Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Лабораторная работа №1

Московский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХРЕГУЛЯТОРОВЛабораторная работа №1 по курсу ОУДПТема «Классическое вариационное исчисление в задачах оптимальногоуправления»Цель работы: овладеть навыками и умением по синтезу линейныхсистем управления с квадратичным критерием качества на основеклассического вариационного исчисления.Необходимое оборудование: ПЭВМ, совместимая с IBM PC, пакетMatlab под ОС Microsoft Windows.Продолжительность работы: 4 часаВведениеВо многих случаях схемы управления возмущенным движением приводятк рассмотрению линейных систем с квадратичным критерием качества.Многие объекты управления достаточно точно описываются линейнымидинамическими моделями.

Путем разумного выбора квадратичных критериевкачества и квадратичных ограничений в этом случае удается синтезироватьвесьма удовлетворительные управляющие устройства с линейной обратнойсвязью.Пустьсистемаописываетсявекторнымдифференциальнымуравнением с переменными коэффициентами(1)x =A(t) x + B(t) uНеобходимо перевести систему из некоторого начального состоянияx (t0) в заданное конечное состояниеx (tk) 0,(2)используя допустимые функции управления u (t) и не выходя за допустимыепределы по фазовым переменным в процессе движения.Один из методов решения этой задачи состоит в минимизациикритерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы отвектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных формвектора состояния и вектора управленияtJ= 1 x T Gk x t t + 1 ( x T Qx  u T Ru )dt .(3)k2k2 t0Здесь Gk и Q(t) - положительно полуопределенные матрицы, R(t) положительно определенная матрица.Управление u (t), минимизирующее функционал (3), можно найти путемсовместного решения уравнения (1) и уравнения Эйлера-Лагранжа:H, при p (tk)= Gk x (tk),p T  xHu=0,(4)(5)1___________________________________________________________________Деменков Н.П.

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________11где функция Гамильтона H= x T Qx  u T Ru  p T ( Ax  Bu ) ,(6)22откуда управлениеu = R-1 BT p .(7)Подстановка (7) в (1) приводит к следующей линейной краевой задачеx =A x - BR-1 BT p ,x (t0) - задано(8)T(9)p = -Q x - A p ,p (tk)= Gk x (tk)Результатом решения двухточечной краевой задачи (8),(9) являетсяуправление u (t)u (t) = - K(t) x (t), где K(t) = R-1(t) BT(t) S(t),(10)а симметричная матрица S(t) определяется из матричного уравнения Риккати(11)S = - SA- ATS + SBR-1BTS - Qпри граничном условии S(tk) = Gk, а векторы x и p связаны линейнымпреобразованиемp =K x - .(12)Вектор  можно найти из уравнения(13)v *=-(AT-BR-1BT) v * - Q x ж,при граничном условии  *(tk), определяемом из (12).Для задачи терминального управления основной интерес представляетсам непрерывный закон управления с обратной связьюu ( x ) = - K(t) x (t).Выбор постоянных весовых коэффициентовЗакон управления и реакция системы в значительной степени зависятот выбора весовых коэффициентов показателя качества.

Выбор этихкоэффициентов представляет трудную задачу, так как взаимосвязь весовыхкоэффициентов и параметров оптимальной системы или ее реакцией в общемслучае очень сложная.Для получения допустимых уровней величин x (tk), x (t) и u (t) матрицыGk, Q(t) и R(t) могут быть выбраны по методу Брайсона (A.E.Bryson)диагональными со следующими элементами:1 = максимальное значение составляющих [xi(tk)]2;(14)G k ii= (tk-t0) * максимальное значение составляющих [xi(t)]2;(15)1 = (t -t ) * максимальное значение составляющих [u (t)]2.k 0irii(16)1q iiДля стационарных систем метод выбора коэффициентов функционалапредложен Эллертом (F.J.Ellert).Для объекта второго порядка, описываемого уравнением ax   11a 21a 12 0 0  ,xua 22 0 b22 (17)с показателем качестваtJ= 1 ( x T Qx  u T Ru )dt ,k(18)2 t0где tk=, а матрицы Q и R имеют вид2___________________________________________________________________Деменков Н.П.

