Решение краевых задач. Лабораторная работа №2б

Московский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧЛабораторная работа №2б по курсу ОУДПЦель работы: овладеть навыками и умением по решению краевых задач при синтезеоптимальных систем на основе классического вариационного исчисления и принципамаксимума Л.С.

Понтрягина.Необходимое оборудование: ПЭВМ, совместимая с IBM PC, пакет Matlab подоперационной системой Microsoft Windows.Продолжительность работы: 2 часа.ВведениеНеобходимые условия оптимальности, как в классическом вариационном исчислении,так и при использовании принципа максимума, позволяют нам сформулировать некоторуюкраевую задачу. Искомая экстремаль содержится среди решений этой краевой задачи.Проблема расчета оптимального управления не была бы сложной, если бы мы умелидостаточно хорошо решать краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.Мы же умеем численно решать только задачу Коши - определять траекторию поначальным данным.

Но в рассматриваемом случае мы имеем на левом конце всего лишь nусловий, хотя система имеет порядок, равный 2n.Каким образом, используя наше умение решать задачу Коши, построить решениекраевой задачи?Решение краевых задач методом стрельбыПростейшим представителем краевой задачи является двухточечная граничная задача,для которой граничные условия задаются в двух точках, как правило, на концах интервала, накотором ищется решение.Одним из распространенных способов решения двухточечных краевых задач, в том числе инелинейных, на отрезке [a,b], является метод стрельбы (пристрелки).Метод стрельбы базируется на том, что имеются удобные способы численногорешения задачи Коши. При решении задачи методом стрельбы краевая задача сводится крешению задачи Коши, причем недостающие начальные значения задаются векторомпараметров, значения которых и находятся "пристрелкой".Решение краевых задач стандартными средствами MATLABДля решения краевых задач можно использовать специальные программы в MATLABbvp4c или bvp5c.

Функция bvp4c решает краевую задачу для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений y’=f(y,x).Практическая работа1. Используя стандартные процедуры интегрирования дифференциальных уравнений(ode113, ode45 и др. см. Приложение 1), решить задачу выведения космического аппарата (КА)на круговую орбиту, если уравнения движения КА в плоскости выведения OXстYст (рис.1):dVx=acos ,dtdV y=asin  -g,dtdX=Vx ,dtdY=Vy,dt_____________________________________________________________________________ 1Деменков Н.П. Решение краевых задачМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________Yст0XстРис.1где Vx и Vy – горизонтальная и вертикальная составляющие скорости V, a=P/m – ускорение t – масса КА,  – угол между вектором горизонтальной скоростиза счет силы тяги, m=m0- m - секундный расход топлива, g=9,81 м/с2 - ускорениеи направлением ускорения a, mсвободного падения, =3,98602*1014 м3/с2 – гравитационная постоянная Земли.Управление меняется по закону: tg=tg0-Ct, где С определяется из краевых условий, аобласть допустимых управлений задана условием: сos2 + sin2  =1.

Исходные данные взять изтабл.1.Таблица 1m 0, тmкон, тm , кг/сP, кн1499492889900216817320240034753255830429730288526051501532038206103103254200733316036258465150650098481487000103903931089001127027320240012180182106000Условием окончания процесса интегрирования является выполнение краевых условий:Ф1 = Vy(tk) = 0,Ф2 = Vx(tk) -r (t k )=0,которые следует задать аргументом options, с управляющим параметром events,определяющим события, наступление которых влияет на ход вычислений.2.

Решить тестовые примеры краевых задач (Приложения 2 и 3).3. Решить, используя метод стрельбы и функцию MATLAB bvp4c или bvp5c, одну изкраевых задач по указанию преподавателя:z y'  x ,1) 2z 2z , z' xy1x y 1  0, z 2   0.321на отрезке [1,2] . y'  z  y x,2)  z '  z  y x, y0  1, z 1  2.346на отрезке [0,1] . y '  cos y  2 z   2,23)  z '  x  1,x  2 y2 y 0  1, z 0.3  0.18на отрезке [0, 0.3]._____________________________________________________________________________ 2Деменков Н.П. Решение краевых задач13500502009000Московский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________ y '  e  x  z   2 x ,4)  z '  2 y 2  z,на отрезке [0, 0.3]. y 0  0.5, z 0.3  1.5475) y ' '   y '  y2  1 , y(1) = 0, y’(3) = 3 на отрезке [0,3].x x6) y’’- y = ex , y(0) = 0, y’(1) = 2.7183 на отрезке [0,1].227) y’’-2 y’ = x2 -1, y(1) = -1/6, y’(2) = -0.5433 на отрезке [1,2].8) y’’- 2y’ = 3ex , y(0.3) = 1.415, y’(0.6) = 8.6938 на отрезке [0.3, 0.6].9) y’’+ y’ = 3x2 , y(1) = -1, y’(2) = 8.1558 на отрезке[1,2].10) х2y + xy- y = x2 ; y(1) = 1.333, y(3) = 3, на отрезке [1, 3] .11) y + xy + y = 2x ; y(0) = 1, y(1) = 0, на отрезке [0, 1] .12) y + ychx = 0 ; y(0) = 0, y(2.2) = 1, на отрезке [0, 2.2] .13) y + (x – 1)y + 3.125y = 4x ; y(0) = 1, y(1) = 1.368, на отрезке [0, 1] .14) х2y - 2y = 0 ; y(1)-2y(1) = 0, y(2) = 4.5, на отрезке [1, 2] .15) y + x2y = -2 ; y(-1) = 0, y(1) = 0, на отрезке [-1, 1] .16) -y + x2y = (2/4 + x2)cos(x/2) ; y(0) = 1, y(1) = 0, на отрезке [0, 1] .17) y + |y| =0 ,18) y y(0) = 0, y(4) = -2 , на отрезке [0, 4];0.5y 2 =0, 0 < x < 1, y’(0) = 0.25, y(1) = 0 ;1  0.5 y19) y + sin(y) =0 , 0 < x < 1, y(0) = 0, y’(xk) = 1.4866;20) (t+1)x(t)+x(t)=t2, x(0)=4, x’(5)=14.961.4.

Построить графики полученных траекторий.5. Сделать выводы по использованным подходам и результаты продемонстрироватьпреподавателю.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующие навыки иумения:1. Навыки по решению краевых задач.2. Умение определить условия устойчивости и время решения краевых задач.3.

Умение решить краевую задачу методом стрельбы и стандартными методами,имеющимися в MATLAB.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующие знания:1. Понятие о краевой задаче.2. Существующих методах решения краевых задач.Оформление отчетаОтчет по лабораторной работе должен содержать:1. Наименование и цель работы.2. Уравнения или структурную схему исследуемых систем._____________________________________________________________________________ 3Деменков Н.П.

Решение краевых задачМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________3. Алгоритм, программу или схему решения краевой задачи.4. Результаты моделирования.5. Выводы по работе.Вопросы:1. Какие существуют методы решения краевых задач?2. Какие вычислительные проблемы возникают при решении краевой задачи методомпереноса граничных условий?3. В чем состоит метод стрельбы?4.

Как задаются недостающие начальные условия?5. Приведите схему решения краевой задачи методом стрельбы с использованиемметода деления отрезка пополам.6. Приведите схему решения краевой задачи методом стрельбы для линейногодифференциального уравнения.7.

В чем состоит особенность метода Ньютона?8. Приведите алгоритм решения краевой задачи с помощью процедуры bvp4c.Список литературы1. Сборник лабораторных работ по курсу «Управление в технических системах»: Метод.Указания к лабораторным работам / Под ред. К. А. Пупкова. - М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2002. – 72с.2. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численныеметоды.

— СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 752 с.3. Деменков Н.П. Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления:Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007. – 171с.ПРИЛОЖЕНИЕ 1Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений в MATLABИнтегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вMATLAB осуществляется чаще всего при помощи функций ode23 или ode45. Функция ode23осуществляет интегрирование численным методом Рунге-Кутта 2-го порядка, а с помощьюметода 3-го порядка контролирует относительные и абсолютные ошибки интегрирования накаждом шаге и изменяет величину шага интегрирования так, чтобы обеспечить заданныепределы ошибок интегрирования. При использовании функции ode45 интегрированиеосуществляется методом Рунге-Кутта 4-го порядка, а величина шага контролируетсяметодом 5-го порядка.Для интегрирования так называемых жестких систем уравнений, у которых возможнапотеря точности в процессе численного решения, используются более сложные неявныеметоды.

Заранее по внешнему виду жесткую систему распознать не всегда удается, темболее что свойство жесткости может проявляться или не проявляться в зависимости оттого, на каком интервале независимой переменной t ищется решение. Для решения жесткихзадач можно применить функцию ode15s, в которой используются численные методыдифференцирования и формулы дифференцирования назад.Система дифференциальных уравнений должна быть представлена в форме Коши:dx f ( x, t) ,dtгде x – вектор переменных состояния системы, t – аргумент (обычно время), f – нелинейнаявектор-функция от переменных состояния x и аргумента t.Результатом интегрирования является матрица проинтегрированных значенийфазовых переменных x , в которой каждый столбец соответствует одной из переменныхсостояния, а строка содержит значения переменных состояния, соответствующихопределенному шагу интегрирования, т.е.