1625915153-62da7fb2e48a28563c377c8e71d63db2 (Борисов - Лекции по теории вероятностей)

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТкафедра теории вероятностей и математической статистикиИ. С. БОРИСОВЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙНовосибирск – 2010АННОТАЦИЯУчебное пособие подготовлено по материалам 24 лекций курса «Теория вероятностей», который на протяжения ряда лет читался автором на механико-математическомфакультете НГУ (отделение «Математика», 5-й семестр).

В него вошли классическиеразделы как комбинаторной, так и абстрактной теории вероятностей, которые традиционно освещаются при чтении подобных курсов. Некоторые утверждения приводятся вредакции, допускающей более простые и короткие доказательства по сравнению с известными. По ходу доказательств часть возникающих вопросов в виде упражнений отнесена читателю. Эти упражнения могут быть использованы для практических занятийпо данному курсу.Учебное пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ–НГУ.c И.

С. БорисовВВЕДЕНИЕТеория вероятностей – раздел математики, посвященный исследованию закономерностей, возникающих в длинных серий однородных стохастических экспериментов. Под стохастическим экспериментом (испытанием) мы будем понимать некоедейство, результатом которого могут быть по меньшей мере два исхода, при этом ни одиниз них предсказать наверняка заранее невозможно. Каждый стохастический эксперимент определяется комплексом условий или, другими словами, стохастическим алгоритмом. Так что говоря об «однородных» испытаниях, мы имеем в виду многократноевоспроизведение одного и того же стохастического алгоритма.Показательным примером стохастического испытания является подбрасывание симметричной монеты, т.

е. априори у вас нет никакой информации о приоритете той илииной ее стороны. Если бросать монету с интенсивным вращением на высоту двух метровс отскоком от упругого пола (тем самым, мы описали «комплекс условий» или «стохастический алгоритм» проводимого эксперимента), то предсказать заранее навернякаисход такого действа, очевидно, невозможно.Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием монеты подробнее. Проведем серию изn испытаний, каждое из которых заключается в бросании монеты в одних и тех же описанных выше условиях.

Будем считать испытание «успешным», если выпал «орёл». Число «успехов» в серии из n испытаний обозначим через Sn и определим частоту νnпоявления «успеха» в серии из n испытаний как νn = Sn /n. Поразительным является тот факт, что при возрастании числа испытаний в серии частота νn начинает стабилизироваться в окрестности точки 1/2. Иначе говоря, при n → ∞ величина νn сходится (в известном смысле, который далее будет пояснен) к величине 1/2.

Этот фактявляется иллюстрацией всемирного эмпирического закона стабилизации частот: для любого стохастического эксперимента с двумя исходами существует lim νn (не обязательно равный 1/2). Или в более общей постановке: для широкоn→∞го класса стохастических экспериментов среднее арифметическое суммарного результата стабилизируется с ростом числа однородных испытаний. Слово«всемирный» подчеркивает всеобщность описанного феномена, т. е.

отсутствие «контрпримеров» стохастических экспериментов, исходы которых, скажем, априори ограничены некоторым числом, для которых среднее арифметическое наблюдений не стабилизировалось бы с ростом числа воспроизведений данного эксперимента.Наглядного физического объяснения отмеченного феномена стабилизации не существует. Если сказать коротко, то теорию вероятностей как раз и интересуют указанныеточки стабилизации, точнее, способы их вычисления при выполнении тех или иных аксиом касательно проводимого стохастического эксперимента. Адекватность реальнымстохастическим экспериментам тех или иных вероятностных моделей, определяемых соответствующей системой аксиом, может быть установлена только опытным путем.Рассмотрим следующийПример (игра «Спортлото – 5 из 36»). Имеется карточка с 36 натуральными числами.

Наудачу зачёркиваем 5 из них. После этого происходит розыгрыш пяти «счастливых» чисел. Денежный приз тем существеннее, чем больше совпало зачёркнутых и«счастливых» чисел. Ясно, что угадать все 5 чисел весьма затруднительно. Поэтомупосмотрим, насколько возможно угадать ровно 3 номера. Приведём конкретные циф1ры, заимствованные с сайта «Спортлото».

Возьмём результаты наудачу выбранных 10розыгрышам. В каждом из них участвовало n карточек (для каждого розыгрыша приблизительно n ≈ 24 тысячи). Три из пяти чисел угадали Sn человек. Значения частотνn = Sn /n оказались такими:0, 0121; 0, 0178; 0, 0110; 0, 0091; 0, 0120; 0, 0112; 0, 0130; 0, 0132; 0, 0122; 0, 0127.Теперь объединим результаты всех 10 розыгрышей. Тогда имеется всего ñ = 241172карточек, причем три номера угадали Sñ = 3026 человек, откуда νñ = 0, 0125. Скоро мынаучимся считать точку стабилизации в этой задаче (по формуле гипергеометрическогораспределения).

Пока лишь приведем ответ:p=2C53 · C31≈ 0, 0123.5C36Заметим, что величины p и νñ отличаются всего лишь на 0, 0002, в то время как частоты вотдельных тиражах, приведенные выше (где количество карточек, т. е. число проведенных стохастических экспериментов, примерно в десять раз меньше), более значимо отличаются от «иcтинной» вероятности p. Это и есть иллюстрации отмеченной выше стабилизации частоты при увеличении числа наблюдений. Таким образом, при достаточнобольшом числе карточек (или, что то же самое, однородных стохастических экспериментов) νn = Sn /n ≈ p, откуда Sn ≈ np.

Поэтому ещё задолго до проведения розыгрыша, принимая во внимание всемирный закон стабилизации частот, можно посчитатьприбыль лотереи при той или иной стоимости карточек.Глава 1. КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬМодель классической вероятности.Для расчёта точек стабилизации нам придётся строить математические модели стохастических испытаний. Эти модели будут описываться набором аксиом, соответствующих экспериментальным данным. Введем аксиоматику простейшей модели – моделиклассической вероятности. Результаты каждого испытания описывается элементами так называемого пространства элементарных исходов, природа которого можетбыть самой разнообразной.Аксиомы классической вероятностной модели1.

Пространство элементарных исходов Ω конечно.2. Все элементы (исходы) ωi ∈ Ω равновозможны (симметричны), то есть нет никаких оснований предпочесть один исход другому, они все «бесприоритетны».3. Под событием A понимаем любое подмножество пространства элементарных исходов: A ⊆ Ω. Вероятностью события A (обозначаем P(A)) называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов:P(A) =#(A),#(Ω)где #(·) – число элементов множества (считающая мера).2Отметим очевидные свойства введенной вероятности.

Во-первых, P(Ω) = 1, а вовторых, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) при условии, что A и B – несовместные (т. е.непересекающиеся) события. Событие Ā = Ω \ A будем называть дополнительнымк событию A. Так как A ∪ Ā = Ω и A ∩ Ā = ∅, то в силу аддитивности вероятностиP(A) = 1 − P(Ā). Эта формула полезна в том случае, когда вероятность дополнительного события вычисляется проще, нежели исходного.Мы можем априори (до проведения эксперимента) рассчитать P(A), если стохастический эксперимент удовлетворяет первым двум аксиомам. Обычно для проверки второй аксиомы используют так называемые «соображения симметрии».

Частоту νn можнорассчитать только после проведения испытания. По анонсированному выше эмпирическому закону стабилизации частот при большом числе испытаний должно выполнятьсясоотношение νn ≈ P(A). Если этого не происходит, то, скорее всего, мы не верно построили математическую модель (здесь центральное место занимает обоснование правомерности использования аксиомы 2).Пример. Подбрасываем с вращением на высоту двух метров от пола горсть из 5 монет. С каждой монетой мы связываем «успех» (скажем, число «1») или «неудачу» (пустьэто «0»).

Опишем пространство элементарных исходов. Для начала мы заменим нашэксперимент (т.е. проведём редукцию задачи) на эквивалентный исходному, производяпятикратное подбрасывание одной монеты.Если положить Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (по количеству выпавших «единиц»), то мы неполучим классическую схему, ибо элементарные исходы (элементы Ω) в этом случае,очевидно, несимметричны: пять единиц может выпасть только одним способом расположения монет, в то время как одна единица – целыми пятью! Ясно, что в силу симметричности монет и отсутствия между ними каких-либо видимых связей у нас нет никакихоснований предпочесть ту или иную комбинацию «успехов» и «неудач» лежащих на полумонет при условии, что все они различимы (мы можем на них написать номера!). Поэтому для нас все такие комбинации равновозможны. Итак, в данном случае не выполняется аксиома 2 классической модели. Для приведенного выше конкретного примера один«успех» при пяти бросаниях монеты (не важно, на каком шаге произошел этот «успех»!)будет наблюдаться в пять раз чаще, нежели комбинация из пяти успехов.Рассмотрим другой вариант.