Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast2 (Все лекции по атомной физике)

Строение и свойства атомовДвижение в центрально–симметричном поле.В центрально–симметричном поле потенциальная энергия взаимодействия частиц:  U (r1 , r2 ) = U ( r1 − r2 )  U (r ) . Оператор Гамильтона для системы двух частиц с массамиm1 , m 2 22Hˆ (r1 , r2 ) = −1 − 2 + U (r ) ,2m12m21 ,  2 – операторы Лапласа по координатам первой и второй частицы. Радиус–вектор  центра инерции rC = (m1r1 + m2 r2 ) /( m1 + m2 ) , вектор взаимного расстояния r = r1 − r2 .Оператор Гамильтона: 22ˆ(3.1)H (rС , r ) = −С − + U (r ) .2(m1 + m2 )2 С ,  – операторы Лапласа по компонентам векторов rC и r , соответственно;  = m1m2 /( m1 + m2 ) – приведенная масса.

 (r1 , r2 ) =  (rC ) (r ) 2(3.2) (r ) + 2 E − U (r )  ( r ) = 0 .Атом водородаДля атома водорода и водородоподобных атомов потенциальная энергия U (r ) = − Ze 2 / r .В сферической системе координат оператор Лапласа1     1  2  r 2 − r r  r  r 2 1 1 2   −(sin  ) + 2 - оператор Лежандра. sin   2  sin  Уравнение Шредингера:  2   2 2me Ze 2  −  = 0 ,E+r+rr  r  2 r По методу разделения переменных: (r ,  , ) = R(r )Y ( , ) .1  d  2 dR  2 2me Ze 2   1 R  = Y =  ,r+rE+R  dr  dr  2 r   Y – постоянная разделения.(3.3)(3.3а)(3.4)Y =  Y ,(3.5)22d  2 dR  2 2me Ze E +R = 0 .(3.6)−r+r2 dr  dr  r2me r 2 Решение уравнения (3.5) известно.

Постоянная  = ( + 1) , где  – орбитальное квантовоечисло.Ze 2  2( + 1)l.(3.7)U eff(r ) = −+r2me r 2Потенциальная «яма» с минимальным значением на расстоянии 2( + 1) ( + 1)(3.7a)r0 =a1 ,Zmee 2Za1 =o2– радиус первой боровской орбиты. Глубина «ямы»:=0,53Amee 2U minl= −Z 2 mee4Z2,E12 2( + 1)( + 1)(3.7б)me e 4E1 = − 2 – энергия основного состояния атома водорода.2Если энергия частицы положительна ( E   0 ), ее движениеинфинитно. Если энергия отрицательна ( E   0 ),- движениефинитно.Решение уравнения (3.6) при отрицательных значенияхэнергии. Безразмерные переменные:r1 E(3.8)=Z ,= 2 .a1Z E1Решение в виде:R(  ) = f (  )   exp( −   ) ,(3.9)Функция f (  ) удовлетворяет уравнению: + 1 df 2d2 f+ 2− + 1 − ( + 1)  f = 0 .2d  d Решение ищется в виде бесконечного ряда(3.10)f (  ) =  as ( 2   ) s .(3.11)s =0Рекуррентное соотношениеas +1 = ass +  + 1 −1/ .( s + 1)(s + 2 + 2)(3.11а)Ряд (3.11) с коэффициентами (3.11а) растет быстрее, чем exp(   ) .

Волновая функция(3.9): противоречие с естественным условием. Функция f (  ) - в виде полинома степениn r . Ряд (3.11) - полином степени nr при условии a n r +1 = 0 :nr +  + 1 =1.(3.12)11 2 .2(n r +  + 1)n(3.12а)me e 4 1.E n =  n E1 Z  − Z2 2 n 2(3.13)n =22В точности формула Бора. nr - радиальное квантовое число, главное квантовое число:n = nr +  + 1 .(3.13a)При фиксированном n орбитальное квантовое число принимает n значений: = 0, 1, 2,..., n − 1 .(3.14)Радиальная волновая функция R(  ) = f (  )   exp( −   ) зависит от чисел nr ,  .

