Синтез оптимальных систем на основе принципа максимума Л.С.Понтрягина. Лабораторная работа №3

Московский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕПРИНЦИПА МАКСИМУМА Л.С.ПОНТРЯГИНАЛабораторная работа №3 по курсу ОУДПЦель работы: овладеть навыками и умением по построениюоптимальных систем на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина.Необходимое оборудование: ПЭВМ, совместимая с IBM PC, пакетMatlab под операционной системой Microsoft Windows.Продолжительность работы: 4 часа.ВведениеДля задач со свободным концом нет в общем случае конечной процедурыполучения точного результата, однако для их решения разработаныэффективныеприближенныеспособы,использующиеследующеезамечательное свойство этого класса задач.

Для получения точного решениязадачи оптимального управления динамической системой, если она линейна пофазовой переменной и на правый конец траектории не наложено никакихограничений, достаточно решить две задачи Коши.Практическая работа1. Используя метод последовательных приближений, разработатьпрограмму в MATLAB для реализации алгоритмов M2-3 и M4 (Приложение 1).2. Ознакомиться с решением задачи синтеза оптимального управленияметодом последовательных приближений (Приложение 2).3.

Используя алгоритмы M2-3 или M4 метода последовательныхприближений, выполнить синтез оптимального управления для задачиx1  x3 ; x2  x4 ; x3  u1 ; x4  u2 , t∈[0,tk] , |ui|≤uimax, J=Gk[ x (tk ) ,tk].Начальные условия и другие данные взять из табл.1.Таблица 1x1(0)Нач.условияx2(0) x3(0)Нач.пр.Фktkx12 (t k )  x22 (t k )-T  t k  t0x (t k )  x (t k ) -13T- T  t k  t0x12 (t k )  x22 (t k ) -1T(0;0)(-0,3;-0,2)(0,5;-0,5) t∈[0;0,5](0,3;0,5) t>0,5(0,0)(1; -0,5) t∈[0,2](-1;-0,2) t>2(0,3;0,6)x (t k )  x (t k )-2TTx1 (tk )x2 (t k )(-0,3;-0,2) t∈[0;0,5]- T  t k  t0x12 (t k )  x22 (t k )TTx12 (t k )  x22 (t k )-3x4(0)u (t )(1;0,5)(0,6; -1) t∈[0;0,5](0,75;-0,5) t>0,5(0;0)12-3-3320,5-0,3-0,50,53-3-311456-12-0,443-0,680,510,40,6-0,5-0,47805310,5-2-0,519103-1,35-1-0,68-1-0,27-1-0,1811-330,5-0,5min J1T(1;-0,5) t>0,5(1;0,5)21212222x1 (tk )x2 (t k )T  t k  t0x (t k )  x22 (t k ) -121x12 (t k )x 2 (t k )T  t k  t0x (t k )  x (t k ) -12122_____________________________________________________________________________ 1Деменков Н.П.

Синтез оптимальных систем на основе принципа максимума Л.С.ПонтрягинаTTМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________T  t k  t012-32-0,30,5T(0,6; -1) t∈[0;0,5]x12 (t k )  x22 (t k ) -1(0,75;-0,5) t>0,513-3-311(0;0)- T  t k  t0Tx12 (t k )  x22 (t k ) -1141516-12-0,443-0,680,510,40,6-0,5-0,4171805310,5-2-0,5119203-1,35-1-0,68-1-0,27-1-0,18(0;0)(-0,3;-0,2)(0,5;-0,5) t∈[0;0,5](0,3;0,5) t>0,5(0,0)(1; -0,5) t∈[0,2](-1;-0,2) t>2(0,3;0,6)x12 (t k )  x22 (t k )x1 (tk )x2 (t k )(-0,3;-0,2) t∈[0;0,5]- T  t k  t0x12 (t k )  x22 (t k )(1;-0,5) t>0,5-x1 (tk )x2 (t k )T  t k  t0x (t k )  x22 (t k ) -121x12 (t k )x 2 (t k )T  t k  t0x (t k )  x (t k ) -12122Перед решением задачи необходимо выяснить управляема ли система идостижимы ли поставленные условия.

В MATLAB функция ctrb (A.B)формирует матрицу управляемости для линейной системы, заданной впространстве состояний. Обращение к программе:Co=ctrb(A,B);unco=length(A)-rank(Co);% Количество неуправляемых мод.Для оптимизации функции Гамильтона целесообразно привлечь одну изфункций пакета Optimization Toolbox:Функция x= fgoalattain(fun,x0,goal,weight) служит для решения задачивекторной оптимизации методом достижения цели. Здесь x – решение задачимногомерной оптимизации, fun – векторная функция векторного аргумента, x0– стартовое значение, goal – вектор задаваемых целевых значений, weight –вектор весов.Функция x=fmincon(fun,x0,A,b) осуществляет поиск минимума скалярнойфункции многих переменных при наличии ограничений вида Axb (задачанелинейного программирования).Функция х=fminsearch(fun,x0) позволяет найти минимум функциинескольких переменных без ограничений, то есть решает задачу безусловнойоптимизации.Построить графики полученных оптимальных управлений итраекторий.

