Условие ТР - Кратные и криволинейные интегралы
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Óñëîâèÿ çàäà÷11. Äàíû âåêòîðíîå ïîëå F~ è ïëîñêîñòü Ax + By + Cz + D = 0(p), êîòîðàÿ ñîâìåñòíî ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè îáðà1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî îáëàñòè D, îãðàíè÷åííîé óêàçàííûçóåò ïèðàìèäó T . Ïóñòü σ îñíîâàíèå ïèðàìèäû, ïðèíàäìè ëèíèÿìè.ëåæàùåå ïëîñêîñòè p; λ êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé σ; ~n íîðìàëü ê σ, íàïðàâëåííàÿ âíå ïèðàìèäû T . Òðåáóåòñÿ âû2. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî îáëàñòè D, çàäàííîé ñèñòåìîé íåðà÷èñëñòü:âåíñòâ:• ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ F~ ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ~n;• èçîáðàçèòü îáëàñòü â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò;• öèðêóëÿöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ F~ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó• âû÷èñëèòü èíòåãðàë, ïåðåõîäÿ ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì.λ íåïîñðåäñòâåííî è ïðèìåíèâ òåîðåìó Ñòîêñà ê êîíòóðóλ è îãðàíè÷åííîé èì ïîâåðõíîñòè σ ñ íîðìàëüþ ~n;3.
Íàéòè îáúåì òåëà, çàäàííîãî îãðàíè÷èâàþùèìè åãî ïîâåðõíîñòÿìè.• ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ F~ ÷åðåç ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü ïèðàìèäû T â íàïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè ê åå ïîâåðõ4. Íàéòè îáúåì òåëà, çàäàííîãî îãðàíè÷èâàþùèìè åãî ïîâåðõíîñòè íåïîñðåäñòâåííî è ïðèìåíèâ òåîðåìó Ãàóññà íîñòÿìè.Îñòðîãðàäñêîãî. Ñäåëàòü ÷åðòåæ.5.
Íàéòè îáúåì òåëà, çàäàííîãî íåðàâåíñòâàìè.6. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè ïîâåðõíîñòè S , ïðîåêòèðóþùåéñÿ íàîáëàñòü D.7. Íàéòè çàðÿä ïëàñòèíêè, îãðàíè÷åííîé êðèâûìè, åñëè ïëîòíîñòü çàðÿäà â òî÷êå çàäàíà ôóíêöèåé µ (x, y).8. Íàéòè ìàññó êðèâîé L, åñëè ïëîòíîñòü êðèâîé â êàæäîé ååòî÷êå ðàâíà îðäèíàòå ýòîé òî÷êè.9. Íàéòè ðàáîòó ñèëû F~ ïðè ïåðåìåùåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êèâäîëü ëèíèè L îò òî÷êè M äî òî÷êè N .10. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó C â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïî ôîðìóëå Ãðèíà.7.ÂÀÐÈÀÍÒ 11.ZZ√x2 y 23 526+6 5; 0 6 y 6x;53532µ = xy6312x2 y 2 + 16x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = x2 ; y = − x2.ZZ(x + y) dx dyDD:3.√0 6 y 6 3 · x;2x 6 x2 + y 2 6 4xF~ = x2 − 2y ~i + y 2 − 2x ~j;L10.√x + y = 18; y = 3x;25z = x; y = 0; z = 0112rz=p4 − x2 − y 2 ; z =x2 + y 225516 6 x2 + y 2 + z 2 6 100; y 6 0;rx2 + y 2x06z6; y 6 −√2436.pS : z = 4 − x2 − y 2 ;D : x2 + y 2 6 1, z = 0 îòðåçîê ïðÿìîé M N , ãäå M (−4, 0), N (0, 2).Z24.5.8.
