Tasks (2019 - Решение задач С)

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИЛектор – Сергей Валерьевич СмирновПрограмма курса лекций(7-й семестр, лекции 36 ч., семинары 36 ч., диф.зач.)1. Двоичная арифметика, представление чисел с плавающей точкой, точностьвычислений.2. Решение уравнений f (x) = 0. Методы деления пополам, простых итераций,Ньютона. Скорость сходимости. Многомерный метод Ньютона.

Вычислениенулей комплексных функций.3. Вычисление интегралов.Методы прямоугольников, трапеций.ФормулаСимпсона. Оценка ошибки для этих методов. Несобственные интегралы.4. Интерполяция и аппроксимация. Интерполяционный полином в форме Лагранжаи Ньютона. Точность интерполяции. Первые и вторые производные функции,заданной на сетке.

Интерполяция кубическими сплайнами.5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Критерийустойчивости. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности. Многошаговыеметоды. Жесткие уравнения. Пакет программ Numerical Recipies.6. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.Трехдиагональные матрицы. Прогонка. Представление о численных методахрешения задачи на собственные значения. Степенной метод. Обратные итерации.Метод вращений Якоби. Пакеты программ LAPACK и EISPACK.7.

Решение задачи Коши для одномерного уравнения диффузии на отрезке.Аппроксимация граничных условий Дирихле и Неймана. Схемы явные, неявныеи Кранка-Николсона. Точность аппроксимации. Критерий устойчивости.8. Задача Коши для многомерного уравнения диффузии. Схемы явные и неявные.Схема расщепления. Локально одномерный метод.9. Дискретное преобразование Фурье. Элайзинг, эффект частокола, Окно Ханна.Алгоритм быстрого преобразования Фурье. Пакет программ FFTW.10. Задача Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера. Схема расщепления пофизическим факторам.11.

Метод установления для уравнения Пуассона. Решение нелинейных операторныхуравнений L̂ϕ = 0. Методы стрельбы, Ньютона-Рафсона-Канторовича. Методинвариантного погружения.112. Численное решение уравнения переноса.Критерий устойчивости Куранта.Уравнение Хопфа. Построение устойчивой схемы, сохраняющей квадратичныйинтеграл движения.13.

Генерация последовательности случайных чисел.14. Метод Бубнова-Галёркина. Метод конечных элементов.15. Параллельные вычисления. Технологии OMP, MPI, CUDA.Литература[1] Смирнов С. В. Основы вычислительной физики. Часть I. Новосибирск:Новосибирский государственный университет, 2015.[2] Калиткин Н. Н. Численные методы. М:Наука, 1978.[3] Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.

М: Наука,1972.[4] Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методыматематических вычислений. М:Мир, 1980.[5] Каханер Д,. Моулер К., Нэш С. Численные методы и программноеобеспечение. М:Мир, 1998.Темы семинаровСеминары проходят в терминальном классе. Их цель — выработка практическихнавыков по написанию простых программ, реализующих численные методы, их отладкедо работоспособного состояния, верификации результатов.1. Представление чисел с плавающей точкой.2. Итерационные методы решения уравнений.3. Интегрирование функций.4. Полиномиальная интерполяция.5. Решение ОДУ.6. Степенной метод вычисления максимального собственного значения.7.

Задача Коши для одномерного уравнения диффузии по явной схеме.8. Дискретное преобразование Фурье синусоиды. Окно Ханна.9. Вычисление свертки через преобразование Фурье.10. Уравнение переноса.Памятка по написанию программТребования к программам:1. Необходима проверка результатов работы программы на разумность, предельныеслучаи, согласие с аналитическими решениями там, где они могут быть получены.Ценность программы, которая компилируется и «что-то» считает, близка к нулю.22. Все константы, соответствующие физическим величинам и расчётнымпараметрам, должны быть объявлены в виде отдельных переменных (в т.ч.со спецификатором const) либо с помощью директивы препроцессора #define ://Под MSVC используйте #define _USE_MATH_DEFINES перед подключением math.h!printf("BAD WAY:Circle length of radius R=%f is %f\n", r, 3.141593*r);printf("PLEASE DO SO: Circle length of radius R=%f is %f\n", r, M_PI*r);Рекомендации:1.