Сравнить результаты, полученные модифицированнымиалгоритмами улучшения сходимости М2-3 или М4.Сделать выводы и результаты продемонстрировать преподавателю.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующиенавыки и умения:1. Навыки по оптимизации систем управления на основе принципамаксимума Л.С.Понтрягина.2. Умение определить условия управляемости и достижимостисистемы.3. Умение решить задачу оптимизации методом последовательныхприближений.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующиезнания:1.

Принципа максимума Л.С.Понтрягина._____________________________________________________________________________ 2Деменков Н.П. Синтез оптимальных систем на основе принципа максимума Л.С.Понтрягина2TTTTTTМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________2. Методах решения задач оптимального управления на основе принципамаксимума.3.

Метода последовательных приближений и его модификаций.Оформление отчетаОтчет по лабораторной работе должен содержать:1. Структурную схему, уравнения, краевые условия, Гамильтониан икритерий качества исследуемых систем.2. Алгоритм, блок-схему и программу решения задач оптимизации3. Результаты моделирования.4. Выводы по работе.Вопросы:1. Постановка задачи оптимизации по принципу максимумаЛ.С.Понтрягина.2.

Связь классического вариационного исчисления с принципоммаксимума Л.С.Понтрягина.3. Почему для функционирования системы требуется выполнениеусловий управляемости системы?4. Сформулируйте условия управляемости для исследуемой системы.5. Какую функцию MATLAB можно использовать для формированияматрицы управляемости объекта управления?6. Сформулируйте условия достижимости для исследуемой системы.7.

Как изменятся условия трансверсальности, если момент окончания tkпроцесса не фиксирован?8. Для какого класса задач наиболее адекватен применим методпоследовательных приближений (мпп)?9. Как можно повысить точность получения оптимального управления спомощью мпп?10. Особенности модификаций мпп М2-3, М4.11.

Какая из двух модификаций мпп М2-3 или М4 является болеетрудоемкой и почему?12. Как следует подбирать начальные приближения для управления вмодификациях М2-3 и М4?Список литературы1. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательныхприближений для решения задач оптимального управления / ЖВМ и МФ, 1962,т.2, №6. С.1132-1139.2. Сборник лабораторных работ по курсу «Управление в техническихсистемах»: Метод. Указания к лабораторным работам / Под ред. К. А.Пупкова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. – 72с.3. Деменков Н.П. Вычислительные аспекты решения задачоптимального управления: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,2007.

– 171с.4. Деменков Н.П. Вычислительные методы решения задач оптимальногоуправления на основе принципа максимума Понтрягина: Учеб. Пособие. –М.Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2015.- 78с._____________________________________________________________________________ 3Деменков Н.П. Синтез оптимальных систем на основе принципа максимума Л.С.ПонтрягинаМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________Приложение 1Метод последовательных приближений, пpeдлoжeнный А.А.Крыловыми Ф.Л.Черноусько для решения задач оптимального управления на основепринципа максимума Л.С.Понтрягина для задач со свободным концом, yдoбeндля мaшинной peaлизaции, пocкoлькy нe тpeбyeт линeapизaции cиcтeмы•x  f ( x , u , t ) , x (t0 ) = x0 для t  [t0,tk](1)где x (t ) - n-мерный вектор фазовых координат, u (t ) - m-мерная управляющаяфункция, t0 - начальный момент, tk - фиксированный момент окончанияпроцесса.На управление наложено ограничение(2)u (t ) U,где U - компактная область в m-мерном пространстве.Ha знaчeния вeктopa x (tk) никaкиx oгpaничeний нe накладывается,пoэтoмy знaчeниe импyльca нa пpaвoм кoнцe известно(3)p(tk )  c .Рaccмaтpивaется зaдaча oтыcкaния минимyмa фyнкциoнaлaJ ( x, u )   ci x i (t k ) = Gk [ x (tk ), tk ](4)пpи oгpaничeнияx (1) — (2).Пpoцeдypa peшeния этoй задачи cocтoит в cлeдyющeм:а) Задaется некоторое допустимое управление (диcпeтчepcкoe) u 1 .Интeгpиpyя cиcтeмy (1) слева направо, нaходится x 1 .б) Cocтавляется фyнкция ГaмильтoнaH   pi f i ( x , u 1 )iи ypaвнeния для coпpяжeнныx пepeмeнныxn fp i =   j p j, i=1,…,nj 1 xiс граничными условиями(5)Gk|t tkxiесли момент окончания процесса задан, либо с условием трансверсальностиdG dt  Gkp (t k )  [ k]t tk ,dt d xxGGФФ  [ k  T ( k  T) f  L]t t k  0ttxxесли момент tk не задан.в) Интeгpиpyется cиcтeма (5) пpи кpaeвoм ycлoвии (3) cпpaвa нaлeвo oтt = tk дo t = t0 , cчитaя при этом, чтo x = x 1 , u = u 1 .