L îòðåçîê ïðÿìîé y = 2 − 12 x, çàêëþ÷åííûé ìåæäó òî÷êàìèA(0, 2) è B(4, 0).9.(y 2 − y) dx + (2xy + y) dy;Cnop2C : x= 9−y , x=011.F~ = (x + z)~i + y~j + ~k,p:x+y+z−2=07.ÂÀÐÈÀÍÒ 21.ZZy 2 · sinxydx dy2DD : x = 0; y =2.x21+ 3y 2 6 15; x > 0; y > x;33xµ=y16√π; y =x2ZZ p1 − x2 − y 2 dx dy8.9.x2 + y 2 6 x;x2 + y 2 6 yD:3.4.5.√y = 2 x; x + y = 3;z = 3x; z = 02225 6 x + y + z 6 100; y > 0;r√x2 + y 2z6−; y > −x 3996.S : z = 2 − x2 − y 2 ;D : x2 + y 2 6 1, z = 0A(0, 1), B(4, 1),10.Z(x + y)2 dx + (x2 + y 2 ) dy;C1715 p 2x + y2; z =− x2 − y 2z=222ñ âåðøèíàìèF~ = x2 − 2y ~i + y 2 − 2x ~j;x2L: 2−= y,8M (−4, 0), N (0, 2).DL êîíòóð ïðÿìîóãîëüíèêàC(4, 2) è D(0, 2).C:11.nx=op16 − y 2 , x = 0F~ = (x + y)~i + z~j + 2~k,p : 2x − y + 2z − 2 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 31.x2 y 2+6 9; −x 6 y 6 0;3120 2µ=xy36316ZZ36x2 y 2 − 96x3 y 3 dx dyDD : x = 1; y =2.ZZDD:3.√3x; y = −x38.
L äóãà ïàðàáîëû y2 = 2px, îòñå÷åííàÿ ïàðàáîëîé x2 = 2py,(p > 0).9.y1· e x dx dy2xF~ = (x + y)~i + 2x~j;L : x2 + y 2 = 4 (y > 0),M (2, 0), N (−2, 0).√x 6 y 6 3 · x;1 6 x2 + y 2 6 410.√y = 3x; x + y = 6;z = 4y; z = 04.Zy dx − x2 dy;Crz=p25 − x2 − y 2 ; z =x2+995.16 6 x2 + y 2 + z 2 6 81; y 6 0;r√x2 + y 2z>; y 6 −x 3996.S : z = x2 − y 2 ;D : x2 + y 2 6 4, z = 0C:y211.y = x2 + 1, y = 2F~ = (y − x + z)~i − ~j,p : 2x + y + 2z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 41.ZZxyy 2 · e− 4 dx dyDD : x = 0; y = 2; y = x2.ZZD7.y29 6 x2 +6 100; 0 6 y 6 3x;3yµ= 2x1pdx dy4 − x2 − y 2D:S : 2x + 3y + z = 6; 2xy2D:+6 1, z = 049y > x; y > −x;x2 + y 2 6 2y3.8.9.L êîíòóðC(0, 1).òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìèF~ = y 2~i + x2~j;x = a cos t, y > 0,L:y = b sin t√y = 3x; x2 + y 2 = 18;5y = 0; z = x; z = 0114.A(−1, 2), B(1, 2)M (−a, 0), N (a, 0).10.pz = 64 − x2 − y 2 ; z = 1;x2 + y 2 = 60 (âíóòðè öèëèíäðà)5.ZCC:64 6 x2 + y 2 + z 2 6 144;rx2 + y 2xz>−; 06y6 √633ey [(x − 2 sin x) dx − (1 − 2 cos x) dy];11.y = x2 − 1, y = 0F~ = x~i + (y − z) ~j + 2~k,p : −x + 2y + 2z − 4 = 0è6.ÂÀÐÈÀÍÒ 51.S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0);D : x2 + y 2 6 2x, z = 0ZZ9x2 y 2 + 48x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = x; y = −x27.x2 y 2+6 4; x > 0; y > 2x;3440µ = x2 y31162.ZZarctgydx dyxD6 √x3 ;2206y2x 6 x + y 6 4xD:3.8.L ÷àñòü ïàðàáîëû y = 2√x,0 6 x 6 1.9.F~ = (x + y)~i + (x − y) ~j;L : y = x2 ,M (−1, 1), N (1, 1).x + y = 3; y 2 = 4x;z = −y; z = 0 (z > 0)10.4.Z21 p 2x + y2;z=223z=− x2 − y 22CC:11.5.22264 6 x + y + z 6 