1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (2010 - Лекции)

§1. Математическое моделирование в физике.Предварительные сведения.Математическое моделирование реализуется в виде цепочки отображений:мат. мовыч.прографиз.−→−→−→дель явмодельмма,модельL99 ления←− явления ←− ЭВМявленияУр. мат. физ. - это раздел математики, который изучаетматемат. модели различных физических явлений.Ур.

мат. физ. - это часть более общей матем. дисциплины: теории ур-ний с частными производными.а) Сложности преподавания предмета (большое количество монографий, школ, точек зрения и т.д.). Мое кредо - основныеидеи.б) Сложности для студентов (большой объем материала, плохаяпосещаемость). Относительно учебников, пособий, экзамена.Предварительные сведения.x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn - точка в Rn ;µ n¶1P 2 21|x| =xk= (x, x) 2 ;k=1nR - n-мерное евклидово пространство (вещественное);Ω ⊂ Rn - открытая ограниченная область;¾Ω½»∂Ω - граница обл. Ω;¼1Лекция №1, НГУ, ММФ, 20102Примеры диф. уравнений.Уравнение Пуассона (Лапласа):(1) ∆x u = f (x) (= 0), x ∈ Ω ⊂ Rn ;n ∂2P∆x =2 - оператор Лапласа;∂xk=1kf = f (x) - заданная функция, u = u(x) - искомая функция.Волновое уравнение:(2) utt = ∆x u + f (t, x),(t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 ;f = f (t, x) - заданная функция, u = u(t, x) - искомая функция.Уравнение теплопроводности:(3) ut = ∆x u + f (t, x), (t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 ;f - заданная функция, u - искомая функция.Уравнения (1-3) так называемые линейные неоднородные (еслиf ≡ 0, то однородные) уравнения 2-го порядка.Порядком диф.

уравнения естественно назвать порядокстаршей производной, входящей в данное д.у.В дальнейшем мы будем также рассматривать произвольное линейное диф. уравнение порядка m:X(4) Lu =aαj (t, x)D0j Dxα u = f (t, x), (t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 .|α|+j≤mЗдесь:∂∂ |α|, Dxα = α1(обозначения Шварца),∂t∂x1 ...∂xαnnα = (α1 , ..., αn ) - так наз. мультииндекс,nPαj ≥ 0 - целое число или 0, |α| =αj ;D0 =j=1aαj (t, x) - коэффициенты ур. (4) - известные функции от t, x,f (t, x) - известная функция, u(t, x) - искомая функция,(4) - лин.

неоднородное (если f ≡ 0, то однородное) уравнениепорядка m > 0 (m - целое число).Лекция №1, НГУ, ММФ, 20103Главная часть оператора L:Xb=Laαj (t, x)D0j Dxα ,|α|+j=mт.е. (4) можно переписать так:b + ... = f (t, x),(40 ) Lu = Luгде ... означает остальные слагаемые.Будем говорить, что оператор L записан в нормальной форме,если он имеет вид:Xm(5)L = D0 +aαj (t, x)D0j Dxα .|α|+j≤mj<mФункциональное пространство C m (Ω) - пространство всех функций u(x), имеющих в Ω непрерывные частные производные до порядка m включительно. Аналогично определяется пространствоC m (Ω), где Ω - замыкание Ω.Вопрос. Какое из пространств C ( Ω) или C m (Ω) богаче (C m (Ω) ⊂C ( Ω) или наоборот)?Классическое или регулярное решение диф. уравнения (4) это функция u = u(t, x) ∈ C m (G), обращающая (4) в тождество.Пример. Линейное неоднородное уравнение с частными производными второго порядкаnnXX∂ 2u∂u+aj (x)+ a(x)u = f (x)(6) Lu =aij (x)∂x∂x∂xijjj=1i,j=1илиb + ...

= f (x),(60 ) Luгдеb=LnXi,j=1aij (x)Di Dj , Di =∂.∂xiЛекция №1, НГУ, ММФ, 20104Здесь aij , aj , a, f - заданные в Ω функции от x (действительныефункции!). Очевидно, что матрицу A = (aij (x)) можно считатьсимметрической (почему?).В заключении этой лекции, я напомню определение аналитической функции.√(0)(1)Функция F (z), z = (z1 , ..., zm ), zj = zj + izj , i = −1, j =1, m называется аналитической в окрестности точки z ∗ , если онаразлагается в степенной рядXF (z) =aα (z − z ∗ )α ,αα = (α1 , ..., αm ) - мультииндекс, αj ≥ 0 - целое число или 0; абсолютно сходящийся при достаточно малой величине:vuXu m∗∗|z − z | = t|zj − zj∗ |2 , z ∗ = (z1∗ , ..., zm).j=1Можно показать при этом, чтоaα =1(Dzα F )|z=z ∗ .α!∗ αmЗдесь: (z − z ∗ )α = (z1 − z1∗ )α1 ...(zm − zm) , α! = α1 !...αm !n∗Шар Sr,x∗ = {x ∈ R , |x − x | < r} ⊂ Rn .'$r¡¡µx∗&%§2.

Линейное однородное уравнение первого порядка.Квазилинейные уравнения с частными производными.Уравнение Гамильтона-Якоби.1. Линейное однородное уравнение первого порядка.(1) Lu = ut +nXfk (t, x)uxk = 0k=1или(1) Lu = ut + (f, ∇u) = 0,∂(t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 , L =+ (f, ∇).∂tЗдесь:µ f = (f1 , ..., f¶n ); fk (t, x) - некоторые известные функции,∂∂, ...,∇=, u = u(t, x) - искомое решение.∂x1∂xnСопутствующая система обыкновенных диф. уравнений:dx= f (t, x) (c.c.)dt©ªПусть Φ(i) (t, x), i = 1, n - какая-либо система функциональнонезависимых первых интегралов системы (∗).Замечание.

