1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (Войтишек - Функциональные оценки)

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÊàôåäðà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêèÀ. Â. ÂîéòèøåêÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈÌÅÒÎÄÀ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎÓ÷åáíîå ïîñîáèåÍîâîñèáèðñê2007ÁÁÊ 22.19ÓÄÊ 519.245 654Âîéòèøåê À. Â. Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî:Ó÷åá. ïîñîáèå / Íîâîñèá. ãîñ.

óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 2007. 76 c.ISBN 9785943565397Äàííîå ïîñîáèå ñîäåðæèò êîíñïåêòèâíîå èçëîæåíèå ëåêöèé ñïåöèàëüíîãî êóðñà ¾Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî¿, êîòîðûé â òå÷åíèå äåñÿòè ëåò ÷èòàåòñÿ àâòîðîì äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ. Ðàáîòà íàä ïîñîáèåìâûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû 060100046à,070100024à), Ïðîãðàììû  14 Ïðåçèäèóìà ÐÀÍ, Ïðåçèäåíòñêîé ïðîãðàììû ¾Âåäóùèå íàó÷íûå øêîëû¿ (ãðàíò ÍØ4774.2006.1).Âñå çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ ÷èòàòåëåé ïî ñîäåðæàíèþ äàííîé ðàáîòû áóäóò ïðèíÿòû àâòîðîì ñ áëàãîäàðíîñòüþ (êîíòàêòíûé òåëåôîí(8-383)3300728; email: vav@osmf.sscc.ru).Ðåöåíçåíò÷ë.-êîðð. ÐÀÍ Ã. À.

ÌèõàéëîâcÍîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2007c Âîéòèøåê À. Â., 2007ISBN 9785943565397ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅÑ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè âîçðàñòàåò èíòåðåñ ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷, â ÷àñòíîñòè ê ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ (èëè ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî) [123]. Èñòîðè÷åñêèèíòåíñèâíîå ðàçâèòèå òåîðèè è ïðèëîæåíèé ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî áûëî ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì àêòóàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ âïÿòèäåñÿòûõ ãîäàõ äâàäöàòîãî ñòîëåòèÿ. Çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà ñôåðàïðèìåíèìîñòè ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëàñü. Ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèé çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íà îñíîâå êîòîðîé ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûå ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè.

Ýôôåêòèâíûåàëãîðèòìû ðàçðàáîòàíû òàêæå â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå (ìåòîä Ìåòðîïîëèñà, ñõåìà Èçèíãà), â ôèçè÷åñêîé è õèìè÷åñêîé êèíåòèêå (ìíîãî÷àñòè÷íûå çàäà÷è, ðåøåíèå óðàâíåíèé Áîëüöìàíà è Ñìîëóõîâñêîãî,ìîäåëèðîâàíèå ðåàêöèé è ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ), â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå, â òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè, â ìàòåìàòè÷åñêîé áèîëîãèè è äð.Òðàäèöèîííî ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî ðàññìàòðèâàþòñÿ â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíûõ ¾äåòåðìèíèðîâàííûì¿ ÷èñëåííûì ìåòîäàì (â ÷àñòíîñòè,êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì è êîíå÷íî-ýëåìåíòíûì ñõåìàì).

Îäíàêî âî ìíîãèõñëó÷àÿõ ýôôåêòèâíûìè îêàçûâàþòñÿ ñìåøàííûå àëãîðèòìû, ñîäåðæàùèå â ñåáå ýëåìåíòû äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõñõåì. Òàêèå êîìáèíèðîâàííûå àëãîðèòìû ìîæíî íàçâàòü äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèìè ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè.Ñëåäóåò ñðàçó îòìåòèòü, ÷òî ñïåêòð äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äîñòàòî÷íî øèðîê. Êîìáèíèðîâàííûå àëãîðèòìû âîçíèêàþò âî âñåõ îñíîâíûõ ðàçäåëàõ òåîðèè ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî, ê êîòîðûì ñëåäóåò îòíåñòè: ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,âåêòîðîâ è ôóíêöèé; âû÷èñëåíèå ìíîãîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ; ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà; ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà; ïðèëîæåíèÿ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ê çàäà÷àì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. äàííîì êóðñå ïðåäñòàâëåíà ðàçâèòàÿ â ïîñëåäíèå äâà äåñÿòèëåòèÿ(â îñíîâíîì â îòäåëå ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â ôèçèêåÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ) òåîðèÿ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå (ñì. [1423]; â ýòèõ æå ðàáîòàõ îïèñàíû îñíîâíûå ïðèëîæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ).

