1626435146-bf09a28a629bf7be0188c378d312c153 (2016 - Решение месячных задач)

1Задание 11.1Задача 11.2Задача 2Magneticdown to every cell.No, deeper.Every atom.Deeper still.Every quarkvibrates against mine,creating frictioncreating heatcreating staticin my head,electrical stormsin my skull.Strings pull backreleaseand resonate.Particles spinscattercollide,creating a universeas matteris unwoundand I?I am undone.Потенциал для кулонова поля имеет вид: αr . В данном конкретном случае подпостоянной α подразумевается вообще некоторая произвольная, разумеется, вещественная постоянная. Если, например, источником кулонова поля является ядро, то, очевидно, что α пропорциональна Z (заряд ядра) в известной степени 1 . Дальнейшие слова могут показаться ужасными, но нейтрон - частица нейтральная.

Это, в свою очередь, означает, что электрическое полена него так просто не действует.Дальнейший шаг очевиден. Перейдём в сиcтему покоя нейтрона. Однако, и тут не стоитторопиться, так как по условию задачи нейтроны нерелятивистские.Преобразование таково:1H = [E × V ],cгдеααrE = −∇ = 2 .rrТаким образом, потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента нейтрона µ̂ = µn σ̂с кулоновским полем примет вид:U = −µ̂H = −1αµCσ̂[r × V ] = − 3 (σ̂ l̂).3crrТут мог бы быть смайлик, но мы - приличные люди.1Далее я позволю своим пальцам отдохнуть от кириллицы и сгенерю нехилую последовательность символов.Z0 Cˆf = − e−ik r 3 (σ̂ l̂)eikr d3 r =rZ0 1= iC σ̂ e−ik r 3 r × ∇eikr d3 r =rZ0 r= −C σ̂[ e−ik r 3 eikr d3 r × k] =rZr −iqr 3= −C σ̂[ed r × k] =r3Z1= C σ̂[ e−iqr ∇ d3 r × k] =rZ1 −iqr 3= C σ̂[∇ed r × k] =rZ1 −iqr 3= −iC σ̂[qed r × k] =rθ= iKctg( )(σ̂ n̂) =2= A + iB(σ̂ n̂),гдеA = 0, n =[k × k0 ],|[k × k0 ]|θq = k0 − k, q = 2ksin( ).2ϕBtg( ) == ∞ ⇒ ϕ = π.2AКомпонента спина, перпендикулярная плоскости рассеяния остаётся прежней, а лежащая вплоскости поворачивается на угол π.θθdσ=(fˆϕ)† (fˆϕ)==K2 ctg 2 ( )ϕ† (σ̂n)2 ϕ==K2 ctg 2 ( ),dΩ22где K - константа, которую можно посчитать.Интересно, что B обращается в нуль при θ = π, а это означает неопределённость вида0в формуле для тангенса угла поворота.

Возникает вопрос: «А насколько повернётся спин0частиц, рассеянных назад?». Чтобы на него ответить, нужно взглянуть на формулу для сечения,которое в этом случае зануляется. Это означает, что таких частиц просто нет.22.1Задание 2Задача 3В задаче будем пользоваться соглашением Эйнштейна и тензорной записью в декартовыхкоординатах, чтобы не тратить усилия на перенос индексов. Методы векторной алгебры постараемся использовать только в крайнем случае.2hiПервый коммутатор: Ĥ, p̂ .hiĤ, pˆj = [αi p̂i , p̂j] + m [β, p̂j ] = α [p̂i , p̂j ] + 0 = 0Это было просто. Импульс для свободной частицы сохраняется. Перейдём к более интересным вещам.hiĤ, lˆk = [αm p̂m , εijk xi p̂j ] = αm εijk [p̂m , xi p̂j ] = αm εijk (−i)δim p̂j = −iεijk αi p̂j = −i [α × p̂]Мы можем выносить тензор Леви-Чивита за коммутатор, так как он является константой.Как видно, орбитальный момент перестаёт сохраняться в релятивистском случае.