1) Функция Φ(t, x) - называется первым интегралом системы (∗), если она тождественно не равна константе, нов то же время эта функция постоянна вдоль каждого решенияx = x(t) системы (∗).2) Интегральные кривые системы (∗) x = x(t) называются характеристиками уравнения (1).3) Об одном теоретическом способе нахождения системы функционально независимых первых интегралов. Пусть x = x(t, x0 ) (∗)1Лекция №2, НГУ, ММФ, 20102решение задачи Коши dx = f (t, x),dtx|t=t0 = x0 , x0 = (x10 , ..., xn0 ).По теореме о неявно заданных функциях векторное уравнение x =x(t, x0 ) может бытьотносительно x0 : x0 =© однозначно разрешеноªx0 (t, x) и система xi0 (t, x), i = 1, n может быть взята в качествесистемы функционально независимых первых интегралов векторного уравнения (∗).Общееуравнения (1).© решениеª(1)u = F Φ (t, x), ..., Φ(n) (t, x) , F - произвольная функция (достаточно гладкая).Свойство любого решения уравнения (1): вдоль характеристикирешение u постоянно.

Далее уравнение (1) можно еще переписатьтак:dud= 0, где= L - полная производная от u вдоль характериdtdtстики.Задача Коши для уравнения (1):(Lu = 0,(2)u|t=t0 = ϕ(x),где ϕ(x) - некоторая гладкая функция.Формализмпостроения решения задачи Коши (2):(1)(1)Φ(t,x)=Φ,0а) ... (n)(n)Φ (t0 , x) = Φ .Из этой системы находим зависимость(1)(n)x = X(Φ , ..., Φ ).б) Тогда решение задачи Коши (2) записывается так:u = ϕ(X(Φ(1) (t, x), ..., Φ(n) (t, x))).Лекция №2, НГУ, ММФ, 20103du= 0 - полdtная производная от u в силу системы (∗) равна 0. Это означает,что вдоль характеристики функция u постоянна.Рассмотрим вместо уравнения (1) более общее уравнение:Замечание. Уравнение (1) можно трактовать так:(10 ) f0 (t, x)ut + (f, ∇u) = 0.Рассмотрим два предельных случая.1-ый предельный случай.Если f0 6= 0, то (10 ) перепишется в виде (1)µ¶100f, ∇u = 0,(1 ) ut +f0характеристики которого определяются из соп.

системы:(∗∗)dx1= f.dtf0Удобно ввести параметр s:ds1= , s|t=t0 = 0.dtf0Тогда система (∗∗) перепишется так:dt= f0 (t, x),ds dx = f (t, x).dsЗаметим, что вектор fe = (f0 , f ) = (f(0 , f1 , ..., fn ) определяет векx = x(s),тор, касательный к характеристикеуравнения (10 ).s = s(t)Говорят, что этот вектор задает характеристическое направлениев точке (t, x). Если мы решаем задачу Коши для уравнения (10 )((100 )) с данными при t = t0 : u|t=t0 = ϕ(x), то гиперплоскостьt = t0 ни в одной точке не имеет хар. направления.Лекция №2, НГУ, ММФ, 201042-ой предельный случай.Если f0 (t, x) ≡ 0, то (10 ) перепишется так:(1000 ) (f (t, x), ∇u) = 0,характеристики которого находятся из системы:dt= 0,ds dx = f,dsт.е.

при t = const характеристики расположены в гиперплоскости t = const. Поскольку вдоль каждой такой характеристики uпостоянно, то следовательно задача Коши((f, ∇u) = 0,u|t=t0 = ϕ(x)разрешима не при любой функции ϕ(x). Промежуточный случайбудет рассмотрен далее на примере.До сих пор мы рассматривали данные Коши на гиперплоскостиt = t0 .

Рассмотрим теперь так называемую обобщенную задачуЛекция №2, НГУ, ММФ, 20105Коши, которая ставится так:(f0 ut + (f, ∇u) = 0,(3)u|γ = ϕ(t, x), (t, x) ∈ γ.Здесь γ - гладкая гиперповерхность с уравнениемΨ(t, x) = 0,¯e ¯¯ 6= 0, ∇Ψe = (Ψt .Ψx , ..., Ψx ) = (Ψt , ∇Ψ). Сделаемпричем |∇Ψ|1nγв задаче (3) замену независимых переменных:(x = x,(+)ξ = Ψ(t, x), u(t, x) = ue(ξ, x);при этом:т.е.∂u ∂eu∂u∂eu∂eu=Ψt ,=+Ψx ,∂t∂ξ∂xk∂xk ∂ξ k∇u = ∇eu+∂eu∇Ψ.∂ξЛекция №2, НГУ, ММФ, 20106>0=0<0Следовательно задача (3) перепишется так:([f0 Ψt + (f, ∇Ψ)]euξ + (f, ∇eu) = 0,(30 )ue|ξ=0 = ϕ(t, x), t = t(0, x)(заметим, что из (+) следует, что t = t(ξ, x), если Ψt |γ 6= 0, например).Задача (30 ) однозначно разрешима, если[f0 Ψt + (f, ∇Ψ)] |γ 6= 0,eeт.е.