1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 7

Каждый разведчик перед выходом в район объекта может бытьсбит противовоздушными средствами противника с вероятностью p3 .Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио.Каждое сообщение принимается командным пунктом с вероятностьюp4 . Для уточнения координат достаточно приема сообщения от одногоразведчика. Найти вероятность поражения объекта с учетом деятельности разведки.7.37.

Из N стрелков можно выделить четыре группы: a1 отличныхстрелков, a2 хороших, a3 посредственных и a4 плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка i-й группы равна pi .Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени.Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.7.38. По резервуару с горючим производится n независимых выстрелов зажигательными снарядами. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью p.

Если в резервуар попал один снаряд, горючеевоспламеняется с вероятностью p0 ; если два снаряда — с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючеевоспламенится.7.39. В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью p; кроме того, в автобус с вероятностью p0 не входит ни один пассажир; с вероятностью 1 − p0 входитодин новый пассажир. Найти вероятность того, что:а) когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки,33§ 7. формула полной вероятностив нем будет по-прежнему n пассажиров;б) после двух остановок в автобусе будет снова n пассажиров.7.40. В ящике находится a новых и b игранных теннисных мячей.Из ящика наугад вынимаются два мяча и ими играют.

После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берутнаугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.7.41. Рассматривается электрическая цепь, составленная из реле последующей схеме:Ar@C r@ErrB@@@@-Dr@@Каждое из реле A, B, C, D и E, работающих независимо, открываетсяи закрывается с вероятностями p и 1 − p соответственно. Какова вероятность того, что сигнал, поданный на вход, будет получен на выходе?Какова условная вероятность того, что реле E было открыто, если навыходе был получен сигнал?7.42.

Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A1а)A1A4A2A3- ; б) -A3A4- .A2Вероятность выхода из строя элемента Ak равна pk ; элементы выходятиз строя независимо друг от друга. С какой вероятностью цепь будетпропускать ток?О Т Д Е Л IIIСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫИ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ§ 8.

Случайные величиныПусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство. Функция ξ : Ω → R называетсяслучайной величиной, если для любого x множество Ax = {ω ∈ Ω : ξ(ω) < x}является событием, т. е. Ax ∈ F.σ-Алгеброй, порождённой случайной величиной ξ, называется σ-алгебра, порождённая классом событий {Ax , x ∈ R}.8.1. Пусть ξ и η — случайные величины. Доказать, что следующиемножества являются событиями:а) A = {ω ∈ Ω : ξ(ω) < η(ω)};в) B = {ω ∈ Ω : ξ(ω) = η(ω)}.б) C = {ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 η(ω)};8.2.

Пусть функция ξ : Ω → R такова, что для каждого x ∈ Rмножество Ax = {ω ∈ Ω : ξ(ω) = x} является событием. Верно ли, чтов этом случае ξ — случайная величина?8.3. Построить пример вероятностного пространства (Ω, F, P) и функции ξ : Ω → R таких, что ξ не является случайной величиной.8.4. Обязана ли функция ξ быть случайной величиной, если случайной величиной является функция:а) η = ξ 2 ;в) η = |ξ|;б) η = eξ ;г) η = ξ + 1.8.5. Пусть вероятностное пространство (Ω, F, P) есть отрезок [0, 1]с σ-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега.

Описать σ-алгебру,порождённую случайной величинойа) ξ(ω) = 1/2;в) ξ(ω) = ω/2; 1/4, ω ∈ [0, 1/4),ω, ω ∈ [0, 1/2),б) ξ(ω) =г) ξ(ω) = 1/2, ω ∈ [1/4, 3/4),1, ω ∈ [1/2, 1];1, ω ∈ [3/4, 1].8.6. Пусть вероятностное пространство (Ω, F, P) есть прямая R с35§ 9. функции распределенияσ-алгеброй борелевских множеств и некоторой вероятностью. Описатьσ-алгебру, порождённую случайной величиной ξ(ω) = sin ω.§ 9. Функции распределенияФункцией распределения случайной величины ξ называется функцияF (x) = P{ξ < x} ≡ P{ω : ξ(ω) < x}действительного аргумента x. Распределением случайной величины ξ называетсяфункцияF (B) = P{ξ ∈ B},где аргумент B есть произвольное борелевское множество в R.Распределение случайной величины ξ называется дискретным, если существуетне более чем счётное множество точек {xi } в R такое, чтоXP{ξ = xi } = 1.iРядом распределения дискретной случайной величины ξ называется таблицаx1P{ξ = x1 }x2P{ξ = x2 }.......Распределение случайной величины ξ называется абсолютно непрерывным, еслисуществует неотрицательная измеримая функция p такая, что для любого борелевского множества BZP{ξ ∈ B} =p(x)dx.BФункция p называется плотностью распределения случайной величины ξ.Медианой распределения случайной величины ξ называется любое число a такое,что P{ξ 6 a} > 1/2 и P{ξ > a} > 1/2.9.1.

Дискретная случайная величина ξ имеет ряд распределенияxiP{ξ = xi }−11/301/31.1/3Построить ряды распределения следующих случайных величин:а) 2ξ + 5;г) 2ξ ;2б) ξ + 1;д) min(ξ, 1);в) |ξ|;е) 1/(3 − ξ).9.2. Решить задачу 9.1, если дискретная случайная величина ξ имеет ряд распределенияxiP{ξ = xi }−21/10−11/503/1013/102.1/1036отдел iii. случайные величины и их распределения9.3.