196;rx2 + y 2 x; √ 6y60z633(2xy − y) dx + (x2 + x) dy;x2 + y 2 = 9F~ = (2x + 3y − 3z) ~j,p : 2x − 3y + 2z − 6 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 61.ZZxydx dy2DrπxD : x = 0; y =; y=222.y 2 · cosZZ px2 + y 2 dx dyDD:S : x2 + y 2 + z 2 = 25 (y > 0);D : x2 + z 2 6 16, y = 07.xx2 y 2+6 400; y > ; x > 0;933xµ= 2y168.L: y=x > 0; y > 0;x2 + y 2 6 x + y9.3.ppx = 3 3y; x = 2 3y;z = 0; z + y = 34.10.pz = 3 x2 + y 2 ;z = 10 − x2 − y 2(y 2 + 2 ln x) dx + xy dy;CC:11.64 6 x2 + y 2 + z 2 6 196;rrx2 + y 2x2 + y 2−6z63151 6 x 6 2.F~ = x~j;L : x2 + y 2 = a2 , x > 0,M (0, −a), N (0, a).Z5.x2 ln x−,42x = y 2 + 1, x = 2F~ = x~i + (z − x) ~j + y~k,p : 3x + 2y + 3z − 6 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 71.x2 y 2x+6 10; y > ; x > 0;822xµ=y96ZZ18x2 y 2 + 32x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = x3 ; y = − 3 x2.ZZ1 − x2 − y 2 dx dyDD:3.L : y = x3 ,F~ = x2 − y 2 ~i + xy~j;L : îòðåçîê M N,M (1, 1), N (3, 4).0 6 y 6 x 3;x2 + y 2 6 4x√5x; x2 + y 2 = 5012z = x; z = 0 (z > 0)250 6 x 6 2.9.√y=10.Z(2y + x2 ) dx + (y 2 x + y − x) dy;C4.rz=5.8.p9 − x2 − y 2 ; z =x2 + y 28016 6 x2 + y 2 + z 2 6 100;rrx2 + y 2x2 + y 2−6z63356.S : z = 1 − x2 − y 2 ;D : x2 + y 2 6 1, z = 0C:11.x = y 2 − 1, x = 0F~ = ~i + (5x + 2y + 3z) ~k,p : x + y + 3z − 3 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 81.ZZS : x = z2 − y2;D : y 2 + z 2 6 4, x = 04y 2 · sin xy dx dyDrD : x = 0; y =2.ZZ7.√x2 y 2716+6 4; y >x; x 6 0;71715µ = x2 y31π; y=x21(4 + x2 + y 2 )2dx dyD8.L:D:x > 0; y > 0;2y 6 x2 + y 2 6 43.x = 5(t − sin t),y = 5(1 − cos t)06t6π9.F~ = y~i − y + x2 ~j;L : y = 2x − x2 ,M (0, 0), N (2, 0).ppx = 19 2y; x = 4 2y;z = 0; y + z = 210.4.Zpz = 100 − x2 − y 2 ; z = 6;x2 + y 2 = 51 (âíóòðè öèëèíäðà)5.CC : {y = cos x, y = 0, −π/2 6 x 6 π/2}11.2229 6 x + y + z 6 81; y 6 0;rx2 + y 2x; y6√06z6243(y − x)2 dx − (x + y)2 dy;F~ = x~i + ~j + (y + z) ~k,p : 2x + y + 2z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 91.ZZS : 2x + y + 3z = 6; 2xz2D:+6 1, y = 04927x2 y 2 + 48x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = x2 ; y = − 3 x7.x2 y 2+6 25; y > x; x 6 0;2√ 6x 6µ= 2y962.ZZydx dyx2DD:0 6 y 6 x;√16 6 x2 + y 2 6 4 2 · x3.5√5x=y; x = y;395√z = 0; z = (3 + y)98.L:x = 10 cos3 t,y = 10 sin3 t06t6π29.1 ~1 ~~F = √i− √j;yxx = r cos t, x > 0, y > 0,L:y = r sin t4.M (r, 0), N (0, r).pz = 36 − x2 − y 2 ;rx2 + y 2z=6310.Z(x2 + y 2 ) dx + (y 2 − x2 ) dy;C5.C:49 6 x2 + y 2 + z 2 6 169; y > 0;rx2 + y 2x6 z 6 0; y > √−24311.nopx = − R2 − y 2 , x = 0F~ = (z + x)~i + y~j + ~k,p : 2x + 2y + z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 101.ZZxyy 2 · e− 8 dx dyDxD : x = 0; y = 2; y =22.ZZD1pdx dy3 − x2 − y 2D:S : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0);D : x2 + y 2 6 x, z = 0√0 6 y 6 x √3;x2 + y 2 6 3 · y3.px = 2y; x + y = 4;3z = 0; z = x54.7.x2 y 2+6 100; y 6 −x; y > 0;39yµ= 2x468.L:x = ln t , 16t62y = 12 t + 1t9.F~ = 2xy~i − y 2~j;L : îòðåçîê M N,M (0, 0), N (2, 1).10.Z(y − x) dx − (x + y) dy;pz = 81 − x2 − y 2 ; z = 5;x2 + y 2 = 45 (âíóòðè öèëèíäðà)C(5.C:x9 6 x2 + y 2 + z 2 6 64; y 6 √ ;3rx2 + y 2xz>; y 6 −√99311.y=br)x21 − 2 , y = 0 , a > 0, b > 0aF~ = 2~i + (y + z) ~j + x~k,p : 2x + 2y − z − 2 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 111.S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (x > 0);D : z 2 + y 2 6 2z, x = 0ZZ18x2 y 2 + 32x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = 3 x; y = −x22.ZZ1(4 −x2− y 2 )2dx dyDD:x2 + y 2 6 2y;x2 + y 2 6 2x3.p3y; x + y = 6;4z = 0; z = x57.x2 y 23+6 2; y > x; y > 0;432µ = xy168.L:πx = et (cos t + sin t), 06t6ty = e (cos t − sin t)49.F~ = 4xy~i − x2~j;1L : y = x2 ,4M (0, 0), N (2, 1).x=4.10.Zpz = 100 − x2 − y 2 ; z = 7;x2 + y 2 = 51 (âíóòðè öèëèíäðà)5.36 6 x2 + y 2 + z 2 6 100;r√x2 + y 2xz>−; −√ 6 y 6 x 3633xy 2 dx − x2 y dy;CC:11.nopx = a2 − y 2 , x = 0F~ = (z − y + x) ~j − ~k,p : 2x + 2y + z − 4 = 0ÂÀÐÈÀÍÒ 121.ZZ7.x2+ y 2 6 4; y 6 0; y 6 x;3µ = x2 y16y 2 · cos xy dx dyDD : x = 0; y =2.√π; y = x8.L:ZZx2dx dyy29.DF~ = 2xy~i − x2~j;L : x = 2y 2 ,M (0, 0), N (2, 1).D : 2 6 x2 + y 2 6 −2y3.5√5x; y = x;618√ 5z = 0; z =3+ x18y=πx = cos t + t sin t, 06t6y = sin t − t cos t210.Z4.y 2 dx − x dy;Cpz = 6 x2 + y 2 ;z = 16 − x2 − y 25.36 6 x2 + y 2 + z 2 6 144;rx2 + y 2 √xz6; x 36y6 √336.S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (y > 0);D : x2 + z 2 6 2x, y = 0C : {y = cos x, y = 0, −π/2 6 x 6 π/2}11.F~ = 2~i + y~j + (z − x) ~k,p : 2x − y + 2z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 131.ZZS : y = x2 − z 2 ;D : x2 + z 2 6 9, y = 018x2 y 2 + 32x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = x ; y = − x7.32.ZZarctgxdx dyyDD:3.3x2 y 2+6 4; 0 6 y 6 x;492µ = xy16x2 + y 2 6 4y;y>2√√y = 6 3x; y = 3x;z = 0; x + z = 34.8.L:9.10.z=p9 − x2 − y 2 ;rx2 + y 2355.36 6 x2 + y 2 + z 2 6 144;rrx2 + y 2x2 + y 2−6z6−31506t61F~ = 2yx~i − y 2~j;L ëîìàíàÿ ëèíèÿ, ïåðâîåM (0, 0) è B(2, 0), à âòîðîå Zz=x = t3 + 1,y = t2çâåíî êîòîðîé ñîåäèíÿåò òî÷êèòî÷êè B(2, 0) è N (2, 1).ex [(1 + cos y) dx − (y + sin y) dy];CC : {y = x, x = 2, y = 1}11.F~ = (2y + 3z − 3x) ~k,p : 2x + 2y − 3z − 6 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 