1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 6

Найтивероятность того, что не весь боезапас будет израсходован.7.12. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других.Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью p. Скакой вероятностью из трех целей будут поражены ровно две?7.13. Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p, а вероятность поражения цели при k попаданиях в нееравна 1 − rk . Какова вероятность того, что цель поражена, если произведено n выстрелов?7.14. При некоторых условиях стрельбы стрелок A поражает мишень с вероятностью p1 = 3/5, стрелок B — с вероятностью p2 = 1/2,стрелок C — с вероятностью p3 = 2/5. Стрелки дали залп по мишени,и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал C в мишень или нет?7.15.

N стрелков стреляют поочередно по одной мишени. Вероятность попасть в мишень для i-го стрелка равна pi . Выигравшим счита-§ 7. формула полной вероятности29ется тот стрелок, который первым попадет в мишень. У каждого стрелка имеется n патронов. Определить вероятность того, что выиграет k-йстрелок.7.16. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: AAAA, BBBB, CCCC, причём априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно 3/10, 2/5и 3/10.

Известно, что под действием шумов вероятность правильногоприема каждой из переданных букв равна 3/5, а вероятности переводакаждой буквы в любую другую одинаковы и равны 1/5. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятностьтого, что была передана последовательность AAAA, если на приемномустройстве получена последовательность ABCA.7.17. Изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту свероятностью 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяютстандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что:а) изделие будет забраковано;б) изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?7.18.

Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причём объемпродукции второго завода в k раз превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода p1 , у второго — p2 . Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали ипустили в продажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделиесо второго завода, если оно оказалось бракованным?7.19.

Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом.Какова вероятность того, что это мужчина?7.20. Пусть некоторое насекомое откладывает r яиц с вероятностьюλr −λe . Вероятность развития насекомого из яйца равна p. Предполаr!гая взаимную независимость развития насекомых из яиц, найти вероятность появления k новых насекомых из одной кладки яиц.7.21. Пусть количество потомков некоторого насекомого случайно иимеет геометрическое распределение с параметром p.

Каждый потомокс равной вероятностью может оказаться мужского или женского пола.Найти вероятность того, что в потомстве будет k «мальчиков».7.22. Четыре грани игральной кости A красные и две — белые; у кости B две грани красные и четыре — белые. Один раз бросается монета.Если выпал герб, то все время бросается только кость A, если решетка30отдел ii. условная вероятность и независимость— только кость B.а) Найти вероятность получить красную грань при одном бросаниикости.б) Найти вероятность того, что третье бросание кости даст краснуюгрань, если первые два бросания дали красные грани.в) Первые n испытаний дали красные грани. Какова вероятностьтого, что бросалась кость A?7.23. Известно, что в обществе, состоящем из 4 человек, дни рождения трех приходятся на один месяц, а четвертого — на один из остальных одиннадцати.

Считая вероятность рождения в каждом месяце равной 1/12, найти вероятность того, что при этома) указанные три лица родились в июле, а четвертое лицо в марте;б) указанные три лица родились в июле, а четвертое лицо в одномиз оставшихся одиннадцати месяцев.7.24. Найти вероятность того, что станок, работающий в моментвремени t0 , не остановится до момента t1 , если известно, что:1) эта вероятность зависит только от величины промежутка времени(t0 , t1 );2) вероятность того, что работающий в момент времени t станокостановится за промежуток времени (t, t + ∆t), есть α∆t + o(∆t) при∆t → 0, где α > 0.7.25. При составлении таблиц смертности часто исходят из следующих допущений:1) дожившее до возраста t лицо умрет в течении времени от t до t+∆tс вероятностью p(t, ∆t) = α(t)∆t + o(∆t) при ∆t → 0, где α(t) > 0;2) вероятность смерти в момент рождения равна нулю.Найти при этих предположениях вероятность смерти до возраста t.7.26.

Для измерения интенсивности источника частиц в ядерной физике используется счетчик Гейгера — Мюллера. Частица, попавшая всчетчик, вызывает в нем разряд, длящийся время τ , на протяжениикоторого счетчик не регистрирует попадающие в него частицы. Найтивероятность того, что счетчик сосчитает все частицы, попавшие в негоза время t, если выполняются следующие условия:1) вероятность того, что за промежуток времени t в счетчик попадутk частиц, не зависит от того, сколько частиц попало в счетчик до началаэтого промежутка;2) вероятность того, что за промежуток времени от t0 до t0 + t всчетчик попадут k частиц, задается формулойpk (t0 , t0 + t) =(αt)k e−αt,k!α(t) > 0;§ 7. формула полной вероятности313) τ — постоянная величина.7.27. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент t = 0столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновенийдо момента t, испытает столкновение в промежуток времени между tи t + ∆t равна λ∆t + o(∆t) при ∆t → 0.

Найти вероятность того, чтовремя свободного пробега (т. е. время между двумя соседними столкновениями) будет больше t.7.28. Считая, что при размножении бактерий делением (на две бактерии) вероятность бактерии разделиться за промежуток времени ∆t,равна λ∆t + o(∆t) при ∆t → 0 и не зависит от числа предшествующихделений, а также от числа имеющихся бактерий, найти вероятность того, что если в момент времени 0 была одна бактерия, то в момент времени t окажется i бактерий.7.29. К линии электропередачи подключено n механизмов. Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в момент времени t,прекратит её потребление до момента t + ∆t, равна α∆t + o(∆t) при∆t → 0. Если в момент времени t механизм не потребляет энергии,то вероятность того, что он станет её потреблять до момента t + ∆t,равна β∆t + o(∆t).

Составить дифференциальные уравнения, которымудовлетворяют вероятности Pr (t) того, что в момент времени t энергиюпотребляют r механизмов.7.30. Два игрока A и B, имеющие соответственно капиталы a и b, играют в азартную игру, состоящую из отдельных партий. Каждая партияс одинаковой вероятностью оканчивается выигрышем того или иногоигрока. После каждой партии проигравший уплачивает 1 рубль выигравшему. Игра продолжается до разорения одного из игроков.

Найтивероятность того, что разорится второй игрок.7.31. Предположим, что в условиях предыдущей задачи игрок Aвыигрывает с вероятностью p > 1/2 и проигрывает с вероятностью 1−p.Найти в этом случае вероятность разорения второго игрока.7.32. Предположим, что в условиях предыдущей задачи игрок Aвыигрывает с вероятностью p и проигрывает с вероятностью q; в каждойпартии возможна ничья c вероятностью r = 1 − p − q.

Какова будет вэтом случае вероятность разорения второго игрока?7.33. Первое орудие 4-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания для него равна 3/10; для остальных трех орудийона равна 1/5. Батарея дала два залпа, причём одно из орудий далотолько один выстрел; было получено одно попадание и шесть перелетов и недолетов. Какова вероятность того, что один выстрел дало первоеорудие?32отдел ii. условная вероятность и независимость7.34.

Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 3/10; вероятность попадания внего в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 1/5. Каковавероятность попадания при 2 выстрелах? Какова вероятность попадания при 10 выстрелах?7.35. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одну за другой n торпед. Каждая торпедапопадает в корабль с вероятностью p и, при попадании, — с одинаковойвероятностью в любой из k отсеков, на которые разделена подводнаячасть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его затоплениюводой. Корабль идёт ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков.

С какой вероятностью корабль будет затоплен?7.36. Группа, состоящая из трех самолетов-разведчиков, высылается в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для пораженияобъекта выделено n ракет. При уточненных координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна p1 , при неуточненных— p2 .