Посмотрим,что со спином.hi1Ĥ, sˆk = [αm p̂m , ŝk ] = [αm , Σk ] p̂m2Вспомним, что Σ = γ5 α.[αm , Σk ] = [αm , γ5 ] αk + γ5 [αm , αk ]Теперь распишем γ5 через αi .2γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = iγ0 (γ0 γ1 ) (γ0 γ2 ) (γ0 γ3 ) = iα1 α2 α3А дальше воспользуемся тем, что α-матрицы ведут себя почти как матрицы Паули.αi αj = iεi,j,k αkТогда, собирая всё вместе, напишем[αm , Σk ] = [αm , γ5 ] αk + γ5 [αm , αk ] = −2iεm,k,l αl[H, ŝk ] = iεl,m,k αl p̂m = i [α × p̂]Отсюда сразу видно, что вектор j = l + s коммутирует с гамильтонианом и, соответственно,сохраняется. Сам по себе спин же не сохраняется.Теперь настало время оператора lˆ2 .hihihiĤ, lˆ2 = −i α · p̂, l̂ l̂ + −il̂ α · p̂, l̂ = −i [α × p̂] · l̂ + −il̂ [α × p̂]Оба этих слагаемых представляют собой так называемые тернарные произведения, знакомыенам из курса аналитической геометрии. Вспомнив их симметричность относительно нечётныхи антисимметричность относительно чётных перестановок, получим nhi hio[α × p̂] · l̂ + l̂ · [α × p̂] = α, p̂, l̂ + l̂, α, p̂ = α, p̂, l̂ − α, l̂, p̂ = α · p̂ × l̂ − l̂ × p̂Эту конструкцию уже стоит расписать через тензорные обозначения.i hionhnoˆˆα · p̂ × l̂ − l̂ × p̂ = αi εijk p̂j lk + lk p̂jМы не постеснялись переиспользовать немые индексы, так как формально эту сумму можноразбить на две независимых так, что пересечения индексов не возникнет.

Знак же мы изменили2Где-то в этом месте замечена ошибка. Пользуйтесь осторожно.3для того, чтобы учесть смену порядка сомножителей. Теперь посмотрим, что же у нас стоит вфигурных скобках.nohip̂j ˆlk + ˆlk p̂j = p̂j ˆlk + ˆlk p̂j = 2ˆlk p̂j − ˆlk , p̂j = 2ˆlk p̂k − iεjkl p̂lВозвращая фигурные скобки обратно и сворачивая тензоры Леви-Чивита, получим ответhihi2ˆˆĤ, l = −iεijk αi lk p̂j − 2αi p̂i = iα · l̂ × p̂ − 2α · p̂Как мы нам не хотелось верить в обратное, эта величина не равна нулю. Соответственно, небудет она нулём и в случае центрального потенциала общего вида.

.Настала очередь оператора квадрата спина.hi1Ĥ, sˆ2 = [αj p̂j , ŝk ŝk ] = [αj p̂k , Σk Σk ]4Тут нам достаточно вспомнить, что Σk - постоянные матрицы, а Σ2k = I. Коммутатор в такомслучае, естественно, зануляется. 2Оператор ĵ коммутирует с гамильтонианом в силу линейности коммутатора.hi XhihiĤ, jˆ2 =H, ĵi ĵi + ĵi H, ĵi = 0 + 0 = 0iОператор спиральности Λ = Σ · p̂ коммутирует с гамильтонианом в силу уже неоднократноиспользованного свойства алгебры коммутаторов.hihi hiĤ, Σ · p̂ = Σ · Ĥ, p̂ + Ĥ, Σ · p̂ = 0 + i [α × p̂] · p̂ = 0 + 0 = 02.2Задача 42.3Задача 5Трансформационные свойства спиральностиВ лабораторной системе электрон с отрицательной спиральностью движется с импульсом p под углом θ к оси x. Какова вероятность обнаружить положительную спиральностьэлектрона в системе, движущейся со скоростью β вдоль оси x? (Указание: определить, каксвязана эта вероятность с 4-вектором спина aµ , использовать известный закон преобразования aµ ).Небольшое отступление.