141.ZZx2 y 2+6 9; −x 6 y 6 0;13µ = xy 2164y 2 · sin 2xy dx dyDD : x = 0; y =√2π; y = 2x8.L:2.ZZx2dx dyy39.DD:3.F~ = cos y · ~i − sin x · ~j;L : îòðåçîê M N,M (2, −2), N (−2, 2).2x + y 2 > y; y > x;x2 + y 2 6 x + y√y = 2 x; x + y = 3;z = 0; z = 3y (z > 0)πx = 2(2 cos t − cos 2t), 06t6y = 2(2 sin t − sin 2t)310.Z4.ydx + 2 ln x dy;xCpz = 64 − x2 − y 2 ; z = 4;x2 + y 2 = 39 (âíóòðè öèëèíäðà)5.9 6 x2 + y 2 + z 2 6 81;rrx2 + y 2x2 + y 2−6z63356.S : z 2 = y 2 + x2 (z > 0);D : {x > 0, y > 0, x + y 6 1}C : {2x + y = 4, x = 1, y = 0}11.F~ = z~i + y~j + (x − y) ~k,p : 3x + 3y + 2z − 6 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 151.S : z 2 = 2x2 + 2y 2 (z > 0);D : x2 + y 2 6 2y, z = 0ZZ27x2 y 2 + 48x3 y 3 dx dyD√D : x = 1; y = x; y = −x32.7.x2+ y 2 6 4; 0 6 y 6 x;3µ = xy16ZZ p4 − x2 − y 2 dx dyDD:x2 + y 2 6 2y; x 6 0;x2 + y 2 > −2x8.06ϕ69.3.2π32yx~~F~ = − 55 i +5 j;5x3 + y 3x3 + y 3x = R cos3 tL:, x > 0, y > 0,y = R sin3 tx + y = 8; y 2 = 4x;z = 0; z = 6y (z > 0)M (R, 0), N (0, R).4.p16 − x2 − y 2 ;rx2 + y 2z=15z=5.L : ρ = 3e(3ϕ/4) ,10.ZCC:√4 6 x2 + y 2 + z 2 6 64; y 6 x 3;rx2 + y 2x06z6; y6√243(x2 y + x − y) dx + (y 2 + 2x) dy;11.y = x2 + 1, y = 2F~ = (5y + 2z + 3x)~i + ~j,p : 3x + y + z − 3 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 161.ZZxyy 2 · e− 2 dx dyDD : x = 0; y =2.S : z 2 = 4y 2 + 4x2 (z > 0); 2y2x+6 1, z = 0D:49√2; y = x7.x2 y 25+6 4; y > x; x > 0;4252xµ=y16ZZ1dx dy(x2 + y 2 )2D 2x + y 2 6 2x;D:x>13.5√5y=x; y = x;39√ 5z = 0; z =3+ x38.L : x2 + y 2 = ay(a > 0)9.F~ = (2a − y)~i − (a − y) ~j;x = a(t − sin t),L:y = a(1 − cos t)4.M (0, 0), N (2πa, 0).3p 2x + y2;25z = − x2 − y 22z=10.Z(x + y)2 dx − (x − y)2 dy;C5.C : {y = sin x, y = 0, 0 6 x 6 π}x36 6 x2 + y 2 + z 2 6 144; y > √ ;3r22√x +y−6 z 6 0; y > x 3311.F~ = ~i + (y + x) ~j + z~k,p:x+y+z−2=07.ÂÀÐÈÀÍÒ 171.ZZ4xy + 3x2 y 2 dx dyD√D : x = 1; y = x2 ; y = − x2.√x 6y26 4; y 6; y 6 0;16x +23µ = xy 22ZZ1dx dyx+y8.L : x2 + y 2 = bx, y > 0 (b > 0)9.F~ = 2xy~i + x2~j;L : y = x3 ,M (0, 0), N (1, 1).DD : 1 6 x2 + y 2 6 x + y3.p43y; z = x;3z = 0; x + y = 6x=10.Z4.(x2 − y 2 ) dx − (x2 + y 2 ) dy;Cpz = 36 − x2 − y 2 ; z = 2;x2 + y 2 = 27 (âíóòðè öèëèíäðà)5.36 6 x2 + y 2 + z 2 6 121; y > 0;r√x2 + y 2z6−; y>x 3996.S : y 2 = 2x2 + 2z 2 (y > 0);D : {x > 0, z > 0, x + 2z 6 1}C:11.no√22y = R −x , y =0F~ = y~i + 2~j + (z + x) ~k,p : x − 2y − 2z + 2 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 181.ZZS : 2y 2 = 3x2 + 3z 2 (y > 0);D : x2 + z 2 6 2x, y = 0y 2 · cos 2xy dx dyDrD : x = 0; y =2.ZZxπ; y=22y3dx dyx2DD:7.2x 6 x2 + y 2 6 4x;− √x3 6 y 6 xy26 9; −3x 6 y 6 0;4 6 x2 +3yµ= 2x8.