Удобнеепользоваться набором n,  . Стационарные состояния водородоподобного атома nm (r ,  ,  ) = Rn (r )Ym ( ,  ) = Rn (r ) Pm (cos  ) exp( im ) .(3.15)Функция Rn (  ) выражается через обобщенные полиномы Лагерра:Rn (  ) = An   e −  / 2 L2n++1 (  ) .(3.15а)Lmn (  ) = (−1) mn!d n−m −  ne   −m(e  ) .(n − m)!d n − mПри m=0 полиномы L0n (  )  Ln (  ) - полиномы Лагерра.Состояние водородоподобного атома характеризуется набором чисел n, , m .

Значениеmee 4 1. Вырожденные2 2 n 2состояния. Каждое значение энергиивырождено не только по магнитномуквантовому числу (как в случае ротатора),но и по орбитальному квантовому числу.Кратность вырождения уровней энергиидля водородоподобного атома:энергии En = − Z 2n−1 (2 + 1) = 1 + 3 +    + (2n − 1) = n2. (3.16) =0Каждый уровень энергии n 2 – кратновырожден.Состояния электрона в атомеобозначают с помощью буквы, котораясоответствуетчисленномузначениюорбитального квантового числа, и спомощью цифры, стоящей перед этойбуквой и соответствующей значениюглавного квантового числа: n(цифра) (буква).1s; 2s, 2p; 3s, 3p, 3d; 4s, 4p, 4d, 4f;...Значения числа Буквенное обозначениесостояния0123spdf4g5hДиаграмма уровней энергии атома водорода - диаграмма Гротриана (1928).n = 1 – состояние 1s: 100 = А −1/ 2 exp( −  )(3.17)n = 2 – состояние 2s: 200 = A[1 / 4(2 )1/ 2 ](2 −  ) exp( −  / 2)состояние 2p: 210 = A[1 / 4(2 )1/ 2 ] e −  / 2 cos  211 = A[1 / 4(2 )1/ 2 ] e −  / 2 sin  e  i(3.17а)n = 3 – состояние 3s: 300 = A[1 / 81(3 )1/ 2 ](27 − 18  + 2  2 )e −  / 3состояние 3p: 310 = A[21/ 2 / 81 1/ 2 ] (6 −  )e −  / 3 cos 311 = A[21/ 2 / 81 1/ 2 ] (6 −  )e − / 3 sin e iсостояние 3d:(3.17б) 320 = A[1 / 81(6 )1/ 2 ] 2 e −  / 3 (3 cos2  − 1) 321 = A[21/ 2 / 81 1/ 2 ] 2 e −  / 3 sin  cose i(3.17в) 322 = A[1 / 81 1/ 2 ] 2 e −  / 3 sin 2 e 2iПостоянная A = ( Z / a1 ) 3 / 2 .Переходы между различными состояниями:  = 1, m = 0,  1.

На изменениеглавного квантового числа n нет ограничений.Волновая функция  nm (r ,  ,  ) = Rn (r )Ym ( ,  ) = Rn (r ) Pm (cos  ) exp( im )Элемент объема dV = r 2 sin  drd d  r 2 drd , где d – элемент телесного угла:()dWnm =  nm r 2 drd = Rn2 (r )r 2 dr Pm (cos ) d .22(3.18)Распределения по углам и по радиусу - независимы. Вероятность углового распределениясовпадает с вероятностью состояний ротатора. Распределение электронного заряда порадиусу:dwn = Rn2 r 2 dr .(3.19)Условие нормировки002 2 dwn   Dn (r )dr = 1 . Величина Dn (r )dr = r Rn (r )dr - вероятностьтого, что электрон находится на расстоянии от r до r + dr от ядра атома.