Все помним, что сигнатурой пространства Минковского является (1, −1, −1, −1)? Также обратите внимание, что я предпочитаю использовать единицы, где~ = c = 1, c — скорость света, если кто не понял. Трёхмерные вектора обозначаются как a,четырёхмерные как aµ (контравариантные) и aµ (ковариантные, дуальные контравариантными связанные соотношением aµ = gµν aν ), либо иногда вообще как a, во всяком случае в моих обозначениях ab = (a, b) может на самом деле обозначать aµ bν gµν = aµ bµ , то есть псевдоскалярноепроизведение в четырёхмерном пространстве Минковского. Пространственная часть четырёхвектора aµ будет обозначаться как a. Так что будьте внимательны и осторожны при входе вавтобус и выходе из него.В первую очередь нам необходимо разобраться с понятием «спин» в релятивистской классической механике.

Частично в этом нам помогут лекции Романа Ли [?, 2.2.9, стр. 96]. Будемсчитать, что «классический спин» — это среднее значение оператора спина, для удобства будем также считать наш спин удвоенным, чтобы не возиться с двойками, которые всё равно не4повлияют на ответ, а только усложнят выкладки. Введём понятие трёхмерного вектора спина ζ (спин в системе покоя частицы, «нерелятивистский спин»). Четырёх-вектор спина можноввести из того, что в системе покоя частицы он является чисто пространственным.Удобно ввести понятие четырёх-скорости u = Γ[1, v]. Вектор спина является аксиальным.Также для него выполняется условие aµ uµ = 0.3Это условие является Лорентц-инвариантным утверждением того, что спин является чистопространственным вектором в системе покоя частицы.

Тогда мы знаем, что a0 = (a, v). Кстати,a2 = (a, a) = −1, a⊥ = ζ ⊥ . Из этих условий можно найти вид дляa=ζ+(ζ, u)u.1 + u0(1)То же можно получить и из преобразований Лорентца (в СО покоя частицы пространственныекомпоненты у a и ζ совпадают).Все адекватные люди знают, что p = mu. Если спиральность определена через удвоенный, p в знаменателе — норма пространственной части. Переделаем теперьоператор спина как (Σ,p)pэто квантовое определение в классическое. Итак, пусть спиральность(ζ, p)= (ζ, n),(2)pn — направление движения, ну а спиральность, соответственно, — удвоенная проекция спина нанаправление движения.

Перепишем определение спиральности, исключив из выражения массу:λ=(ζ, u).uВ лабораторной системе отсчёта у электрона по условию импульс p, можно ввести Лорентцфактор и трёхмерную скорость, удовлетворяющие соотношениюλ=Γ2 =1.1 − (v, v)Поэтому в выражении (??) можно выразить компоненты uµ через Γ и v.

Тогда имеем(ζ, u) = Γvλ = −Γv,так как λ = −1 в ЛСО по условию. Отметим тот факт, что если λ = −1, то нет компонентыp(cos θ, sin θ, 0),спина, ортогональной плоскости L(x, p). Тогда спин ζ = (cos θ, sin θ, 0), v = mΓpu = m (cos θ, sin θ, 0) = u(cos θ, sin θ, 0) В силу (??) получаем(u, u)a=− 1+· (cos θ, sin θ, 0) = −Γ(cos θ, sin θ, 0),1+Γа также в силу «чисто пространственности» вектора спина имеем значение и для его нулевойкомпонентыa0 = (a, v)(3)для любой системы отсчёта.Теперь мы готовы к Лорентц-бусту.

Это будет не больно!a00 = γa0 − βγax ,u00 = γΓ − βγux ,a0⊥ = a⊥ , u0⊥ = u⊥ .3 µa uµ = (−vΓζ, Γζ)µ (Γ, Γv)µ = vΓζΓ − vΓΓζ = 0 — Лорентц-инвариант.5Так как верно (??), то имеем тогда (a0 , v 0 ) = a00 . В силу (??) имеемλ0 =(ζ 0 , u0 )a00=,u0u0pгде u0 = (u0 , u0 ).λ0 — «классическое» значение спиральности, то есть среднее значение оператора спиральности. Так как собственных значений у этого оператора всего два: λ0 = ±1, то среднее значениеhλ0 i = wi λi = w↑ λ0↑ + w↓ λ0↓ , тогда для вероятности обнаружить спиральность λ0 = 1 имеемw↑ =3hλ0 i + 1.2Задание 33.1Задача 63.2Задача 76Список литературы[1] Р.

Н. Ли, «Квантовая теория рассеяния и излучения», 11 январяhttp://www.inp.nsk.su/students/theor/TreeofKnowledge/docs/RLee/QM3Lectures.pdf72013,.