Решить задачу 9.1, если дискретная случайная величина ξ имеет ряд распределенияxiP{ξ = xi }−21/401/411/45.1/49.4. Пусть вероятностное пространство (Ω, F, P) есть отрезок [0, 1]с σ-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега. Найти функциюраспределения случайной величины ξ, если:а) ξ(ω) = ω;в) ξ(ω) = ω 2 ;αб) ξ(ω) = ωг) ξ(ω) = sin(πω); , α < 0;2ω,ω ∈ [0, 1/2),д) ξ(ω) = 2(1 − ω), ω ∈ [1/2, 1);ω ∈ [0, 1/3), ω,е) ξ(ω) = −1, ω ∈ [1/3, 2/3),3−ω , ω ∈ [2/3, 1]; 1/4, ω ∈ [0, 1/4),ж) ξ(ω) = 1, ω ∈ [1/4, 3/4),1/4, ω ∈ [3/4, 1].9.5.

Найти плотности (если они существуют) распределения случайных величин, определенных в задаче 9.4.9.6. Точка ω = (ω1 , ω2 ) выбирается наудачу в треугольнике с вершинами в точках (0, 0), (2, 1) и (2, 0). Найти функцию распределения иплотность случайной величины ξ, если:а) ξ(ω) = ω1 ;б) ξ(ω) = ω2 .9.7. Равнобедренный треугольник образован единичным вектором внаправлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении.

Найти функцию распределения длины третьей стороныа) в R2 ;б) в R3 .9.8. Из точки (0, a) проведена прямая под углом ϕ к оси ординат.Найти функцию распределения точки пересечения этой прямой с осьюабсцисс, если угол ϕ равномерно распределен в промежуткеа) (0, π/2);б) (−π/2, π/2).9.9. На окружность радиуса R с центром в начале координат наудачу брошена точка. Найти плотность распределенияа) абсциссы точки попадания;б) длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой (−R, 0).9.10.

На отрезок оси ординат между точками (0, 0) и (0, R) наудачу брошена точка. Через точку попадания проведена хорда окружностиx2 +y 2 = R2 , перпендикулярная оси ординат. Найти распределение длины этой хорды.§ 9. функции распределения379.11. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [a, b], найти распределениеплощади круга.В задачах 9.12–9.15 под p(x) понимается плотность распределения.Найти значение входящей в определение p(x) постоянной c.ce−αx при x > 0,9.12. p(x) =0при x 6 0, α > 0.c9.13. p(x) =, α ∈ R.1 + (x − α)2cxβ e−αx при x > 0,9.14. p(x) =0при x 6 0, α > 0, β > 0.c9.15. p(x) = −x.e + ex9.16.

Можно ли подобрать постоянную c так, чтобы функция cx−4была плотностью распределения на множествеа) [1, ∞);в) [−2, −1];б) [0, ∞);г) [−3, 0).9.17. Пусть случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0, 1]. Найти плотности распределения следующих случайных величин:а) − ln ξ;г) − ln(1 − ξ);б) 2ξ + 1;д) ξ 2 ;в) ξ − 1/ξ;е) eξ−1 .9.18. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α. Найти плотности распределения следующих случайных√ величин:г) ln(αξ);а) ξ;б) ξ 2 ;д) e−αξ ;в) 2ξ;е) min(ξ, ξ 2 ).9.19. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное распределениеКоши.

Найти плотности распределения следующих случайных величин:а) 2ξ + 1;в) 1/(1 + ξ 2 );б) 1/ξ;г) ξ 2 /(1 + ξ 2 ).9.20. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальноераспределение. Найти плотность распределения случайной величиныη = eξ (эта плотность называется логарифмически нормальной).9.21. Пусть случайная величина ξ имеет равномерное распределениена отрезке [0, 2π]. Найти плотность распределения тангенса ξ.9.22.

Пусть случайная величина ξ имеет плотность распределенияp. Найти плотности распределения следующих величин:38отдел iii. случайные величины и их распределенияа) aξ + b, a, b ∈ R, a 6= 0;д) cos ξ;б) ξ −1 ;е) дробной части ξ;в) ξ 2 ;ж) |ξ − 1|;г) min(ξ, ξ 2 );з) max(ξ, ξ 2 ).9.23. Доказать, что для любой случайной величины ξ с непрерывнойфункцией распределения F выполняется равенствоP{F (ξ) < x} = x,x ∈ [0, 1].9.24.

Что можно сказать о распределении случайной величины F (ξ)в предыдущей задаче, если функция распределения F не является непрерывной?9.25. Пусть случайная величина ξ имеет равномерное распределениена отрезке [0, 1]. Доказать, что для любой функции распределения Fсуществует измеримая функция f такая, что случайная величина η =f (ξ) имеет функцию распределения F .9.26. Пусть случайная величина ξ имеет непрерывную функциюраспределения F .

Найти функцию распределения случайной величиныη = − ln F (ξ).9.27. Привести пример случайной величины ξ с абсолютно непрерывным распределением и непрерывной функции g таких, что g(ξ) имеет невырожденное дискретное распределение.9.28. Случайная величина ξ имеет функцию распределения F .

Найти функцию распределения случайной величины η = |ξ|s , s > 0.9.29. Функция распределения F случайной величины ξ непрерывнав нуле. Найти распределение случайной величиныξ/|ξ|, если ξ 6= 0,η=1,если ξ = 0.9.30. Случайная величина ξ имеет функцию распределения F . Найти функции распределения случайных величинa) max(0, ξ);в) (ξ + |ξ|)/2;б) min(0, ξ);г) 2 − 3ξ.9.31. Доказать, что если случайная величина ξ имеет абсолютнонепрерывное распределение, то величина |ξ| также имеет абсолютнонепрерывное распределение.