1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 3

Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попалопо назначению.2.28. В урне имеется n билетов с номерами от 1 до n. Билеты вынимаются наудачу по одному (без возвращения) до опустошения урны.Чему равна вероятность того, что:а) хотя бы в одном случае номер вынутого билета совпадает с номером произведенного испытания;б) номера первых m вынутых билетов будут идти в порядке возрастания?2.29.

Один школьник, желая подшутить над своими товарищами,собрал в гардеробе все пальто, а потом развесил их в случайном порядке. Какова вероятность pn того, что хотя бы одно пальто попало напрежнее место, если всего в гардеробе n крючков и на них висело nпальто. Найти предел pn при n → ∞.2.30. Участник лотереи «спортлото» из 49 наименований видов спорта называет шесть. Выигрыш определяется тем, сколько наименованийон угадал из шести других наименований, которые определяются в момент розыгрыша лотереи с помощью специального устройства, реализующего случайный выбор.

С какой вероятностью участник угадает всешесть наименований? Пять наименований и т. д.?2.31. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных шурупов. С какойвероятностью среди десяти наудачу взятых шурупов нет дефектных?2.32. Чему равна вероятность того, что при двух бросаниях трехигральных костей получится один и тот же результат, если:а) кости различны;б) кости неразличимы?2.33. В очереди у театральной кассы стоит 2n человек; n человекимеют денежные знаки только пятирублевого достоинства, а остальные§ 2. классические вероятности15n — только десятирублевого достоинства. В начале продажи в кассе денег нет, каждый покупатель берет только по одному билету стоимостью5 рублей. Чему равна вероятность того, что никому не придётся ждатьсдачу?2.34.

Найти вероятность того, что при случайном размещении n различных шаров по n ящикам:а) ни один ящик не останется пустым;б) ровно один ящик останется пустым.2.35. Пусть имеется n ячеек, в которые случайно размещаются rнеразличимых частиц. Такой схеме соответствуют фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие чётное число элементарных частиц. Они подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, в которой рассматриваются только различимые размещения частиц по ячейкам и каждому изних приписывается равная вероятность. Найти эту вероятность.

Найтивероятность наличия в первой ячейке ровно k частиц.2.36. Пусть имеется n ячеек и r неразличимых частиц. Частицыразмещаются по ячейкам так, что в одной ячейке не может находитьсяболее одной частицы. Такой схеме соответствуют электроны, протоны инейтроны. Они подчиняются статистике Ферми — Дирака, в которойкаждому такому размещению частиц по ячейкам приписывается равнаявероятность. Найти эту вероятность.2.37. Пусть имеется n ячеек, в которые случайно размещаются rзанумерованных частиц. Чему равна вероятность того, что:а) в k-ю ячейку попало ровно s частиц;б) хотя бы одна ячейка осталась пустой?2.38.

Поток из k частиц улавливается системой из n счетчиков, регистрирующих частицы. Каждая частица с одинаковой вероятностьюпопадает в любой из счетчиков.а) Какова вероятность того, что присутствие частиц будет отмеченоровно r счетчиками?б) Какова вероятность p(k1 , . . . , kn ) того, что первый счетчик зарегистрирует k1 частиц, второй — k2 , . . .

, где k1 + · · · + kn = k?в) Пусть n/k = l — целое число. При каких значениях k1 , . . . , knвероятность p(k1 , . . . , kn ) достигает своего максимума?2.39. Каждая из n палок разламывается на две части — длинную икороткую. Затем 2n обломков случайным образом соединяются в n пар,каждая из которых образует новую «палку». Найти вероятность того,что:а) части будут соединены в первоначальном порядке;б) все длинные части будут соединены с короткими.16отдел i. вероятностное пространство2.40.

