1625915837-3504827b5487816f99ddbb6eab7560d9 (Люлько Вопросы 2014-2015)

Программа курса по функциональному анализу5, 6 семестр(2014-2015 гг.)1. Метрические пространства. Неравенства Гельдера и Минковского. Примеры.2 Замкнутые, открытые множества в метрическом пространстве. Свойства.3. Сходимость в метрическом пространстве. Полнота метрических пространств.4. Полнота пространства L1 ( X ) , где X – измеримое в R n множество. Полнота пространстваLp ( X ) , где X - множество конечной меры, 1  p   .Теорема о пополнении метрических пространств.Теорема о плотности полиномов в пространстве C[a, b] .Теорема о плотности непрерывных функций в пространстве Lp [a, b] , 1  p   .8. Критерий полноты метрического пространства (теорема о вложенных шарах).Контрпримеры к теореме.9.

Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.10. Теорема Бэра.11. Сепарабельные метрические пространства. Примеры несепарабельных пространств.12. Компактные, вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактностиметрического пространства (теорема).13.

Компактные и относительно компактные множества в метрическом пространстве. ТеоремаХаусдорфа.14. Критерии относительной компактности множеств в конкретных пространствах: в R n , вl p ,1  p   , в C[a,b] (теорема Арцела), Lp [a, b] , 1  p   .5.6.7.15. Линейные пространства. Свойства. Примеры.16. Нормированные, банаховы пространства.

Примеры.17. Теорема об изоморфизме конечномерных нормированных пространств. Следствия.18. Линейные пространства со скалярным произведением. Свойства. Примеры.19. Тождество параллелограмма (теорема).20. Ортонормальные системы. Свойства. Лемма об ортогонализации.21. Гильбертовы пространства. Примеры. Теорема о разложении гильбертова пространства впрямую сумму. Следствие (критерий всюду плотности линейного многообразия).22. Существование ортонормального базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве.23. Ряды Фурье. Теорема о свойстве минимальности коэффициентов Фурье. Следствие(неравенство Бесселя).24.

Равенство Парсеваля. Теорема об эквивалентности в сепарабельном гильбертовомпространстве понятий полной и замкнутой ортонормальных систем.25. Теорема Рисса-Фишера. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовыхпространств.26. Операторы, действующие из X в Y ( X , Y – нормированные пространства).Линейность, непрерывность, ограниченность операторов. Теорема об эквивалентности понятийнепрерывности и ограниченности линейного оператора.

Примеры.27. Пространство L( X , Y ) . Норма оператора. Равномерная и сильная сходимости операторов.Полнота пространства L( X , Y ) . Теорема о продолжении линейного оператора понепрерывности.28. Сопряженное пространство X * . Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы.29. Общий вид линейных непрерывных функционалов в конкретных пространствах: вконечномерном, в c0 , в l1 , в l p (p>1), в гильбертовом (теорема Рисса), Lp [a, b] , 1  p  .30.

Естественное вложение X в X ** . Рефлексивные нормированные пространства. Примеры.31. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема о полноте пространства L( X , Y ) в смысле сильнойсходимости. Критерий сильной сходимости линейных операторов.32. Слабая сходимость в нормированных пространствах. Свойства. Ограниченность слабосходящейся последовательности. Критерий слабой сходимости. Теорема об эквивалентностиограниченности и слабой ограниченности множества.33. Критерий слабой сходимости в конечномерном пространстве, l p ( 1  p  . ),гильбертовом пространстве.34.

Слабая сходимость и *- слабая сходимость в сопряженном пространстве. Свойства.Теорема о *- слабой компактности замкнутого шара в X * , где X - сепарабельноенормированное. пространство.35. Обратные операторы. Свойства. Критерий существования обратного линейногооператора. Критерий существования обратного линейного ограниченного оператора.36.

Теорема Неймана. Теорема об открытости множества операторов в L( X , Y ) , имеющихобратные ограниченные операторы.37. Теорема Банаха об обратном операторе. Следствие об эквивалентности норм.38. Замкнутые операторы. Свойства. Примеры. Теорема Банаха о замкнутом графике.39. Спектр и резольвента линейного оператора. Классификация точек спектра.40. Компактность спектра линейного непрерывного оператора. Аналитичность резольвенты нарезольвентном множестве.

Следствие.41. Сопряженные операторы в нормированном пространстве. Теорема существования.42. Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Теорема существования. Свойствасопряженных операторов.43. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Норма оператора.Свойства спектра.

Теорема о границе спектра самосопряженного оператора. Следствие.44. Вполне непрерывные (компактные) линейные операторы. Примеры. Свойства.45. Лемма Рисса (о почти перпендикуляре). Следствие. Критерий конечномерностинормированного пространства (теорема).46. Теорема о замкнутости множества вполне непрерывных операторов в L( X , Y ) .Компактность оператора Гильберта-Шмидта.47. Теорема о компактности сопряженного оператора (д-во в гильбертовом пространстве).48.

Леммы о конечномерности ядра и о замкнутости множества значений оператора I  A , гдеA - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве.49. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами. ТеоремаРисса об обратном операторе. Альтернатива Фредгольма.50. Теорема о связи между неоднородным и однородным сопряженным уравнением (д-во вгильбертовом пространстве).51. Теорема об одинаковом количестве линейно независимых решений однородного исопряженного однородного уравнений ( д-во в гильбертовом пространстве).52. Теорема о спектре компактного оператора.53.

Теорема Гильберта - Шмидта о полноте собственных функций вполне непрерывногосамосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Следствия.Программу составила доцент кафедры прикл. матем. НГУ, к.ф.-м.н. Люлько Н.А. 2015 г..