1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 4

Найти предел этой вероятности приR, n → ∞, если n/R3 → c.3.12. Точка (ξ, η) выбирается наудачу в квадрате [0, 1]2 . Какова вероятность того, что уравнение x2 + ξx + η = 0 имеета) действительные корни;в) корни разного знака?б) положительные корни;3.13. Точка (ξ, η, ζ) выбирается наудачу в кубе [0, 1]3 . Какова вероятность того, что корни уравнения ξx2 + ηx + ζ = 0 действительные?3.14. (Задача о встрече). Два лица A и B условились встретитьсяв определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший§ 3. геометрические вероятности19первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит.

Чему равнавероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти влюбое время в течение указанного часа?3.15. (Продолжение задачи о встрече). Два лица A и B условилисьвстретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня.Лицо A ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит; лицо Bждет другого в течение 15 минут. Чему равна вероятность встречи этихлиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа?3.16.

На окружности наудачу выбраны три точки A, B и C. Найтивероятность того, что треугольник ABC будет:а) остроугольным;г) правильным;б) тупоугольным;д) равнобедренным.в) прямоугольным;3.17. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятностьтого, что они образуют вершиныа) какого-нибудь треугольника;б) правильного треугольника;в) прямоугольного треугольника.3.18. Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась 1/3? Указание: момент инерции вращения неучитывать.О Т Д Е Л IIУСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬИ НЕЗАВИСИМОСТЬ§ 4. Условная вероятностьУсловная вероятность P{A|B} события A при условии, что произошло событиеB ненулевой вероятности, определяется формулойP{A|B} =P{AB}.P{B}4.1. Пусть P{A1 |A2 } = P{A1 }. Показать справедливость следующихравенств:а) P{A1 |A2 } = P{A1 };б) P{A1 |A2 } = P{A1 }.4.2.

Верны ли равенства:а) P{B|A} + P{B|A} = 1;б) P{B|A} + P{B|A} = 1?4.3. Выразить условную вероятность P{C|AB} через вероятностиP{A}, P{B}, P{C}, P{AB}, P{BC}, P{AC} и P{ABC}.4.4. Рассмотрим семью с двумя детьми. Какова вероятность того,что в семье оба ребенка — мальчики, если:а) старший ребенок — мальчик;б) по крайней мере один из детей — мальчик?4.5. Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того,что на одной из них выпала единица, если на всех трех костях выпалиразные числа?4.6.

Известно, что при бросании 10 игральных костей выпала покрайней мере одна единица. Какова при этом вероятность того, чтовыпали две или более единицы?4.7. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того,что сумма выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта суммаесть чётное число?4.8. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что напервой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпалобольше очков, чем на первой?§ 5. независимые события214.9. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица.Известно, что для этого потребовалось чётное число бросаний.

Найтивероятность того, что единица впервые выпадет при втором бросании.4.10. Из колоды карт (36 листов) последовательно вынуты две карты. Найти:а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом(неизвестно, какая карта была вынута вначале);б) условную вероятность того, что вторая карта будет тузом, еслипервоначально был вынут туз.4.11. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты.Одну из них смотрят — она оказаласьа) дамой;б) тузом;после этого две вынутые карты перемешивают и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.4.12. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают одновременно nкарт, n < 52. Одну из них смотрят — она оказывается королем.

Послеэтого её перемешивают с остальными вынутыми картами. Найти вероятность того, что при втором вынимании карты из этих n мы сноваполучим короля.4.13. Письмо находится в письменном столе с вероятностью p, причём с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиковстола. Мы просмотрели 7 ящиков и письма не нашли. Какова при этомвероятность, что письмо в восьмом ящике?4.14. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров.

Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что вынуты шарыразного цвета, если известно, что среди них нет синего?§ 5. Независимые событияСобытия A и B называются независимыми, если P{AB} = P{A}P{B}.События A1 , . . . , An называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов {i1 , . . . , ik } ⊂ {1, . . . , n} выполняется равенствоP{Ai1 Ai2 . .

. Aik } = P{Ai1 }P{Ai2 } · . . . · P{Aik }.5.1. Доказать, что если события A и B независимы, то события A иB; A и B; A и B также независимы.5.2. События A1 , . . . , An независимы в совокупности; P{Ak } = pk .Найти вероятностиа) одновременного появления всех этих событий;22отдел ii. условная вероятность и независимостьб) появления хотя бы одного из этих событий;в) появления ровно одного (безразлично какого) события.5.3. (Пример Бернштейна).