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________Q= q11 0  , R=  0 0 ,(19)0 q 0122 закон управления имеет видu2*(t)=-b22[k21x1*(t)+k22x2*(t)]+b22v1*(t),(20)в котором коэффициенты kij определяются из решения системы нелинейныхалгебраических уравнений (11) Риккати:2 2q22+2a22k22+2a12k21- b22k 22 =0,2 2q11+2a21k21+2a11k11- b22(21)k 21 =0,2a21k22+a22k21+a11k21+a12k11- b22 k22k21=0,а вектор  * определяется из решения дифференциального уравнения (13) приvi*(tk)=0, i=1,2dv *- 1 =q22x2ж+a22v2*+a12 v1*-b222k22v2*,dtdv2*=q11x1ж+a21v1*+a11 v1*-b112k21v2* .(22)dtТак как замкнутая система линейная стационарная, то еепередаточная функция определяется как1W(s)=(23)T 2 s 2  2Ts  1Согласно процедуре Эллерта выбор коэффициента “демпфирования” обеспечивает требуемую степень устойчивости системы при условии, что ниодна из переменных системы не превышает заданных пределов.Постоянная времени T выбирается в соответствии с требуемойполосой пропускания системы или ограничениями на u2(t) из уравненияu2(t)=- 1 {[x1(t)/(a12T2)+[a11x1(t)/a12+x2(t)]2/T+(a112/ a12+ a21)x1(t)+b22+(a11+ a22)x2(t)}+b22v1*(t)(24)при подстановке в него максимально допустимой величины u2(t), “наихудших”x1(t), x2(t) и v1(t), предварительно разрешив уравнения (22) относительно v1*(0).После определения  и T весовые коэффициенты q11 и q22 задаютсяуравнениямиq11=(1/ a122 b222)[1/T4+6 a11/T3+a112(12+2)/T2+8a113/T++(2a11a12a21a22+2 a112 a12a21+ a122 a212+ a114)],(25)22222q22=(1/b22 )[(4 -2)/T - a11 - a22 -2 a12a21].(26)Для выпуклости функционала качества весовые коэффициенты q11 и q22должны быть неотрицательными.

Это требование служит проверкойнепротиворечивоститребованийпроектированиявпредположенииправомерности выбора квадратичного показателя качества с постояннымивесовыми коэффициентами.После определения этих величин предположение о бесконечном tkотбрасывается и рассчитывается оптимальная система для заданного tk.Практическая работа1. Ознакомиться с методикой синтеза линейно-квадратичногорегулятора для непрерывной системы в пакете MATLAB с помощью процедурыфункции lqr или lqry (Приложение 1).2. Для заданного объекта управления (исходные данные взять из табл.

1)выбрать весовые коэффициенты в матрице Q, следуя:3___________________________________________________________________Деменков Н.П. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________а) методике Брайсона (13)-(15);б) методике Эллерта (формулы (24)-(26)) для замкнутой системы сошибкой по положению равной нулю.Таблица 11234567891011121314151617181920k950,1950,2800,150,4750,2700,15650,1300,150,3250,2200,150,3150,10,4400,050,5350,10,3500,150,3450,10,3600,150,3550,20,5900,150,2850,1T950,150,4100,050,50,30,50,20,40,40,20,43.

Для пунктов 2а и 2б рассчитать с помощью программы lqr или lqryкоэффициенты матрицы обратных связей K, синтезировать оптимальноеуправление и построить графики поведения оптимальной траектории иоптимального управления.4. Провести анализ качества синтезированных систем. Изменить на10% параметры объекта T и и построить траектории. Сделать выводы.Замечания:1. Для формирования замкнутой системы управления можноиспользовать процедуру feedback. Можно также воспользоваться функциейestim, формирующей наблюдающее устройство и функцией reg, формирующейдинамический регулятор.2.

При соединении регулятора с объектом управления предполагаетсяиспользование положительной обратной связи.3. С целью поддержания управления u(t) в заданных пределах можноввести в показатель качества штрафную функцию.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующиенавыки и умения:1.

Умение определить оптимальное управление методом классическоговариационного исчисления.2. Умение решить задачу аналитического конструированияоптимального регулятора.3. Навыки по выбору постоянных весовых коэффициентов в функционалекачества.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующиезнания:1. Нахождение оптимального управления с помощью классическоговариационного исчисления.2.

Методов решения задачи АКОР.3. Методик выбора постоянных весовых коэффициентов в функционалекачества.Оформление отчетаОтчет по лабораторной работе должен содержать:1. Структурную схему исследуемой системы.2. Переходные процессы и управление в системе до и после синтеза, атакже при изменении параметров объекта и начальных условий.3. Выводы по работе.Вопросы:4___________________________________________________________________Деменков Н.П. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________1. Как ставится задача нахождения оптимального управления методамиклассического вариационного исчисления?2.

Изложите методику решения задач аналитического конструированияоптимальных регуляторов.3. Какие основные проблемы возникают при решении задачи АКОР?4. Приведите основные типы критериев качества управления.5. Что характеризует критерий качества управления?6. Как учитываются ограничения на управление и почему мы ихрассматриваем?7.