π4F~ = x2 − y 2 ~i + x2 + y 2 ~j;x2 y 2+= 1, y > 0,L:49M (3, 0), N (−3, 0).x=4.06ϕ69.3.p152y; z = y;822x + y = 8; x = 0; z = 0L : ρ = 8 cos ϕ,10.Z(x + y) dx − (x − y) dy;pz = 49 − x2 − y 2 ; z = 3;x2 + y 2 = 33 (âíóòðè öèëèíäðà)5.4 6 x2 + y 2 + z 2 6 49; y 6 0;r√x2 + y 2z>; y6x 399CC:11.x2 y 2+ 2 =1a2bF~ = −~i + (x − z + y) ~k,p : x + 2y + 2z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 191.S : 3x2 = 4y 2 + 4z 2 (x > 0);D : y 2 + z 2 6 4z, x = 0ZZ12xy + 9x2 y 2 dx dyD√D : x = 1; y = x; y = −x22.7.3x2 y 2+6 9; 0 6 y 6 x;4922µ=x46ZZ p16 − x2 − y 2 dx dyD 2 x + y 2 6 4;x2 + y 2 + 4y > 0;D:x > 0; y 6 03.√√y = x; y = 2 x;z = 0; z + y = 24.8.L : ρ = 2 sin ϕ,9.10.pz = 12 x2 + y 2 ;z = 28 − x2 − y 2x16 6 x + y + z 6 64; y > − √ ;3r22√x +yz>−; y 6 −x 36322xy 2 dx − x2 y dy;CC:11.2π6F~ = 2xy~i − x2~j;L : y = sin x,M (π, 0), N (0, 0).Z5.06ϕ6x 2 + y 2 = a2F~ = (x − z)~i + 2~j + z~k,p : 2x + 2y − z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 201.ZZxydx dy2Dr4π2D : x = 0; y =; y= x332.S : 5x2 = 3y 2 + 3z 2 (x > 0); 2y2+ z 6 1, x = 0D:43y 2 · sin7.x21+ y 2 6 100; x > 0; y > x;42xµ= 2y16ZZx+ydx dyx2 + y 2D 22 x + y + 2y > 0;2x + y 2 + 4y 6 0;D: 0 6 x 6 − √y33.x=√8.L : ρ = a(1 − cos ϕ), 0 6 ϕ 6 π9.F~ = x2 + y 2 ~i + x2 − y 2 ~j;x, 0 6 x 6 1,L: y=2 − x, 1 < x 6 2√y; x = 2 y;1x + z = 2; z = 034.pz = 9 x2 + y 2 ;z = 22 − x2 − y 2(a > 0)M (2, 0), N (0, 0).10.Zex [(1 − cos y) dx − (y − sin y) dy];C5.C : {x = 0, y = 1, y = x}x16 6 x2 + y 2 + z 2 6 100; y 6 − √ ;3r22√x +yz6; y > −x 3311.F~ = (3x − 3y + 2z)~i,p : 3x − 2y − 2z + 6 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 211.ZZ8xy + 9x2 y 2 dx dyDD : x = 1; y =2.√x23216+ y 6 4; y 6x; y 6 0;42µ = x2 y√3x; y = −x3ZZ p9 − x2 − y 2 dx dy8.L ÷àñòü ïàðàáîëû y = 2√x,9.F~ = x~j;L : x2 + y 2 = a2 , x > 0,M (0, −a), N (0, a).DD:3.4.z=5.x2 + y 2 6 3x;x2 + y 2 6 3y√x2 + y 2 = 18; y = 3x;25z = x; y = 0; z = 01115 p 217x + y2; z =− x2 − y 22222216 6 x + y + z 6 81; y 6 0;r√x2 + y 2z>; y 6 −x 3996.S : 2x + 3y + z = 6; 2xy2D:+6 1, z = 0490 6 x 6 1.10.Z(2y + x2 ) dx + (y 2 x + y − x) dy;CC:11.x = y 2 − 1, x = 0F~ = x~i + ~j + (y + z) ~k,p:x+y+z−2=07.ÂÀÐÈÀÍÒ 221.ZZx2 y 216 6+6 100; y > x; x > 0;39xµ=yxyy 2 · e− 2 dx dyDD : x = 0; y = 1; y =x28.L: y=2.1pdx dy9 − x2 − y 2D 2x + y 2 6 3x;D:− √x3 6 y 6 √x39.