На плоскость бросается тетраэдр, триграни которого покрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Событие Козначает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С — грань, содержащая синий цвет, иЗ — зеленый цвет. Проверить независимость в совокупности и попарнуюнезависимость событий К, С и З.5.4. Бросаются две игральные кости. Рассмотрим три события: A— на первой кости выпало нечётное число очков, B — на второй костивыпало нечётное число очков, C — сумма очков на обеих костях нечётна.Выяснить, зависимы или нет события A, B и Cа) в совокупности;б) попарно.5.5. Бросаются три игральные кости. Событие A состоит в том, чтоодинаковое число очков выпало на первой и второй костях, B — одинаковое число очков на второй и третьей костях, C — на первой и третьей.Выяснить, зависимы или нет события A, B и Cа) в совокупности;б) попарно.5.6. Имеются 3 попарно независимых события, которые, однако, всевместе произойти не могут.

Предполагая, что все они имеют одну и туже вероятность p, определить наибольшее возможное значение p.5.7. Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимыили нет события А={выпал герб на первой монете} и В={выпала хотябы одна решка}.5.8. Пусть Ω = [0, 1], F — σ-алгебра борелевских множеств, P —Лебегова мера на отрезке Ω и A = [0, 1/2]. Построить события B и Cтакие, что P{B} = P{C} = 1/2, причём события A, B и C независимыв совокупности.5.9. Точка ξ = (ξ1 , ξ2 ) выбрана наудачу в квадрате [0, 1]2 . При какихзначениях r независимы события A = {|ξ1 −ξ2 | > r} и B = {ξ1 +ξ2 6 3r}?5.10.

Точка ξ = (ξ1 , ξ2 ) выбрана наудачу в квадрате [0, 1]2 . ПустьA = {ξ1 6 1/2}, B = {ξ2 6 1/2} и C = {(ξ1 − 1/2)(ξ2 − 1/2) < 0}.Выяснить, зависимы или нет эти событияа) в совокупности;б) попарно.5.11. Доказать, что если события A и B несовместны, P{A} > 0 иP{B} > 0, то события A и B зависимы.5.12. Пусть событие A таково, что оно не зависит от самого себя.Показать, что тогда P{A} = 0 или P{A} = 1.§ 6.

схема бернулли235.13. Выяснить, какими должны быть события A и B, чтобы события AB и A ∪ B были независимы?5.14. Пусть события A, B и C попарно независимы и P{C} > 0.Верно ли равенство P{A ∪ B|C} = P{A ∪ B}?5.15. Какое минимальное число точек должно иметь конечное вероятностное пространство, чтобы на этом пространстве можно былозадать n независимых в совокупности событий A1 , . . . , An , вероятностикоторых отличны от нуля и единицы?§ 6. Схема БернуллиПроизводятся независимые испытания. В каждом испытании возможно всего дваисхода: «успех» и «неудача», причём вероятность успеха равна p. Тогда вероятностьk pk (1 − p)n−k .того, что в n испытаниях произойдёт ровно k успехов, равна Cn6.1.

Пусть вероятность попадания в цель равна 1/5. Производится10 независимых выстрелов. Какова вероятность попадания в цель поменьшей мере дважды?6.2. Симметричную монету бросают до тех пор, пока она не выпадетодной и той же стороной два раза подряд. Найти вероятности следующих событий:а) опыт закончится до шестого бросания;б) потребуется чётное число бросаний.6.3. Симметричную монету бросают до тех пор, пока герб не выпадет в m-й раз. Найти вероятность того, что опыт закончится при n-омбросании. Найти эту же вероятность в случае несимметричной монеты,т.

е. если вероятность выпадения герба равна p 6= 1/2.6.4. Из урны, содержащей 2n белых и 2n черных шаров, наудачуизвлекают (с возвращением) 2n шаров. Какова вероятность того, чтосреди них окажется поровну шаров белого и черного цвета?6.5. (Парадокс шевалье де Мере). Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить единицу или при24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить две единицы?6.6.

Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того,что из восьми случайно взятых в этом месяце дней три дня окажутсядождливыми?6.7. Вероятность получения удачного результата при проведениисложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее числоудачных опытов, если их общее число равно 7.24отдел ii.