1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 8

Верно ли обратное утверждение?В задачах 9.32 и 9.33 доказать, что любая функция распределенияF обладает следующими свойствами:Z∞Z∞119.32. lim xdF (z) = 0.9.33. lim xdF (z) = 0.x→∞x→+0zzxx§ 10. совместное распределение399.34. Доказать, что для любой непрерывной функции распределения F справедливы следующие равенства:Z∞Z∞11а)б)F (x)dF (x) = ;F 2 (x)dF (x) = .23−∞−∞9.35. Доказать, что если F (x) — функция распределения, то прилюбом h > 0 функцииx+hx+hZZ11а) G(x) ≡F (y)dyF (y)dy;б) H(x) ≡h2hxx−hтакже являются функциями распределения.9.36. Доказать, что множество точек разрыва функции распределения не более чем счётно.9.37.

Какова мощность множества всех функций распределения?9.38. Пусть число a таково, что P{|ξ| < a} > 2/3. Доказать, чтомедиана распределения величины ξ лежит в отрезке [−a, a].§ 10. Совместное распределение. НезависимостьСовместным распределением случайных величин ξ1 , . . . , ξn называется функцияF (B) = P{(ξ1 , . . . , ξn ) ∈ B},где аргумент B есть произвольное борелевское множество в Rn .Совместной функцией распределения случайных величин ξ1 , . .

. , ξn называетсяфункцияF (x1 , . . . , xn ) = P{ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn }вещественных переменных x1 , . . . , xn .Говорят, что распределение случайного вектора (ξ1 , . . . , ξn ) абсолютно непрерывно, если существует неотрицательная функция p такая, что для любого борелевского множества B в RnZP{(ξ1 , . . . , ξn ) ∈ B} =p(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .BФункция p называется совместной плотностью распределения случайных величинξ1 , . . .

, ξn .Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называются независимыми, если для любыхборелевских множеств B1 , . . . , Bn в R выполняется равенствоP{ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn } = P{ξ1 ∈ B1 } · . . . · P{ξn ∈ Bn }.10.1. Для данной линии трамвая известна функция F (a, b), равнаявероятности того, что пассажир, едущий по этой линии, вошел в точкеx < a и едет до точки y 6 b. Найти вероятность того, что:40отдел iii. случайные величины и их распределенияа) пассажир, едущий по данной линии, проезжает через точку z;б) пассажир вошел в трамвай до пункта z;в) пассажир сошел до пункта z.10.2.

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=1ξ = −11/85/24ξ=01/121/6ξ=17/24 ,1/8где в пересечении столбца ξ = i и строки η = j находится вероятностьP{ξ = i, η = j}. Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ иη.

Найти:а) одномерные распределения P{ξ = i} и P{η = j};б) условные вероятности P{η = 1|ξ = 0} и P{ξ = 1|η = −1};в) совместное распределение величин ξ + η и ξη;г) одномерные распределения величин ξ + η и ξη;д) совместное распределение величин max(ξ, η) и min(ξ, η);е) совместное распределение величин |ξ + 2η| и |ξ − η|.10.3. Решить задачу 10.2, если двумерное распределение пары целочисленных случайных величин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=2ξ = −21/61/6ξ=01/61/6ξ=11/6 .1/610.4.

Решить задачу 10.2, если двумерное распределение пары целочисленных случайных величин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=0η=1ξ = −11/82/243/24ξ=01/121/121/12ξ=17/24.1/161/1610.5. На отрезок [0, a] наудачу независимо брошены две точки. Найти функцию распределения расстояния между ними.10.6. Точка ω = (ω1 , ω2 ) выбрана наудачу в квадрате [0, 1]2 . Найтифункцию распределения и плотность случайной величины ξ + η, если:а) ξ(ω) = ω1 + ω2 , η(ω) = ω1 − ω2 ;б) ξ(ω) = ω1 , η(ω) = ω2 ;в) ξ(ω) = 1 при ω1 = ω2 и ξ(ω) = 0 при ω1 6= ω2 ; η(ω) = ω1 ω2 .10.7. Являются ли случайные величины ξ и η, описанные в задаче10.6, независимыми?§ 10.

совместное распределение4110.8. Пусть F (x, y) обозначает двумерную функцию распределения.Положим G(x, y) = 0 при x < 0 и y < 0; G(x, y) = F (x, y) во всех другихточках. Показать, что G — монотонная функция каждой переменной,но G не обязательно является функцией распределения.10.9. Пусть ξ и η — случайные величины с функциями распределения F и G соответственно. Доказать, что если P{ξ 6 η} = 1, тоF (x) > G(x) при любом x.10.10. Пусть независимые случайные величины ξ и η показательнораспределены с параметрами α и β соответственно.

