1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (Шлапунов - Курс лекций)
Описание файла
PDF-файл из архива "Шлапунов - Курс лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "функциональный анализ" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Федеральное агентство по образованиюФедеральное государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияСИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТФакультет математики и информатикиФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗОпорный конспект лекцийУчебно-методический комплекс дисциплин по проекту"Создание научно-образовательного комплексадля подготовки элитных специалистов в областиматематики, механики и информатики в Сибирскомфедеральном университете", рег. N 16Красноярск 20072Кафедра теории функцийАвторы-составители:А.А.
Шлапунов, В.В. Работин, Т.М. СадыковСодержание1 Раздел I: Метрические пространства1.11.2Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1Метрические пространства. Определения и примеры . . . .3Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2.1Непрерывные отображения метрическихпространств . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.21.31.41.51.61.717Сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1Замыкание .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2Замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1Открытые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2Полные метрические пространства . . . . . . . . .
. . . . . 17Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.1Теорема о вложенных шарах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2Плотные подмножества. Теорема Бэра . . . . . . . . . . . . 21Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 241.6.1Полнота и разрешимость уравнений . . . . . . . . . . . . . . 241.6.2Пополнение пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.1Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . . 284Содержание1.7.2Применение принципа сжимающих отображений к обыкновенным дифференциальным уравнениям∗ . .
. . . . . . . 292 Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы332.12.22.32.4Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1Линейные пространства∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2Нормированные пространства .
. . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.3Пополнение нормированного пространства∗ . . . . . . . . . 412.1.4Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.5Пополнение евклидова пространства∗ . . . . . . . . . . . . . 43Лекция 9 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации . . . 442.2.2Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя. . . . . . . . 47Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 502.3.1Теорема Рисса-Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.2Теорема об изоморфизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.3Подпространства, ортогональные дополнения . . . . . . . . 512.3.4Свойство параллелограмма∗ . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 532.3.5Комплексные евклидовы пространства∗. . . . . . . . . . . 54Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.1Функционалы: основные определения и примеры . . . . . . 572.4.2Компактные множества в метрическом пространстве.Непрерывные функционалы на компактах . . . . . . . .
. . 592.52.4.3Компактность и полная ограниченность . . . . . . . . . . . 612.4.4Компактные множества в C[a, b]. Теорема Арцела∗ . . . . . 62Лекция 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.1Свойства непрерывных линейных функционалов . . . . . . 632.5.2Теорема Хана-Банаха в нормированных пространствах . . 652.5.3Теорема Хана-Банаха для комплексных пространств∗ . . . 66Содержание2.65Лекция 13 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.6.1Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.6.2Теорема об общем виде непрерывного линейногофункционала на полном евклидовом пространстве . . . . . 712.7Лекция 14 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.7.1Второе сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 722.7.2Слабая сходимость2.7.32.82.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74∗-слабая сходимость∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76Лекция 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.8.1Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.8.2Производная обобщенной функции . . . . . . . . . . . . . . 83Лекция 16 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 862.9.1Дифференциальные уравнения в классе обобщенныхфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.10 Лекция 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.10.1 Обобщенные функции нескольких переменных . . . . . . . 902.10.2 Свертка обобщенных функций .
. . . . . . . . . . . . . . . . 923 Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха3.13.23.33.497Лекция 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.1.1Линейные операторы: основные определения . . . . . . . . 983.1.2Норма оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Лекция 19 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2.1Пространство ограниченных линейных операторов . . . . . 1033.2.2Компактные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Лекция 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1073.3.1Принцип равномерной ограниченности . . . . . . . . . . . . 1073.3.2Теорема Банаха-Штейнгауза . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Лекция 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4.1Замкнутые операторы . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 1116Содержание3.4.23.53.63.7Теорема о замкнутом графике . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Лекция 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5.1Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1153.5.2Операторные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5.3Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Лекция 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.6.1Непрерывная обратимость . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 1203.6.2Достаточные условия непрерывной обратимости . . . . . . 122Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.7.1Спектр оператора. Резольвента . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.7.2Спектр компактного оператора . . . . . .
. . . . . . . . . . 1264 Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта1294.1Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.1.1Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега . . . . . .
. . . . . . . . . . 1304.1.24.24.3Множества меры нуль. Сходимость почти всюду . . . . . . 133Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2.1Функции, интегрируемые по Лебегу . . . . . . . . . . . . . . 1354.2.2Основные свойства интеграла Лебега . . . . . . . . . . .
. . 1364.2.3Кратный интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3.1Сопряженный оператор. Случай евклидовыхпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3.24.44.5Самосопряженные операторы .
. . . . . . . . . . . . . . . . 143Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4.1Собственные значения самосопряженных операторов . . . . 1454.4.2Теорема Гильберта-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Содержание4.5.17Окончание доказательства теоремыГильберта-Шмидта и следствия из нее . . . . . . . . . . . . 1484.5.24.64.74.84.9Базисы со свойством двойной ортогональности . . . . . . . 149Лекция 30 . . . . . . . . .
