1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 5

условная вероятность и независимость6.8. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попаданияв который при каждом выстреле равна 1/5. Найти наивероятнейшеечисло попаданий и вероятность этого числа попаданий.6.9. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудияравна 4/5. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?6.10. Три игрока А, Б и В участвуют в игре по следующей схеме.В первом туре играют А и Б, а В свободен.

Проигравший заменяетсяигроком В, и во втором туре играют победитель и В, а игрок, потерпевший поражение в первом туре, свободен. Соревнование продолжаетсятаким образом до тех пор, пока один из игроков не выиграет двух партий подряд и в этом случае его объявляют победителем. Считая игроковравными по силе и исключая возможность ничьих, найти вероятностьтого, что:а) выиграет игрок А;б) выиграет игрок В.6.11. Решить предыдущую задачу в предположении, что каждаяпартия может окончиться вничью с вероятностью 1/3 и в случае ничейной партии замена игроков не происходит.6.12.

(Задача Банаха о спичечных коробках). Некий математик носит с собой два коробка спичек, в каждом из которых первоначальнобыло по N спичек. Когда ему нужна спичка, он выбирает наугад одиниз коробков. Найти вероятность того, что когда математик вынет в первый раз пустой коробок, в другом будет r спичек.6.13. (Продолжение задачи Банаха о спичечных коробках). Нектоносит с собой два коробка спичек А и Б, в которых первоначально былоM и N спичек соответственно.

Когда ему нужна спичка, он берет еёиз коробка А с вероятностью p или из коробка Б с вероятностью 1 −p. Найти вероятность того, что когда математик вынет в первый разпустой коробок, в другом будет r спичек.6.14. Считая вероятность рождения мальчика равной 1/2, найти вероятность того, что в семье с 10 детьмиа) 5 мальчиков и 5 девочек;б) число мальчиков не меньше 3 и не больше 8.6.15. В одном учебном заведении обучаются 730 студентов.

Деньрождения наудачу выбранного студента приходится на определенныйдень года с вероятностью 1/365 для каждого из 365 дней. Найти:а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января;б) вероятность того, что найдутся три студента, имеющие один и тотже день рождения.6.16. Двое играют в игру, поочередно бросая монету. Выигравшим§ 6. схема бернулли25считается тот, кто первый откроет решетку. Чему равна вероятностьвыигрыша для начавшего игру?6.17. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:а) 3 партии из 4 или 5 из 8;б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8;в) не более n из 2n партий или более n из 2n партий;г) не более n из 2n + 1 партий или более n из 2n + 1 партий?6.18.

Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3цветных? Не более 3 цветных?6.19. Технический контроль проверяет изделия, каждое из которыхнезависимо от других изделий может с вероятностью p оказаться дефектным.а) Какова вероятность того, что из 10 проверенных изделий толькоодно оказалось дефектным?б) Найти вероятность того, что первым дефектным оказалось k-епроверенное изделие.в) Найти вероятность того, что последующие 10 изделий окажутся годными, при условии, что предыдущие l = 5 изделий были такжегодными. Зависит ли эта вероятность от l?г) Найти распределение числа обнаруженных при проверке годныхизделий между двумя последовательными дефектными.6.20. На отрезок АВ длины a брошены наудачу, независимо одна отдругой, шесть точек.

Найти вероятность того, что:а) две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшемb, а четыре — на расстоянии, большем b;б) две точки будут находиться от А на расстоянии, меньшем c, одна — на расстоянии, не меньшем c и не большем b, а три точки — нарасстоянии, большем b.6.21. Какова вероятность получить каждую грань дважды при бросании двенадцати игральных костей?6.22. Спортивные общества A и B состязаются тремя командами.Вероятности выигрыша матчей команд общества A против соответствующих команд B можно принять соответственно равными 4/5 для первой (против первой B), 2/5 для второй (против второй B), 2/5 для третьей (против третьей B).

Для победы необходимо выиграть не менеедвух матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?6.23. Два шахматиста A и B согласились сыграть матч на следующих условиях: A должен для победы набрать 12 очков (выигрыш —очко), B должен набрать 6 очков, причём ничьи не учитываются. A26отдел ii. условная вероятность и независимостьобычно вдвое чаще выигрывает у B, если считать только результативные партии, так что вероятность его выигрыша можно принять равной2/3. Игру пришлось прекратить после того, как A набрал 8 очков, аB набрал 4 очка. Победу решено присудить тому, у кого вероятностьокончательного выигрыша больше.

Кто победитель?6.24. В схеме Бернулли вероятность успеха равна p, а вероятностьнеуспеха q = 1 − p. Найти вероятность того, что:а) цепочка НН (два неуспеха подряд) появится раньше цепочки НУ(неуспех и успех подряд);б) цепочка НН появится раньше цепочки УН;в) цепочка НН появится раньше цепочки УУУ.6.25. Игрок А одновременно подбрасывает три игральные кости,а игрок Б в тоже время — две кости.