Îñíîâíûìè îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ: èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà, è ðåøå3íèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèé àëãîðèòì ïðèáëèæåíèÿ òàêèõ ôóíêöèé âêëþ÷àåò ââåäåíèå ñåòêè ïî ïàðàìåòðó, îöåíêó çíà÷åíèé ôóíêöèè â óçëàõ ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî è âîñïîëíåíèå ðåøåíèÿ ïî ïîëó÷åííûì çíà÷åíèÿì â óçëàõñ èñïîëüçîâàíèåì àïïðîêñèìàöèîííîãî áàçèñà. Ñîîòâåòñòâóþùèé áàçèñäîëæåí îáëàäàòü õîðîøèìè ñâîéñòâàìè óñòîé÷èâîñòè.  äàííîì êóðñåèñïîëüçóåòñÿ ¾àáñîëþòíî óñòîé÷èâîå¿ ìóëüòèëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå.Ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î âûáîðåôóíêöèîíàëüíîé ìåðû è âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ñõîäèìîñòè ê íóëþ ïîãðåøíîñòè ìåòîäà.

Ñëåäóÿ òðàäèöèÿì êëàññè÷åñêîãî ÷èñëåííîãî àíàëèçà, â äàííîì êóðñå ìû èñïîëüçîâàëè L2 - è C -ìåòðèêó äëÿ ïîãðåøíîñòè èñõîäèìîñòü â ñðåäíåì è ïî âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ýòèõ ïîäõîäîâ ê îöåíêå ïîãðåøíîñòè óäàåòñÿ ðàçëîæèòü ïîãðåøíîñòü íà ¾äåòåðìèíèðîâàííóþ¿ è ¾ñòîõàñòè÷åñêóþ¿ êîìïîíåíòû, ïåðâàÿ èç êîòîðûõîöåíèâàåòñÿ ñâåðõó ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ àïïðîêñèìàöèîííûõòåîðåì, à âòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê îöåíêå ìàêñèìóìà ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé â óçëàõ ñåòêè.Äàëåå ñëåäóåò ó÷åñòü, êàêèå ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî (íåçàâèñèìûå, çàâèñèìûå, ñëàáî çàâèñèìûå è ò. ä.) èñïîëüçóþòñÿâ óçëàõ ñåòêè. Äëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê ïðè ïîñòðîåíèè âåðõíåé ãðàíèöû äëÿ ìàêñèìóìà ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé â óçëàõ ñåòêè èñïîëüçóåòñÿòåîðèÿ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê.

Äëÿ îöåíîê ïî ìåòîäó çàâèñèìûõ èñïûòàíèé òðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ñïåöèàëüíîé òåîðèè ñëàáîé (ôóíêöèîíàëüíîé) ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.  êóðñåñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ýòîé òåîðèè. Ïðåäñòàâëåí åùåîäèí (ïîìèìî îáîñíîâàíèÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé) ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ýòîé òåîðèè èññëåäîâàíèå ñëàáîé ñõîäèìîñòè ÷èñëåííûõñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé.

 ñâÿçè ñ ýòèìâ êóðñå ôîðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû êîððåëÿöèîííîé òåîðèèîäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Êðàòêî îïèñàíû âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé è áîëåå ïîäðîáíî ïðåäñòàâëåí îòíîñèòåëüíî íîâûé ïðèìåð òàêîãî èñïîëüçîâàíèÿ òåñòèðîâàíèå àëãîðèòìîâ÷èñëåííîãî (â òîì ÷èñëå ïàðàìåòðè÷åñêîãî) èíòåãðèðîâàíèÿ.Äëÿ èçó÷åíèÿ äàííîãî ñïåöèàëüíîãî êóðñà æåëàòåëüíî ïðåäâàðèòåëüíî îñâîèòü êóðñ ¾Îñíîâû ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî¿ (õîòÿ áû íà óðîâíåïîñîáèÿ [23]). Òàêèå êóðñû ÷èòàþòñÿ: íà âòîðîì ïîòîêå 4-ãî êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è â ìàãèñòðàòóðå (5-é êóðñ) ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ.4ÃËÀÂÀ 1. ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ-ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ1.1.

Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ìåòîäû îöåíêèôóíêöèé1.1.1. Ôóíêöèîíàëüíûå àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Íàïîìíèì, ÷òî ¾îáû÷íûå¿ (¾ñòàíäàðòíûå¿, ¾ñêàëÿðíûå¿) ìåòîäû ÌîíòåÊàðëî ñâÿçàíû ñ âû÷èñëåíèåì íåêîòîðîé (íåñëó÷àéíîé) âåëè÷èíû I ,êîòîðóþ óäàåòñÿ çàïèñàòü â âèäå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Eζ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé Dζ , ïðè÷åì âûáîðî÷íûåçíà÷åíèÿ ζj äîñòàòî÷íî ïðîñòî ðåàëèçóþòñÿ íà êîìïüþòåðå. Ïîñòðîèâáîëüøîå êîëè÷åñòâî n âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . . .

, ζn , íà îñíîâå çàêîíàáîëüøèõ ÷èñåë ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå èñêîìîé âåëè÷èíû:I = Eζ ≈ ζ̄n =ζ1 + . . . + ζn.n(1.1.1) êóðñàõ ïî ìåòîäàì Ìîíòå-Êàðëî (ñì., íàïðèìåð, [16, 23]) èçó÷àþòñÿäâà îñíîâíûõïðèìåðà âåëè÷èí (1.1.1). Ïåðâûé ïðèìåð ýòî èíòåãðàëRI1 = Y g(x0 ) dx0 , Y ⊆ Rs , êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåZI1 =Yg(x0 )1f (x0 ) dx0 = Eζ ≈f (x0 )n!g(ξ 1 )g(ξ n )+ ... +,f (ξ 1 )f (ξ n )(1.1.2)ïðè ýòîì ζ = g(ξ)/f (ξ), à ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ ðàñïðåäåëåí â Y ñîãëàñíîïëîòíîñòè f (x0 ).Âòîðîé ïðèìåð ýòî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëZI2 = (ϕ2 , ĥ) =ϕ2 (x0 )ĥ(x0 ) dx0(1.1.3)Xîò ðåøåíèÿ ϕ2 èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàZϕ2 (x) =k̂(x0 , x)ϕ2 (x0 ) dx0 + fˆ(x)Xèëèϕ2 = Kϕ2 + fˆ.(1.1.4)Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåI2 = Eξ,ãäåξ=NXm=05Qm ĥ(xm )(1.1.5)îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì.

 ñîîòíîøåíèè (1.1.5) x0 , x1 , . . . , xN îáîçíà÷àåò îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùóþñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàâ ñîñòîÿíèè xN ñî ñëó÷àéíûì íîìåðîì N è èìåþùóþ íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü π(x) è ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ p(x0 , x) = r(x0 , x)(1 − pa (x0 )) (çäåñüpa (x0 ) âåðîÿòíîñòü îáðûâà öåïè â òî÷êå x0 ); ñëó÷àéíûå âåñà Qm îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî:Q0 =fˆ(x0 ),π(x0 )Qm = Qm−1k̂(xm−1 , xm ).p(xm−1 , xm )(1.1.6) äàííîì ñïåöèàëüíîì êóðñå áóäóò ðàññìîòðåíû àëãîðèòìû ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ϕ(x) (çäåñü x ∈ X , ãäå X ¾ïðîñòàÿ¿ îãðàíè÷åííàÿîáëàñòü â Rl ), ïðåäñòàâëåííûõ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå (ò.

å. ðå÷ü ïî ñóòèèäåò î êîíòèíóóìå âåëè÷èí òèïà (1.1.1)). Çäåñü âîçíèêàþò ñïåöèôè÷åñêèå òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå êàê ñ èññëåäîâàíèåì ñõîäèìîñòè è îïòèìèçàöèè àëãîðèòìîâ, òàê è ñ ðàçëè÷íûìè ñòðàòåãèÿìè ïðèáëèæåíèÿôóíêöèé ϕ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.  ðÿäå ñëó÷àåâ óäàåòñÿ ïîñòðîèòüñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ζ(x) òàêóþ, ÷òî ϕ(x) = Eζ(x), è ïî àíàëîãèè ñ(1.1.1) ñòðîèòü ïðèáëèæåíèå:ϕ(x) ≈ ζ̄n (x) =ζ1 (x) + . .

. + ζn (x).n(1.1.7)Òàê, â ÷àñòíîñòè, óñòðîåí èçó÷àåìûé â ýòîì êóðñå ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (ñì. äàëåå ðàçä. 1.6). Ïðè èçó÷åíèè ïîãðåøíîñòè ìåòîäà (1.1.7)òðåáóåòñÿ ïðèìåíÿòü òåîðèþ ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé (ñì. äàëåå ðàçä. 2.12.6).Îäíàêî áîëåå ðåàëüíîé è ÷àùå âñòðå÷àþùåéñÿ íà ïðàêòèêå ÿâëÿåòñÿñèòóàöèÿ, â êîòîðîé óäàåòñÿ ïðèáëèæåííî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ {ϕ(xi )}ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî (çäåñü {xi } ñåòêà íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ),à ïîäñ÷åò ôóíêöèè ϕ â îñòàëüíûõ òî÷êàõ x ∈ X ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ âîñïîëíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êàêîãî-ëèáî àïïðîêñèìàöèîííîãîáàçèñà.

Òàêèå ¾ïðàêòè÷åñêèå¿ àëãîðèòìû áóäóò èçó÷åíû íàìè â ãë. 1.1.1.2. Îñíîâíûå ïðèìåðû ïðèáëèæàåìûõ ôóíêöèé. Ïî àíàëîãèè ñî ¾ñêàëÿðíûìè¿ îöåíêàìè (1.1.2) è (1.1.5) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèåôóíêöèè.1. Èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðàZϕ1 (x) =g(x, x0 ) dx0 , x ∈ X ⊂ Rl , Y ⊆ Rs .Y2. Ðåøåíèå ϕ2 (x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1.4).6(1.1.8)Çàìåòèì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà èìåþùååñÿ ðàçëè÷èå, ìåæäó ôóíêöèÿìèè ϕ2 ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ àíàëîãèÿ.