Ставьте точки при целочисленных константах, используемых при вычисленияхвеличин с плавающей точкой:const double x = 2/3;const double y = 2./3.;//x будет равен нулю!//y будет равен двум третям2. Минимизируйте повторяющийся программный код, выносите его в отдельныефункции, тестируйте их работу и затем используйте повторно. Помните:грамотно спроектированную и разбитую на логические блоки программуотлаживать значительно легче.3. Перед тем как писать программу, подумайте, есть ли в ней логические блоки,которые могут быть полезны вам в будущем при решении других задач(напр., интегрирование сеточных функций, интерполяция, построение графиков)?Если да, то вынесите их в отдельные функции, не использующие глобальныхпеременных программы.

Этим вы сэкономите своё время и силы на написание иотладку следующих программ.4. Используйте форматирование кода для улучшения его читаемостиhttp://ru.wikipedia.org/wiki/Стандарт_оформления_кодаhttp://ru.wikipedia.org/wiki/Спагетти-код5. Используйте графики для анализа полученных результатов. Как правило,графическая информация воспринимается человеком гораздо легче и быстреечисел.6. Если программа работает неправильно, и ошибку не удаётся найти внимательнымчтением исходного кода, добавьте в программу вывод отладочной информации(значений переменных, значений в узлах сетки, нормы сеточных функций и т.п.)с помощью printf или fprintf, либо используйте отладчик, проверяя «вручную»результаты промежуточных вычислений.3Задачи для семинаровЗадача 1Машинным ε называется такое число, что 1 + ε/2 = 1, но 1 + ε 6= 1. (Также частоиспользуется обозначение ULP – unit in the last place, или unit of least precision, единицав младшем разряде).

Найти машинное ε, число разрядов в мантиссе, максимальнуюи минимальную степени, при вычислениях с обычной и двойной точностью. Сравнитьдруг с другом четыре числа: 1, 1 + 2ε , 1 + ε и 1 + ε + 2ε , объяснить результат.Задача 2Вычислить сумму10000Xn=1(−1)nnчетырьмя способами:• суммируя подряд от больших к малым n,• суммируя подряд от малых к большим n,• суммируя от больших к малым n отдельно положительные и отрицательныеслагаемые,• суммируя от малых к большим n отдельно положительные и отрицательныеслагаемые.Объяснить различие ответов.

Который точнее?Задача 3Используя методы дихотомии, простых итераций, Ньютона, найти уровень энергии Eосновного состояния квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме1 00−U0 , |x| ≤ a,− ψ (x) + U (x)ψ(x) = Eψ(x),U (x) =.0, |x| > a.2Задача 4Вычислить интегралыZ1I4a =Z1dx,1 + x2I4b =−11x 3 esin x dx0методами трапеций и Симпсона, разделив отрезок интегрирования на 4, 8, 16интервалов. Как убывает погрешность численного интегрирования с ростом числаинтервалов?Задача 54Вычислить интегралыZ1I5a =Z∞1 + cos xdx,x1/3I5b =01 + exp(−x)dx1 + x3/20Задача 6Провести интерполяционный полином Pn (x) через точкиπkxk =, yk = sin xk ,k = 0, . .

. , n.4nпри n = 4. Нарисовать график P4 (x) − sin (x)Задача 7Решить задачу Кошиdx= −x , x(0) = 1 , 0 < t < 3dtметодами Эйлера и Рунге-Кутта второго порядка точности.Задача 8Решить систему уравнений хищник-жертваẋ = a x − b xyẏ = c xy − d yметодом Рунге-Кутты второго порядка точности при a = 10,Нарисовать фазовую траекторию.b = 2,c = 2,d = 10.Задача 9Решить жесткую систему уравнений по неявной схеме Эйлераu0 = 998 u + 1998 vv 0 = −999 u − 1999 vЗадача 10Методом прогонки решить разностный аналог граничной задачи для уравнения y 00 =sin x на промежутке 0 < x < π.Задача 11Найти уровень энергии и волновую функцию ψ(x) основного состояния в потенциальнойяме U (x), решая конечномерный аналог спектральной задачи для одномерногостационарного уравнения Шрёдингера1 ∂2+ U (x) − E ψ(x, t) = 0,|ψ(x)| → 0 при x → 0.−2 ∂x2~ = E0 ψ~ трёхдиагональной матрицыДля поиска наименьшего собственного значения Ĥ ψĤ использовать метод обратных итераций.

