плотности тока и заряда.Будем считать среду линейной, изотропной, однородной и не обладающей дис⃗ = ,⃗ ⃗ = ,⃗ где и — магнитная исипацией.

Для изотропной среды диэлектрическая проницаемости среды. В силу линейности среды сигнал можноразложить на сумму монохроматических волн, которые можно рассматривать в⃗˜ , ) = (⃗⃗˜ ) exp(−i). Переход к действительным полямкомплексной форме: (⃗осуществляется следующим образом:[︁]︁⃗ , ) = Re(⃗⃗˜ , ) = 1 (⃗⃗˜ ) exp(−i) + ⃗˜ * (⃗) exp(i) ,(⃗2⃗˜ ) — комплексная амплитуда.где (⃗При отсутствии источников ( = 0, ⃗ = 0) уравнения Максвелла (10) длякомплексных амплитуд сводятся к следующему виду:⃗ ×⃗˜∇⃗ ×⃗˜∇⃗ ·⃗˜∇⃗ ·⃗˜∇⃗˜= i;⃗˜= −i;(11)= 0;= 0,где = — волновое число.Решать можно двумя путями: записать уравнения Максвелла сразу в векторном виде, либо произвести вычисления в тензорном виде, а результаты перевестив векторный вид.Кулябов Д.

С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволиней‌ . . .6.1.177Решение в векторном видеЗапишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в векторном виде (тильду писать не будем во избежании громоздкости).[︂]︂^3 )^2 )(ℎ3 (ℎ2 1−= i^1 ;(12a)ℎ2 ℎ323[︂]︂^1 )^3 )(ℎ1 (ℎ3 1−= i^2 ;(12b)ℎ1 ℎ331[︂]︂^2 )^1 )(ℎ2 (ℎ1 1−= i^3 ;(12c)12ℎ1 ℎ2[︂]︂^ 3)^ 2)(ℎ3 (ℎ2 1−= −i^1 ;(12d)ℎ2 ℎ323[︂]︂^ 1)^ 3)(ℎ1 (ℎ3 1−= −i^2 ;(12e)31ℎ1 ℎ3[︂]︂^ 2)^ 1)(ℎ2 (ℎ1 1−= −i^3 ;(12f)12ℎ1 ℎ2^2)^3)^1)(ℎ1 ℎ3 (ℎ1 ℎ2 (ℎ2 ℎ3 ++= 0;123^ 1)^ 2)^ 3)(ℎ2 ℎ3 (ℎ1 ℎ3 (ℎ1 ℎ2 ++= 0.123(12g)(12h)Система переопределена, так как для шести переменных имеем восемь уравнений.Следовательно, необходимо ввести два координатных условия.Электромагнитное поле в волноводе не является чисто поперечным, но и имеет и продольную составляющую [3].