1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 9

Случайная точка (ξ, η) распределена равномерно в Ω. Доказать, что:а) ξ и η распределены равномерно на [0, 1];б) сумма ξ + η имеет такую же плотность, как если бы ξ и η былинезависимыми.10.34. Пусть независимые случайные величины ξ, η и ζ имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром p. Найти:а) P{ξ = η};в) P{ξ + η 6 ζ}.б) P{ξ > 2η};10.35. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром p. Положим U =44отдел iii. случайные величины и их распределенияmin(ξ, η) и V = ξ − η.

Доказать, что случайные величины U и V независимы.10.36. Доказать, что утверждение задачи 10.35 остается справедливым, если независимые случайные величины ξ и η имеют одно и тоже показательное распределение с параметром α.10.37. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причёмP{ξ = 0} = P{ξ = 1} = 1/2, а P{η < x} = x при x ∈ [0, 1]. Найтифункцию распределения следующих случайных величин:а) ξ + η;г) ξη;б) ξ/2 + η;д) η ξ ;в) ξ + η/2;е) |ξ − η|.10.38. Величину Qξ (y) = sup P{x 6 ξ 6 x + y} называют функциейxконцентрации случайной величины ξ.

Доказать, что для любой случайной величины η, не зависящей от ξ, функция концентрации суммы ξ + ηудовлетворяет неравенству Qξ+η (y) 6 Qξ (y).10.39. Пусть дискретные случайные величины ξ и η независимы иимеют распределения Пуассона с параметрами λ и µ соответственно.Найти распределение суммы ξ + η.10.40. Пусть дискретные случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами λ1 , . .

. , λn соответственно. Найти распределение суммы ξ1 + · · · + ξn .10.41. Пусть случайные величины ξ и η независимы и хотя бы однаиз них имеет плотность. Доказать, что сумма ξ + η также имеет плотность.10.42. Решить задачу 3.14 о встрече в предположении, что времяприхода лица A имеет по-прежнему равномерное распределение междудвумя и тремя часами дня, а плотность распределения времени приходаB имеет вид c(t − 2) при 2 6 t 6 3.10.43. Пусть случайные величины ξ и η независимы, причём ξ имеетнормальное распределение с параметрами a и σ 2 , а η — нормальное распределение с параметрами b и θ2 . Найти распределение суммы ξ + η.10.44. Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы, причём ξiимеет нормальное распределение с параметрами ai и σi2 .

Найти распределение суммы ξ1 + · · · + ξn .10.45. Пусть случайные величины ξ и η независимы, причём ξ имеетгамма-распределение с параметрами α и β1 , а η — гамма-распределениес параметрами α и β2 . Найти распределение суммы ξ + η.10.46. Пусть случайные величины ξ1 , .

. . , ξn независимы, причём ξiимеет гамма-распределение с параметрами α и βi . Найти распределение§ 10. совместное распределение45суммы ξ1 + · · · + ξn .10.47. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причём ξимеет показательное распределение с параметром α, а η — показательное распределение с параметром β. Найти распределение суммы ξ + η,если:а) α = β;б) α < β.10.48. Пусть ξ1 , . . . , ξn — независимые случайные величины, каждаяиз которых имеет показательное распределение с параметром α.

Найтираспределение суммы ξ1 + · · · + ξn .10.49. Пусть случайные величины ξ и η независимы и имеют распределения Лапласа. Найти плотность распределения суммы ξ + η.10.50. Пусть случайные величины ξ и η независимы и имеют распределения Коши с параметрами сдвига a и b соответственно. Найтиплотность распределения суммы ξ + η.10.51. Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и имеютраспределения Коши с параметрами сдвига a1 , .

. . , an соответственно.Найти плотность распределения суммы ξ1 + · · · + ξn .10.52. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причём ξравномерно распределена на отрезке [a, b], а η равномерно распределенана отрезке [c, d]. Найти распределение суммы ξ + η, если:а) [a, b] = [c, d] = [0, 1];б) в общем случае.10.53. Найти плотность распределения частного ξ/η, если числительи знаменатель независимы и каждый имеет:а) показательное распределение с параметром α;б) равномерное распределение на отрезке [0, a];в) стандартное нормальное распределение.10.54. Найти плотность распределения произведения ξη, если сомножители независимы и имеют равномерное распределение на отрезке[−a, a].10.55.

Пусть случайные величины ξ и η независимы и каждая имеетравномерное распределение на отрезке [0, 2]. Найти функции распределения и плотности следующих величин:а) |ξ − η|;г) max(2ξ, η 2 );3б) min(ξ, η );д) max(3ξ, η 3 );в) ξ − 3η;е) ξ − η 2 .10.56. Решить задачу 10.55 в предположении, что случайные величины ξ и η имеют показательное распределение с параметром α.10.57. Пусть ξ и η — независимые случайные величины с функциямираспределения F (x) и G(x) соответственно. Найти функции распределения следующих величин:46отдел iii. случайные величины и их распределенияа) max(ξ, η);в) max(3ξ, η);б) min(ξ, η);г) min(ξ, η 3 ).10.58. На отрезок [0, 1] брошены наудачу независимо друг от другаn точек. Пусть ξi — координата i-ой точки.

Найти:а) плотность распределения координаты самой правой точки;б) плотность распределения координаты k-ой слева точки;в) плотность распределения расстояния между самой левой и самойправой точками;г) совместную плотность распределения абсцисс самой левой и самойправой точек;д) совместную плотность распределения абсцисс k-й и m-й точекслева (k < m).10.59. К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли соответственно кабины №1 и №2,а третий клиент остался ждать. Предполагая, что времена τ1 , τ2 и τ3разговоров клиентов независимы и распределены показательно с параметром α, найти:а) вероятность того, что третий клиент попадет в кабину №1;б) плотность распределения времени ожидания третьего клиента;в) вероятность того, что третий клиент закончит разговор раньшепервого или второго клиента (т.

е. раньше одного из них).10.60. Пусть случайные величины ξ и η независимы, причём ξ имеетпоказательное распределение с параметром α, а η — равномерное наотрезке [0, h]. Найти плотности для суммы ξ + η и разности ξ − η.10.61. Независимые случайные величины ξ, η и ζ имеют показательξ+η ξ+ηные плотности с параметром α. Найти плотностии.ξζ10.62. Пусть ξ, η и ζ — независимые случайные величины, имеющие показательные распределения с параметром α. Найти совместнуюплотность распределения случайного вектора (η − ξ, ζ − ξ).10.63. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые одинаково распределённыеслучайные величины, причём ξ1 принимает значения 0, 1, .

. . , 9 с вероятностью 1/10 каждое. Найти распределение суммы ряда∞Xξi.i10i=110.64. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые одинаково распределённыеслучайные величины, причём ξ1 принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Найти распределения сумм следующих рядов:§ 10. совместное распределение47∞∞X2 X ξiξi;б).2i3 i=1 3i−1i=110.65. Пусть ξ1 , . . .

, ξn — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/2. НайтиnYξi .распределение произведения η =а)i=110.66. Частица единичной массы расщепляется случайным образомна два осколка с массами ξ и 1 − ξ. Плотность f случайной величиныξ сосредоточена в [0, 1] и, из соображений симметрии, f (x) = f (1 − x).Массу наименьшего осколка обозначим через ξ1 , а наибольшего — ξ2 .Предположим, что эти два осколка независимо друг от друга расщепляются таким же образом и дают в результате четыре осколка с массамиξ11 , ξ12 , ξ21 и ξ22 . Найти а) плотность ξ11 , б) совместную плотность ξ11и ξ22 . Используйте б) для проверки а).10.67. Пусть ξ1 , .

. . , ξn — независимые одинаково распределённыеслучайные величины с непрерывной функцией распределения F . Обозначим через νn (x) число величин ξi , которые меньше x. Доказать, чтораспределение случайной величины νn (x)Dn = sup − F (x)nxне зависит от F .10.68. Сколько раз надо бросить правильную игральную кость, чтобы с вероятностью 1/2 сумма выпавших очков превысила 100?10.69. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют стандартное нормальное распределение. Доказать, что случайные величиныξ + η и ξ − η независимы.10.70.

Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют нормальное распределение с параметрами α и σ 2 . Найти плотность распреξ + η − 2αделения случайной величины.ξ−η10.71. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют стандартное нормальное распределение. Найти распределение случайной величины ξ 2 + η 2 .10.72. Пусть независимые случайные величины ξ1 , . .

. , ξn равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти распределение произведенияnYη=ξi .i=110.73. Пусть случайные величины ξ и η независимы и имеют пока-48отдел iii. случайные величины и их распределениязательное распределение с параметром 1. Доказать, что величины ξ + ηи ξ/η также независимы.10.74. Пусть случайные величины ξ и η независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Доказать, что величины ξ 2 + η 2 иξ/η также независимы.10.75. Случайные величины ξ1 , . .

. , ξn независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти совместную плотность расnmXXпределения величин η =ξk и ζ =ξk при m < n.k=1k=110.76. Случайные величины ξ и η независимы и имеют одинаковоераспределение с плотностьюcpξ (x) = pη (x) =.1 + x4Найти постоянную c и доказать, что величина ξ/η распределена по закону Коши.10.77. Случайные величины ξ и η независимы и их плотности распределения равны2 √ 1при |x| 6 1,xe−x /2 при x > 0,2pξ (x) = π 1 − xpη (x) =00при x < 0.при |x| > 1,Доказать, что величина ξη нормально распределена.10.78. Случайные величины ξ и η независимы и имеют показательξное распределение с параметром 1. Доказать, что отношениерасξ+ηпределено равномерно на отрезке [0, 1].10.79.

Пусть независимые случайные величины ξ, η и ζ принимаютлишь значения 0, 1, 2, . . . , причём каждое с положительной вероятностью. Доказать, что не существует целого n > 2, для которого равенствоξ n + η n = ζ n выполнялось бы с вероятностью 1.10.80.