Найти P{ξ < η}.10.11. Пусть случайные величины ξ и η независимы и имеют одинаковую непрерывную функцию распределения. Найти:а) P{ξ = η};б) P{ξ < η}.10.12. Пусть p(x, y) — плотность совместного распределения случайных величин ξ и η. Найти:а) P{ξ > η};в) P{|ξ| > η};б) P{ξ > |η|};г) P{ξ − η > 1}.10.13. Случайная величина ξ имеет плотность распределения p(x).Найти совместную функцию распределения случайного вектора (ξ, ξ 2 ).10.14. Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотность1 при (x, y) ∈ G,p(x, y) =0 при (x, y) 6∈ G,где G = {(x, y) : x, y > 0, x + 2y 6 2}.

Найти плотность распределенияслучайной величины ξ.10.15. Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотностьc(x + y) при 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1,p(x, y) =0в остальных случаях.Найти:а) постоянную c;б) плотность распределения случайной величины ξ;в) плотность распределения случайной величины max(ξ, η).10.16. Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотностьcp(x, y) =.21 + x + x2 y 2 + y 2а) Найти постоянную c.б) Установить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.в) Найти плотность распределения ξ.г) Найти плотность распределения η.42отдел iii. случайные величины и их распределенияд) Найти вероятность P{|ξ| 6 1, |η| 6 1}.10.17. Случайная точка (ξ, η) распределена равномерно внутри квадрата {(x, y) : |x| + |y| 6 1}.а) Найти плотность распределения ξ.б) Найти плотность распределения η.в) Установить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.10.18.

Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотность2при x2 + y 2 > 1,2p(x, y) = π(x + y 2 )30в остальных случаях.pНайти плотность распределения случайной величины ξ 2 + η 2 .10.19. Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотность221p(x, y) = e−(x +2xy+5y )/2 .πНайти плотности распределенияа) ξ;в) ξ + η;б) η;г) вектора (ξ + η, ξ − η).10.20. Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотность p(x, y) = e−x−y , x, y > 0. Найти плотность совместного распределения случайных величин ξ + η и ξ/η.10.21. Случайные величины ξ и η независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти вероятность попадания случайной точки (ξ, η)p2 6 3};а) в кольцо {(x, y) : 2 6 x2 + y√б) в квадрат {(x, y) : |x| + |y| 6 2}.10.22.

Случайная точка (ξ, η) распределена на плоскости по нормальному закону с плотностью221√ e−(2(x−1) +(y+1) )/4 .pξη (x, y) =2π 2Найти вероятность попадания случайной точки (ξ, η) в область, ограниченную эллипсом(y + 1)2= 1.210.23. Когда случайная величина ξ не зависит сама от себя?10.24.

При каких условиях на ξ случайные величины ξ и sin ξ независимы?(x − 1)2 +§ 10. совместное распределение4310.25. Доказать, что если случайные величины ξ и f (ξ) (f — борелевская функция) независимы, то f (ξ) = const с вероятностью 1.10.26. Доказать, что если случайные величины ξ и η, а также ξ иξ − η независимы, то ξ = const с вероятностью 1.10.27. Пусть ξ и η — случайные величины. Обязаны ли они бытьнезависимыми, если случайные величины ξ 2 и η 2 независимы?10.28. Пусть ξ и η — случайные величины, P{ξ > 0} = P{η > 0} =3/4, P{ξ + η > 0} = 1/2. Доказать что ξ и η зависимы.10.29. Пусть ξ имеет стандартное нормальное распределение.

Положим η = 1 при ξ > 0 и η = 0 при ξ 6 0. Доказать, что случайныевеличины |ξ| и η независимы.10.30. Случайная точка (ξ, η) имеет равномерное распределениев√22круге{(x,y):x+y<1}.НайтивероятностьP{|ξ|<1/2,|η|<√1/ 2}. Являются ли случайные величины ξ и η независимыми?10.31. Пусть случайные величины ξ и η независимы и одинаковораспределены, причём P{ξ = 1} = p и P{ξ = 0} = 1 − p. Введем новуюслучайную величину ζ, положив0, если ξ + η — чётное число,ζ=1, если ξ + η — нечётное число.При каком значении p случайные величины ξ и ζ независимы?10.32. Случайный вектор (ξ, η, ζ) имеет плотность распределения6при x > 0, y > 0, z > 0,p(x, y, z) = (1 + x + y + z)40в остальных случаях.Найти распределение величины ξ + η + ζ.10.33. Рассмотрим на плоскости область Ω, имеющую площадь 1/2 иявляющуюся объединением четырехугольника с вершинами (0,0), (1,1),(0,1/2), (1/2,1) и треугольника с вершинами (1/2,0), (1,0), (1,1/2).