1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (Ревина, Сазонов, Цывенкова - Задачи и решения)

Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Çàäà÷è è ðåøåíèÿÑ. Â. Ðåâèíà, Ë. È. Ñàçîíîâ, Î. À. ÖûâåíêîâàÎãëàâëåíèå1Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ1.11.21.31.41.51.6Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . .Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . .Çàäà÷à î êîëüöå . . . . . . . . . . . . . .Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéÒðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . .

. . . . . . .Ðàçíûå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . .5..................................................................................................................2 Êëàññèôèêàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà2.12.2Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè . . . . . . . . . . . . . . . .3 Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè3.13.23.33.43.5Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû äèôôóçèè . . . . . . . . . . .

. . . .Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . .Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . . . . .

. .510151721283030363838444751544 Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ584.14.24.34.44.54.6Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â Rm . . . . . . . . . . . . .Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . .Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâÍåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â Rm . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÍåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ586063676970Îãëàâëåíèå5Ìåòîä Ôóðüå äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè5.15.25.35.45.55.65.75.86Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÇàäà÷à î êîëüöå . . . . . . .

. . . . . . . . . .Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . .Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . .Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè . . . . . . . . . . . . . .Òàáëèöà ñ ðåøåíèÿìè âñåõ êðàåâûõ çàäà÷ . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . .Îòâåòû ê çàäà÷àì . .

. . . . . . . . . . . . . .77............................................................................................................................. 99. 105. 106. 110Ìåòîä Ôóðüå äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè6.16.26.36.46.573Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . .Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . .

. .Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè . . . . . . . . . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÎòâåòû ê çàäà÷àì . . . . . . . . . . . .7.7112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå7.17.27.37.47.57.678798793Îñíîâíûå òåîðåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå . . . . . . . . .Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáîáùåííûõ ôóíêöèé . . .

. . . . . .sin − è cos-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . .Ìíîãîìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê îäíîìåðíîìóòåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóòåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .óðàâíåíèþ. . . . . . .óðàâíåíèþ. . . . . .

.129132136140144146161Îãëàâëåíèå4ÂâåäåíèåÓ÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñî ñòóäåíòàìè òðåòüåãî êóðñà ôàêóëüòåòàìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê. Ó÷åáíèê áàçèðóåòñÿ íà ëåêöèÿõ, êîòîðûå áûëè ðàçðàáîòàíû, ïðî÷èòàíû è îïóáëèêîâàíû ïðîôåññîðîìÂèêòîðîì Èîñèôîâè÷åì Þäîâè÷åì.Àâòîðû ó÷åáíèêà îïûòíûå ïðåïîäàâàòåëè, êîòîðûå ïðèäåðæèâàþòñÿ ñëåäóþùåé êîíöåïöèè ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé.

Ñòóäåíò, îáëàäàþùèé ïðàêòè÷åñêèìè íàâûêàìè ïî äàííîìó êóðñó, äîëæåí íå ïðîñòî óìåòü ðåøàòüçàäà÷è ïî ãîòîâûì ðåöåïòàì. Îí äîëæåí ïîíèìàòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòàíîâîê çàäà÷, àêòèâíî ïðèìåíÿòü òåîðèþ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, âèäåòü ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêîé è äðóãèìè ïðåäìåòàìè ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì, àëãåáðîé, îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ôóíêöèîíàëüíûì àíàëèçîì. ïåðâîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíàêëàññèôèêàöèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. òðåòüåé ãëàâå âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè è äèôôóçèèïðè ðàçëè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, à òàêæå ñòàâÿòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è.×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà êîíå÷íîìåðíûì ìîäåëÿì â íåé ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ. ïÿòîé è øåñòîé ãëàâå ìåòîä Ôóðüå ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé. ñåäüìîé ãëàâå ðåøàþòñÿ çàäà÷è â áåñêîíå÷íûõ îáëàñòÿõ íà îñíîâåïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Ïåðâàÿ, òðåòüÿ, ÷åòâåðòàÿ ãëàâà íàïèñàíû Ñ.Â.Ðåâèíîé, âòîðàÿ, ïÿòàÿè øåñòàÿ ãëàâà Î.À.Öûâåíêîâîé, ñåäüìàÿ ãëàâà Ë.È.Ñàçîíîâûì.Ãëàâà 1Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ1.1Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÔèçè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è.