Проверить работу программы, сравнив сточным решением для U (x) = 21 x2 .Задача 12Вычислить спектр мощности и нарисовать его для функции f (t) = sin ωt. Сравнитьспектры, полученные с прямоугольным окном и оком Ханна, для разных частот ω.5Варианты курсовых работПо согласованию с преподавателем в терминальном классе, студент можетсамостоятельно выбрать тему курсовой работы. Студентам, которые не согласуюттему работы до начала декабря, будет предложена одна из задач из списка ниже либоаналогичная по уровню сложности задача по выбору преподавателя.Вариант 1Решить задачу Коши для одномерного уравнения диффузии по схеме КранкаНиколсона∂u∂ 2u=, 0 < x < L, L = 10∂t∂x2u(0, t) = u0 + a sin ωt, u0 = 1, a = 0.5, ω = 2π, u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0Построить на одном графике зависимости температуры от времени на границе x = 0 ив точке x = 0.5.

Модифицировать программу, заменив граничное условие в точке L на= 0 и построить аналогичный график.условие теплоизоляции ∂u∂xВариант 2Решить задачу Коши для одномерного уравнения диффузии по схеме КранкаНиколсона∂u∂ 2u=+ f (x), 0 < x < L, L = 1∂t∂x2u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0, f (x) = x(1 − x/L)2 .На каждом шаге по времени найти максимальное значение температуры и положениемаксимума, построить график зависимости указанных величин от времени.Модифицировать программу, заменив граничное условие в точке L на условиетеплоизоляции ∂u= 0 и построить аналогичные графики.∂xЧто будет, если обе границы теплоизолированы?Вариант 3Решить задачу Коши для одномерного уравнения диффузии по схеме КранкаНиколсона∂u∂ 2u=, 0 < x < L, L = 1∂t∂x2u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, u(x, 0) = x(1 − x/L)2 ,На каждом шаге по времени найти максимальное значение температуры и нарисоватьзависимость максимальной температуры от времени.

Показать что на большихвременах она убывает экспоненциально.Модифицировать программу, заменив граничное условие в точке L на условиетеплоизоляции ∂u= 0 и нарисовать аналогичный рисунок.∂xВариант 4Найти стационарное решение ϕ методом стрельбы ϕ00 = eϕ − (1 − x4 ), −1 < x < 1,ϕ(−1) = 0 , ϕ(1) = 1.6Вариант 5Найти стационарное решение ϕ методом Ньютона-Рафсона-Канторовичаd2 ϕ= eϕ − (1 − x2 ),dx2−1 < x < 1,ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.Вариант 6Найти стационарное решение ϕ методом инвариантного погруженияd2 ϕ= eϕ − sin(x),dx20 < x < π,ϕ(0) = ϕ(π) = 1Вариант 7Решить задачу Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера по явной схеме.Производную по координате заменить на разностное отношение и полученную системуОДУ по времени решить методом Рунге-Кутта второго порядка точности∂ 2A∂A= 2|A|2 A +,∂t∂x2A(−L, t) = A(L, t) = 0,i−L < x < L,L = 10A(x, 0) = cλ/ cosh(λx)При любом λ и c = 1 |A| не должен зависить от времени.

При λ = 1 попробуйтепоменять c. Нарисовать поверхность |A(x, t)|.Вариант 8Используя пакет FFTW, решить задачу Коши для нелинейного уравнения Шрёдингерапо схеме расщепленияi∂A∂ 2A= 2|A|2 A +,∂t∂x2A(−L, t) = A(L, t),−L < x < L,L = 10A(x, 0) = cλ/ cosh(λx)При любом λ и c = 1 |A| не должен зависить от времени. При λ = 2 попробуйтепоменять c. Нарисовать поверхность |A(x, t)|.Вариант 9Решая задачу Коши по неявной схеме∂u ∂ 2 u∂u,=g+∂t∂x ∂x2u(0, t) = u(1, t) = 0,0<x<1u(x, 0) = f (x) = x(1 − x)2найти максимальное собственное значение оператора L̂ = g ∂u+ ∂∂xu2 при g = 0.5 и g = 1.∂xКак зависит ответ от выбора f (x)?7Вариант 10Используя метод установления и локально одномерный метод, найти стационарноераспределение температуры в двумерной квадратной области в задаче с источникомтепла∂u∂ 2u ∂ 2u=++ f (x, y) .∂t∂x2 ∂y 2при условии, что температура на границах квадрата равна нулюu(−L, y, t) = u(L, y, t) = u(x, −L, t) = u(u, L, t) = 0,L = 1.Интенсивность источника f (x, y) = (1 − x2 /L2 )(1 − y 2 /L2 ).