√y = 2 x; x + y = 3;z = 3x; z = 010.ZZ3.4.x2 ln x−,421 6 x 6 2.F~ = x2 − y 2 ~i + xy~j;L : îòðåçîê M N,M (1, 1), N (3, 4).Z(y − x)2 dx − (x + y)2 dy;Crz=p25 − x2 − y 2 ; z =5.22x2 + y 299264 6 x + y + z 6 144;rx2 + y 2xz>−; 06y6 √6336.S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0);D : x2 + y 2 6 2x, z = 0C : {y = cos x, y = 0, −π/2 6 x 6 π/2}11.F~ = (2x + 3y − 3z) ~j,p : 2x − 3y + 2z − 6 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 231.ZZ24xy + 18x2 y 2 dx dyD√D : x = 1; y = x3 ; y = − 3 x2.x2 y 2+6 4; 0 6 y 6 2x;34µ=x16ZZ1x2y 2 )2dx dy8.L : y = x3 ,9.(9 + +3x 6 x2 + y 2 6 9;D:y > 0; x > 0F~ = y~i − y + x2 ~j;L : y = 2x − x2 ,M (0, 0), N (2, 0).D3.√y = 3x; x + y = 6;z = 4y; z = 00 6 x 6 2.10.Z4.(x2 + y 2 ) dx + (y 2 − x2 ) dy;Cpz = 64 − x2 − y 2 ; z = 1;x2 + y 2 = 60 (âíóòðè öèëèíäðà)5.64 6 x2 + y 2 + z 2 6 196;rx2 + y 2 xz6; √ 6y60336.S : x2 + y 2 + z 2 = 25 (y > 0);D : x2 + z 2 6 16, y = 0C:11.onpx = − R2 − y 2 , x = 0F~ = x~i + (y − z) ~j + 2~k,p : x − 2y − 2z + 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 241.ZZS : z = 1 − x2 − y 2 ;D : x2 + y 2 6 1, z = 0y 2 · cos xy dx dyDD : x = 0; y =2.ZZ√7.π; y = 2x108dx dy(9 − x2 − y 2 )2DD:3.223x 6 x + y 6x6y9;41 6 x2 +√y26 4; 0 6 y 6 3 2x;6µ=y8.L:x = 5(t − sin t),y = 5(1 − cos t)06t6π9.1 ~1 ~√j;i− √yxF~ =x = r cos tL:, x > 0, y > 0,y = r sin t√y = 3x; x2 + y 2 = 18;5y = 0; z = x; z = 011M (r, 0), N (0, r).4.21 p 2x + y2;223z=− x2 − y 2210.z=Z(y − x) dx − (x + y) dy;C(5.C:64 6 x2 + y 2 + z 2 6 196;rrx2 + y 2x2 + y 2−6z631511.y=br1−x2a2), y = 0 , a > 0, b > 0F~ = (2x + 3y + 5z) ~j + ~k,p : x + 3y + z − 3 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 251.√y2616x +6 4; y 6x; y 6 0;23µ = xy 22ZZ12xy + 27x2 y 2 dx dyD√D : x = 1; y = x2 ; y = − 3 x2.8.L:y2dx dyx2ZZD:x + y = 3; y 2 = 4x;z = −y; z = 0 (z > 0)π2F~ = 2xy~i − y 2~j;L : îòðåçîê M N,M (0, 0), N (2, 1).x2 + y 2 + 2x 6 0;x2 + y 2 > 23.06t69.Dx = 10 cos3 t,y = 10 sin3 t10.Z4.xy 2 dx − x2 y dy;Cpz = 3 x2 + y 2 ;z = 10 − x2 − y 25.22216 6 x + y + z 6 100;rrx2 + y 2x2 + y 2−6z63356.S : x = z2 − y2;D : y 2 + z 2 6 4, x = 0C:11.nopx = a2 − y 2 , x = 0F~ = −~i + (x − z + y) ~k,p : x + 2y + 2z − 4 = 07.ÂÀÐÈÀÍÒ 261.ZZxydx dy2D√D : x = 0; y = π; y = x2.y 2 · sinZZD:8.L:xdx dyy2D√x2 y 23 526+6 5; 0 6 y 6x;53532µ = xy63√16 6 x2 + y 2 6 4 2 · y;x>09.F~ = 4xy~i − x2~j;1L : y = x2 ,4M (0, 0), N (2, 1).3.ppx = 3 3y; x = 2 3y;z = 0; z + y = 34.z=5.10.Zrp9 − x2 − y 2 ; z =x2 + y 2809 6 x2 + y 2 + z 2 6 81; y 6 0;rx2 + y 2x06z6; y6√2436.S : 2x + y + 3z = 6; 2xz2D:+6 1, y = 049x = ln t , 16t62y = 12 t + 1ty 2 dx − x dy;CC : {y = cos x, y = 0, −π/2 6 x 6 π/2}11.F~ = x~i + (z − x) ~j + y~k,p : 3x + 2y + 3z − 6 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 271.S : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0);D : x2 + y 2 6 x, z = 0ZZ8xy + 18x2 y 2 dx dyD√D : x = 1; y = 3 x; y = −x22.ZZ9 − x2 − y 2 dx dyDD:27.x21+ 3y 2 6 15; x > 0; y > x;33xµ=y168.L:2x + y 6√2y;x6y6x 33.