Íàéòè ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûåêîëåáàíèÿ îäíîðîäíîé ñòðóíû ñ çàêðåïëåííûìè æåñòêî êðàÿìè.Ïóñòü â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ ñòðóíà çàíèìàåò îòðåçîê 0 6 x 6 ` âåùåñòâåííîé îñè. Òîãäà êàæäîé òî÷êå x ∈ [0, `] ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå X(x) ïîïåðå÷íîå îòêëîíåíèå ñòðóíû îò ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ.Ôóíêöèÿ X(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñòðóíûñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè λ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ êîíöû ñòðóíû æåñòêîçàêðåïëåíû, òî îòêëîíåíèå íà êîíöàõ ðàâíî íóëþ:X(0) = 0,X(`) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû.X 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);(1.1)X(0) = 0;(1.2)X(`) = 0.(1.3)1.1.

Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à6Òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), ïðèêîòîðûõ ñóùåñòâóþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) (ñîáñòâåííûåôóíêöèè), óäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì (1.2)(1.3).Ñíà÷àëà äîêàæåì âàæíîå ñâîéñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è âåùåñòâåííîñòü è ïîëîæèòåëüíîñòü.Çàäà÷à 1.1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå, äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∈ C íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, è åìó îòâå÷àåò X(x) 6≡ 0 âîîáùå ãîâîðÿ, êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ.Çàïèøåì èñõîäíîå óðàâíåíèå (1.1) â âèäå−X 00 = λX.Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íà X ∗ (x) è ïðîèíòåãðèðóåì ïîx îò 0 äî ` (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå):Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = λ−0Ó÷èòûâàÿ,÷òîX(x)X ∗ (x)dx.(1.4)0ïðîèçâåäåíèåêîìïëåêñíîãî÷èñëàíàêîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò ìîäóëÿ ýòîãî ÷èñëà, ïðåîáðàçóåìïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà:Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = λ−0|X(x)|2 dx.0 ëåâîé ÷àñòè ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:Z`−0¯` Z `¯¯00∗∗0X (x)X (x)dx = −X (x)X (x)¯ + |X 0 (x)|2 dx.¯00 ñèëó êðàåâûõ óñëîâèé (1.2)(1.3) ïîäñòàíîâêà îáðàùàåòñÿ â íîëü.1.1.

Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à7Îêîí÷àòåëüíî, (1.4) ïðèíèìàåò âèä:Z`Z`|X 0 (x)|2 dx = λ0|X(x)|2 dx.0Òàê êàê X(x) 6≡ 0, òî èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìîæíî âûðàçèòü λ:R`λ=|X 0 (x)|2 dx0R`.|X(x)|2 dx0Î÷åâèäíî, ÷òî λ âåùåñòâåííî è íåîòðèöàòåëüíî.Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àé λ = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ = 0 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Èç ðàâåíñòâàZ`|X 0 (x)|2 dx = 00âûòåêàåò, ÷òî |X 0 (x)|2 = 0 ïî÷òè âñþäó íà îòðåçêå [0, `]. Òàê êàê X 0 (x)íåïðåðûâíà, òîX 0 (x) ≡ 0.Ñëåäîâàòåëüíî, X(x) = const, à èç êðàåâûõ óñëîâèé âûâîäèì, ÷òî êîíñòàíòà ðàâíà íóëþ.

Òàêèì îáðàçîì, íóëåâîìó çíà÷åíèþ λ ñîîòâåòñòâóåò ëèøüòðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ïîýòîìó ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðåâîé êðàåâîé çàäà÷è ïîëîæèòåëüíû.Òåïåðü íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ êðàåâûõóñëîâèé ïåðâîãî ðîäà.Çàäà÷à 1.2. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïåðâîéêðàåâîé çàäà÷è (1.1)(1.3).Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí óðàâíåíèÿ è íàéäåì åãî êîðíè:µ2 + λ = 0;√µ1,2 = ±i λ.1.1. Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à8Òàê êàê óæå äîêàçàíî, ÷òî λ âåùåñòâåííî è íåîòðèöàòåëüíî, òî êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ÷èñòî ìíèìûå, è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿèìååò âèä:√√X(x) = A cos( λx) + B sin( λx).Ó÷òåì êðàåâûå óñëîâèÿ. Èç êðàåâîãî óñëîâÿ â íóëå(1.2) ñëåäóåò, ÷òîX(0) = A = 0.Èç êðàåâîãî óñëîâèÿ â x = ` (1.3) ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ√X(`) = B sin( λ`) = 0.Ïîñòîÿííàÿ B íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü, òàê êàê ðàçûñêèâàåòñÿ íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå.