Сотсков А.И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах (2002)

РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛАNEW ECONOMIC SCHOOLСотсков А.И., Колесник Г.В.ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕв примерах и задачахМосква, 2002Сотсков А.И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах. – М.:Российская экономическая школа, 2002 – 58 с.Настоящее пособие знакомит с основными условиями оптимальности и методамирешения задач вариационного исчисления и оптимального управления. Будет полезно дляподготовки и проведения практических занятий по разделу "Оптимальное управление", атакже при выполнении домашних заданий по этой теме студентами.Sotskov A.I., Kolesnik G.V. Optimal Control: Problems and Solutions. – Moscow, NewEconomic School, 2002 – 58 p.This book gives basic information on optimality conditions and solution techniques ofvariational and optimal control problems. It will be useful for teachers in preparing andconducting of sections on optimal control theory and for students in their self-study.© Сотсков А.И, Колесник Г.В., 2002 г.© Российская экономическая школа, 2002 г.ПредисловиеТеория оптимального управления является одним из разделов курса"Математика для экономистов", читаемого в Российской экономическойшколе.Опыт преподавания показывает, что данный раздел – один из наиболеесложных для освоения.

Это прежде всего связано с концептуальнымиотличиями изучаемых в нем задач оптимального управления от задачконечномерной оптимизации, и, как следствие, с существеннымусложнением используемых в них условий оптимальности.В связи с этим представляется полезным дать наглядную иллюстрациюприменения данных условий оптимальности к решению задач различныхтипов. Настоящее пособие и является попыткой дать такую иллюстрацию. Внем содержатся примеры и задачи по четырем темам:• вариационному исчислению;• принципу максимума в задачах без ограничений;• принципу максимума при наличии фазовых ограничений;• динамическому программированию.Каждый раздел состоит из теоретической части, описывающей базовыепонятия и результаты, используемые при решении соответствующих задач,примеров с решениями, а также задач для самостоятельной работыстудентов.Следует подчеркнуть, что данное пособие ни в коем случае не являетсятеоретическим курсом, а ориентировано прежде всего на практическоеприменение методов оптимального управления.

В качестве теоретическогопособия по данному разделу можно порекомендовать, например, книгу [3].По мнению авторов, данное пособие будет полезным преподавателям приподготовке и проведении практических занятий по разделу "Оптимальноеуправление", а также студентам при выполнении домашних заданий по этойтеме.3Содержание1.

Простейшая задача вариационного исчисления.Уравнение Эйлера ....................................................................................... 5Примеры ....................................................................................................... 5Упражнения ................................................................................................. 72. Задача оптимального управления. Принцип максимума ........................ 9Примеры .......................................................................................................

11Упражнения ................................................................................................. 293. Фазовые ограничения в задаче оптимального управления ..................... 34Примеры .......................................................................................................

35Упражнения ................................................................................................. 414. Динамическое программирование и уравнение Беллмана ..................... 42Примеры ....................................................................................................... 44Упражнения ................................................................................................. 56Литература ....................................................................................................... 5841. Простейшая задача вариационного исчисления.Уравнение Эйлера.О п р е д е л е н и е . Пусть М – некоторое пространствоОтображение J: М → R1, называется функционалом.функций.Ниже будем рассматривать следующие пространства функций:C[t1, t2] – непрерывные на отрезке [t1, t2] функции, с нормой, определеннойследующим образом: ||x(⋅)||0 = max{ |x(t)|, t∈[t1, t2]};C1[t1, t2] – непрерывно-дифференцируемые на отрезке [t1, t2] функции, снормой ||x(⋅)||1 = max{ ||x(⋅)||0, ||x'(⋅)||0};Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следующимобразом: найти экстремум функционала вида:t2J(x(⋅)) = ∫ F (t , x , x ' )dt(1.1)t1на кусочно-гладких функций x(⋅), соединяющих точки (t1, x1) и (t2, x2) (т.е.удовлетворяющих краевым условиям x(t1) = x1; x(t2) = x2).

Функции x(⋅),удовлетворяющие ограничениям задачи (в данном случае граничнымусловиям), называются допустимыми.О п р е д е л е н и е . Говорят, что x*(⋅) доставляет слабый локальныймаксимум функционалу J, если ∃ε > 0: для любой допустимой кривой x(⋅),такой, что || x*(⋅) – x(⋅)||1 < ε, выполнено: J(x(⋅)) ≤ J(x*(⋅)).Говорят, что x*(⋅) доставляет сильный локальный максимум функционалу J,если ∃ε > 0: для любой допустимой кривой x(⋅), такой, что || x*(⋅) – x(⋅)||0 < ε,выполнено: J(x(⋅)) ≤ J(x*(⋅)).Необходимое условие слабого экстремума функционала (1.1) даетсяуравнением Эйлера:Fx –dFx ' = 0dt(1.2)Гладкое решение уравнения Эйлера называется экстремалью функционала J.Примеры21.