√y = 5x; x2 + y 2 = 5012z = x; z = 0 (z > 0)254.9.F~ = 2xy~i − x2~j;L : x = 2y 2 ,M (0, 0), N (2, 1).10.Zpz = 100 − x2 − y 2 ; z = 6;x2 + y 2 = 51 (âíóòðè öèëèíäðà)5.ex [(1 + cos y) dx − (y + sin y) dy];CC : {y = x, x = 2, y = 1}11.49 6 x2 + y 2 + z 2 6 169; y > 0;rx2 + y 2x6 z 6 0; y > √−243πx = et (cos t + sin t), 06t6ty = e (cos t − sin t)4F~ = ~i + (5x + 2y + 3z) ~k,p : x + y + 3z − 3 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 281.ZZS : x2 + y 2 + z 2 = 4 (x > 0);D : z 2 + y 2 6 2z, x = 0xyy 2 · e− 8 dx dyD7.D : x = 0; y = 4; y = 2xx2 y 2+6 9; −x 6 y 6 0;3120 2µ=xy363162.ZZ(x − y) dx dyDD:2x 6 x2 + y 2 6 4x;x > 0; y > 03.8.L:9.ppx = 19 2y; x = 4 2y;z = 0; y + z = 210.4.x9 6 x + y + z 6 64; y 6 √ ;3rx2 + y 2xz>; y 6 −√99322L ëîìàíàÿ ëèíèÿ, ïåðâîåM (0, 0) è B(2, 0), à âòîðîå çâåíî êîòîðîé ñîåäèíÿåò òî÷êèòî÷êè B(2, 0) è N (2, 1).ydx + 2 ln x dy;xCC : {2x + y = 4, x = 1, y = 0}11.2πx = cos t + t sin t, 06t6y = sin t − t cos t2F~ = 2yx~i − y 2~j;Zpz = 36 − x2 − y 2 ;rx2 + y 2z=635.F~ = x~i + ~j + (y + z) ~k,p : 2x + y + 2z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 291.S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (y > 0);D : x2 + z 2 6 2x, y = 0ZZ12xy + 27x2 y 2 dx dyD√D : x = 1; y = x ; y = − x7.32.ZZlnp9 − x2 − y 2 dx dy8.DD:y26 100; 0 6 y 6 3x;9 6 x2 +3yµ= 2x1 6 x2 + y 2 6 4;y > x; y > √x33.5√5x=y; x = y;395√z = 0; z = (3 + y)94.L:F~ = cos y · ~i − sin x · ~j;L : îòðåçîê M N,M (2, −2), N (−2, 2).10.pz = 81 − x2 − y 2 ; z = 5;x2 + y 2 = 45 (âíóòðè öèëèíäðà)(x2 y + x − y) dx + (y 2 + 2x) dy;CC:11.36 6 x2 + y 2 + z 2 6 100;r√x2 + y 2x; −√ 6 y 6 x 3z>−63306t619.Z5.x = t3 + 1,y = t2y = x2 + 1, y = 2F~ = (z + x)~i + y~j + ~k,p : 2x + 2y + z − 4 = 06.ÂÀÐÈÀÍÒ 301.ZZxydx dy2D√D : x = 0; y = 2π; y = 2xy 2 · cos2.ZZex2 +y 2dx dyDD:0 6 y 6 x;4 6 x2 + y 2 6 93.S : y = x2 − z 2 ;D : x2 + z 2 6 9, y = 07.x2 y 2+6 4; x > 0; y > 2x;3440µ = x2 y31168.L:πx = 2(2 cos t − cos 2t), 06t6y = 2(2 sin t − sin 2t)39.22yx~~F~ = − 55 i +55 j;x3 + y 3x3 + y 3x = R cos3 tL:, x > 0, y > 0,y = R sin3 tpx = 2y; x + y = 4;3z = 0; z = x5M (R, 0), N (0, R).4.pz = 100 − x2 − y 2 ; z = 7;x2 + y 2 = 51 (âíóòðè öèëèíäðà)10.Z5.(x + y)2 dx − (x − y)2 dy;CC : {y = sin x, y = 0, 0 6 x 6 π}22236 6 x + y + z 6 144;rx2 + y 2 √x; x 36y6 √z63311.F~ = 2~i + (y + z) ~j + x~k,p : 2x + 2y − z − 2 = 0.