Графикифункции Dn ( r ) для некоторых состояний:ФункцияDn ( r )в состояниях с максимальным значением орбитальногоквантового числа  = n − 1 . Число n r = 0 . f (  ) = a0 = const . Так что R(  ) = a0  n −1e −  / n .Плотность вероятностей: Dn,n −1 (  ) = a 02  2n e −2  / n - «одногорбая» функция, максимум при nmax = n 2 , ( rnmax = n 2 a1 ).– «Размазанное» соответствие с теорией Бора. С возрастанием nширина кривой D n, n −1 (  ) вблизи  nmax становится более узкой, при n →  функцияD n, n −1 (  ) стремится к  (  −  nmax ) .

Принцип соответствия. Для получения полнойкартины распределения электронной плотности в пространстве необходимо учестьугловую зависимость dWnm =  nm r 2 drd = Rn2 (r )r 2 dr (Pm (cos  ) ) d .22На рис.3.3а - вероятное распределение электронного облака в различных соcтояниях атомаводорода.Рис.3.3аВолновые функции (3.17)–(3.17в) для состояний с центрально–симметричнымраспределением заряда вокруг ядра - электрический дипольный момент отсутствует. Из-завырождения уровней энергии в атоме водорода существуют состояния с несимметричнымраспределением электронного заряда относительно плоскости z = 0. Например,суперпозиция волновых функций  200 и  210 , отвечающих уровню энергии с n = 2: 2   200 − 210 = A 1 − (r + z ) / 2а1 exp( −r / 2a1 ) .Эта волновая функция имеет узловую поверхность r + z = 2a1 - параболоид вращения сосью z и фокус в начале координат.

Распределение электронной плотностинесимметрично относительно плоскости x , y : среднее положение электрона вдоль оси zотлично от нуля: z = 3 а1 . В этом состоянии атом водорода обладает электрическимдипольным моментом.Тонкая структура термов. Лэмбовский сдвигУчет спина электрона - каждое состояние описывается четверкой квантовых чисел:n ,  , m , ms , где ms = 1 / 2 – магнитное спиновое квантовое число.

Спин–орбитальноевзаимодействие. Его происхождение: электрон находится в кулоновском поле с напряженностью F (r ) = Z er / r 3 . В системе отсчета, жестко связанной с движущимся  1  1 электроном, возникает магнитное поле (при v << c ): B = B + F v = F v . Поле B ccвоздействует на спиновый магнитный момент электрона.

Энергия взаимодействия:  Ze  ZeZe 2  E s = −  s B = − 3  s r v = −=s .scrmecr3me2c 2r 3e − вектор орбитального момента импульса электрона, s − вектор спина. Μ s = −sme сПри точном расчете (Томас, Я.И. Френкель, 1926)Ze 2  (3.20)Els =s .2me2c 2 r 3Для сравнения с опытом - среднее значение энергии взаимодействия в n –ом состоянии:Ze 2   1.(3.21)E ls =s2me2c 2r3При спин–орбитальном взаимодействии длины векторов  , s можно считать постоянными,  , s   ()(())( )( )( )«хорошие» квантовые числа.Векторная модель атома:  j = +s.(3.22)Для изолированной системы полный моментимпульса сохраняется: длина вектора j и егопроекция на ось z имеют определенные значения. Векторы  , s прецессируют вокруг направлениявектора j . Длина вектора j определяется числомj - квантовое число полного момента импульса,внутреннее квантовое число (Зоммерфельд,1920):j =  j ( j + 1) .(3.23)jz = m j  ,(3.24)m j – магнитное квантовое число.

Число m j при фиксированном значении j пробегает 2j+1значений:m j = − j ,..., 0,..., j .(3.24a)В случае водородоподобного атома число j при фиксированном значении числа  имеетдва значения:j =  + 1 / 2;  − 1 / 2 .(3.24б)Полное число значений, которое принимает внутреннее квантовое число мультиплетность состояний (Каталан, 1923). Для атомов с одним электрономмультиплетность равна 2. Состояния одноэлектронных атомов дублеты. С учетом спинакаждое состояние водородоподобного атома и его уровни энергии расщепляются на два,кроме s–состояния, которое не расщепляется, а несколько смещается.Расщепление уровней энергии, обусловленное спином электрона и релятивистскимиэффектами - тонкая структура термов.С учетом тонкой структуры обозначения состояний водородоподобного атома(таблица 3).