Найти экстремаль в задаче: J = ∫ (t 2 x '+tx '2 )dt ; x(1) = a; x(2) = b.15Р е ш е н и е . F(t, x, x') = t2x' + tx'2 , Fx = 0, Fx' = t2 + 2tx'. Составим уравнениеЭйлера:dFx ' = 2t + 2x' + 2 tx'' = 0dtFx –Видно, что в это уравнение не входит х. Обозначим у = x', тогда y' = x'' иуравнение примет вид:t + у + tу' = 0Решением данного уравнения является у(t) = c/t – t/2. Тогдаx(t) = ∫ y (t )dt + d = c ln t – t2/4 + d.(1.3)Находя постоянные с и d из краевых условий, окончательно получаем:x*(t) =b − a +3/4ln 2ln t – t2/4 + a + 1/4.Функция x*(t) – гладкая на [1, 2], следовательно, она является экстремалью.122З а м е ч а н и е . В задаче с функционалом J = ∫ (t x '+tx ' )dt экстремали0отсутствуют, так как решения уравнения Эйлера (1.3) теряют гладкость наотрезке [0, 1].2.

Найти экстремаль и проверить, доставляет ли она слабый минимум взадаче:1J = ∫ ( x ' ) 2 dt ; x(0) = 0; x(1) = 1.02Р е ш е н и е . F(t, x, x') = (x') , Fx = 0, Fx' = 2x' . Составим уравнение Эйлера:Fx –dFx ' = – 2 x'' = 0dtОбщее решение этого уравнения имеет вид x(t) = ct + d. Из краевых условийокончательно получаем экстремаль x*(t) = t.Проверим, что она действительно доставляет экстремум функционалу J.Рассмотрим произвольное приращение h(⋅)∈C1, такое, что h(0) = h(1) = 0, иисследуем, как изменится значение функционала J:11111J(x + h) – J(x) = ∫ ( x '+ h' ) dt – ∫ ( x ' ) dt = 2 ∫ ( x ' h' )dt + ∫ ( h' ) dt ≥ 2 ∫ ( x' h' )dt22002000Беря последний интеграл по частям, получим при x(⋅) = x*(⋅):61110001∫ ( x ' h' )dt = ∫ ( x ' )dh = x'h |0 – ∫ ( x ' ' h )dt = 0Таким образом, получаем, что J(x* + h) ≥ J(x*), т.е.

x*(⋅) доставляетглобальный минимум функционалу J.3. Найти экстремаль и проверить, доставляет ли она слабый и сильныйминимум в задаче:πJ = ∫ x 2 (1 − x '2 )dt ; x(0) = x(π) = 0.0Р е ш е н и е . F(t, x, x') = x2(1 – x'2), тогда Fx = 2x(1 – x'2), Fx' = –2 x'x2 иFx –d222Fx ' = 2x(1 – x' ) + 2 x''x + 4xx' = 0dtПроведем замену переменных: x' = p(x), x'' = px x' = px p. Тогда уравнениепреобразуется к виду:x(1 – p2) + px p x2 + 2xp2 = 0илиx + px p x2 + xp2 = 0Одним из его корней является x(t) ≡ 0.

Ненулевые корни определяются изсоотношения:1 + px p x + p2 = 0Проверим, что x(t) ≡ 0 доставляет слабый минимум функционалу J.Действительно, для ∀z(⋅)∈C1[0, π]: ||z(⋅)||1 < ε имеем, что ∀t∈[0, π] |z'(t)| < ε.Тогда для ε < 1 J(z(⋅)) > 0, в то время как J(x(⋅)) = 0.Сильный минимум не достигается, так как положив, например,1zn(t) = n sin nt, получим J(zn(⋅)) = π/(2n) – π/8 < 0 при n > 4. В то же время, длядостаточно больших n функции zn(t) лежат в сколь угодно малой сильнойокрестности функции x(t) ≡ 0.Упражнения1. В задаче1J = ∫ t 2 / 3 x& 2 dt → min; x(0) = 0; x(1) = 1,07показать, что решение уравнения Эйлера существует, единственно,доставляет абсолютный минимум, но не является функцией класса C1.2.

Показать, что в задаче1J = ∫ t 2 x& 2 dt → min; x(0) = 0; x(1) = 1,0не существует ни одного решения уравнения Эйлера.минимизирующую последовательность (если она имеется).3. Определить экстремаль, удовлетворяющуюпроверить, доставляет ли она слабый минимум:краевымНайтиусловиями1а). J = ∫ t 2 x '2 dt ; x(–1) = –1; x(1) = 1;−11б). J = ∫ xx ' 2 dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;01в). J = ∫ (1 + t )x ' 2 dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;01г). J = ∫ x 2 x ' 2 dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;03π / 2д). J = ∫ ( x ' 2 − x 2 )dt ; x(0) = x(3π/2) = 0.0bе). J = ∫ 1 + x '2 dt ; x(a) = 0; x(b) = 1.a82.