Эти испытания они проводятпоследовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости.Найти вероятности следующих событий:а) A={впервые «6» появилось у игрока А, а не у Б};б) B={впервые «6» появилось у игрока Б, а не у А};в) C={впервые «6» появилось одновременно у А и Б}.6.26. Два человека независимо друг от друга подбрасывают монетупо n раз каждый.а) Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое числогербов.б) Доказать, что вероятность того, что они наберут одинаковое числогербов, совпадает с вероятностью того, что у них в сумме будет n гербов.6.27. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один из нихтри раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловатьсяна «невезение»?6.28.

Используя схему Бернулли, доказать следующие комбинаторные тождества:nnXXnа) 2n =Cni ;б) C2n=(Cni )2 .i=0i=0§ 7. Формула полной вероятности. Формула БайесаПусть гипотезы (события) B1 , . . . , Bn имеют положительные вероятности и исключают друг друга, т. е.

Bi ∩ Bj = ∅ для любых i 6= j. Пусть событие A можетпоявится только при выполнении одной из этих гипотез, т. е. A ⊂ (B1 ∪ . . . ∪ Bn ).Тогда вероятность события A может быть вычислена по формуле полной вероятностиnXP{A} =P{A|Bi }P{Bi }.i=1§ 7. формула полной вероятности27В тех же условиях, если произошло событие A положительной вероятности, то сучетом этого события «новые», т. е.

условные, вероятности гипотез вычисляются поформуле БайесаP{A|Bj }P{Bj }P{Bj |A} = n.XP{A|Bi }P{Bi }i=1Эти вероятности называются апостериорными (т. е. вычисляемыми после осуществления события A).7.1. Среди N экзаменационных билетов n «счастливых». Студентыподходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять«счастливый» билет: у того, кто подошел первым или у того, кто подошел вторым? Или у того, кто подошел третьим? Решить эту же задачус использованием классического определения вероятности.7.2.

Пусть имеется n одинаковых урн. Известно, что урна с номеромi содержит Ni шаров, среди которых имеется mi белых шаров. Наугадвыбирается урна, а из нее вынимается шар. Какова вероятность того,что вынут белый шар?7.3. Имеется 5 урн следующего состава: в первой и второй урнах —по 2 белых и 3 черных шара в каждой; в третьей и четвертой урнах —по 1 белому и 4 черных шара; в пятой урне — 4 белых и 1 черный шар.Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым.

Чемуравна при этом вероятность того, что шар вынут из пятой урны?7.4. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, вынимаются наудачу два шара и перекладываются во вторую урну, содержащую4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого извторой урны белый шар.7.5. В трех урнах содержатся белые и черные шары: в первой урне— 2 белых и 3 черных шара, во второй — 2 белых и 2 черных шара,в третьей — 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны вынут наудачу шар и переложен во вторую. Далее из второй урны вынут наудачушар и переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложенв первую.а) Какой состав шаров в первой урне наиболее вероятен?б) С какой вероятностью состав шаров во всех урнах не изменится?7.6. Урна содержит два шара: один белый и один черный.

Производятся последовательные испытания с возвращением вынутого шара вурну. Число испытаний неограничено. Какова вероятность вынутьа) когда-нибудь белый шар, если после каждого испытания в урнудобавляются еще a черных шаров;28отдел ii. условная вероятность и независимостьб) когда-нибудь подряд два белых шара, если после каждого испытания в урну добавляется еще один черный шар;в) когда-нибудь подряд два белых шара, если после каждого испытания в урну добавляются еще два черных шара?7.7.

В урне m белых и n черных шаров. Наудачу извлекается шар;он возвращается обратно и, кроме того, в урну добавляется k шароводного с ним цвета. Эта процедура повторяется несколько раз. Чемуравна вероятность того, что в s-й раз будет извлечен белый шар?7.8. Из урны, в которой было m > 3 белых шаров и n черных, потеряли один шар неизвестного цвета.

Для того чтобы определить составшаров в урне, из нее наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, если известно, что вынутыешары оказались белыми.7.9. В урне лежат 12 шаров, из них 8 черных и 4 белых. Три игрокаA, B и C поочередно тянут шары. Выигрывает тот, кто первым вытянетбелый шар. Оценить шансы на успех каждого игрока.7.10. A говорит правду в 3 случаях из 4, а B — в 4 случаях из 5. Изурны, в которой было 9 разноцветных шаров, в том числе один белый,вынули один шар.

A и B посмотрели на него и оба сказали, что шар —белый. Найти вероятность того, что они сказали правду.7.11. Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемойцели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна p; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражаетцель с вероятностью p0 . Стрельба ведется до поражения цели или доизрасходования всего боезапаса; на базе имеется n, n > 2, ракет.