В городе проживает n+1 человек. Один из них, узнав новость,сообщает её другому, тот — третьему и т. д., причём передача новостиосуществляется следующим образом: человек, которому сообщена новость, случайным образом выбирает одного из n жителей и сообщаетновость ему, тот поступает точно так же и т. д. Найти вероятность того,что новость будет передана r раза) без возвращения к человеку, который узнал её первым;б) без повторного сообщения её кому-либо.2.41. Решить предыдущую задачу в предположении, что на каждом шаге новость сообщается одним человеком группе из N случайновыбранных людей.2.42. Найти вероятность того, что:а) дни рождения 12 человек придутся на 12 разных месяцев года(предполагается, что все месяцы равновероятны);б) дни рождения 6 человек придутся в точности на два месяца.2.43. Найти вероятность того, что для данных 30 человек 6 из 12месяцев года содержат по два дня рождения и 6 — по три.2.44.

Собрались вместе n незнакомых человек. Найти вероятностьтого, что хотя бы у двух из них совпадают дни рождения.2.45. В чулане лежит n пар ботинок. Случайно выбираются r ботинок (r 6 n). Чему равна вероятность того, что среди ниха) не будет ни одной пары;в) ровно две пары;б) будет ровно одна пара;г) будет хотя бы одна пара?2.46.

Группа из 2n девочек и 2n мальчиков делится на две равныеподгруппы. Найти вероятность того, что каждая подгруппа содержитодинаковое число мальчиков и девочек.2.47. Группа из 3 девочек и 3n мальчиков делится на три равныеподгруппы. Какова вероятность того, что все девочки окажутся в разных подгруппах.2.48. Бросаются 5 игральных костей. Найти вероятность того, чтопо меньшей мере наа) двух;б) трехиз них выпадут одинаковые грани.2.49. Две игральные кости бросаются r раз. Найти вероятность того,что каждая из шести комбинаций (1,1), . . . , (6,6) появится по меньшеймере один раз.2.50.

В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что оказались занятымиа) ровно два купе;б) ровно три купе.§ 3. геометрические вероятности172.51. Из множества {1, 2, . . . , n} одно за другим выбирают без возвращения два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m, m > 0.2.52. Из множества {1, 2, . . . , n} наудачу выбирается число ξ. Найтипредел при n → ∞ вероятности того, что ξ 2 − 1 делится на 10.2.53.

Из множества {1, 2, . . . , n} случайно выбираются (с возвращением) два числа ξ и η. Найти предел при n → ∞ вероятности событияξ 2 + η 2 6 n2 .2.54. Из множества {1, 2, . . . , n}, n > 4, случайно выбираются (свозвращением) два числа ξ и η. Какая из вероятностей больше:а) P{ξ 2 − η 2 делится на 2} или P{ξ 2 − η 2 делится на 3};б) P{ξ 3 − η 3 делится на 2} или P{ξ 3 − η 3 делится на 3}?§ 3. Геометрические вероятностиПусть Ω — ограниченное измеримое множество в Rd , имеющее Лебегову меруmes Ω > 0. Для любого измеримого подмножества A ⊂ Ω положимmes A.mes ΩЭто определение вероятности, соответствующее случайному выбору точки из множества Ω, называется геометрическим.P{A} =3.1. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу брошенаточка.

Пусть (ξ, η) — её координаты. Доказать, что для любых 0 6x, y 6 1P{ξ < x, η < y} = P{ξ < x}P{η < y} = xy.Для 0 < z < 1 найти:а) P{|ξ − η| < z};г) P{ξη < z};б) P{min(ξ, η) < z};д) P{max(ξ, η) < z};в) P{(ξ + η)/2 < z};е) P{ξ + 2η < z}.3.2. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике состоронами 1 и 2. Найти вероятности событий: расстояние от Aа) до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит x;б) до каждой стороны прямоугольника не превосходит x;в) до каждой диагонали прямоугольника не превосходит x.3.3. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиесядруг от друга на расстоянии 2a.

На плоскость наудачу брошена игладлины 2r < 2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну изпрямых?18отдел i. вероятностное пространство3.4. На бесконечную шахматную доску со стороной клетки 2a наудачу брошена игла длины 2r < 2a. Найти вероятность того, что иглапопадет целиком внутрь одной клетки.3.5. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиесядруг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена монетарадиуса r < a. Какова вероятность того, что монета пересечет одну изпрямых?3.6.

На бесконечную шахматную доску со стороной клетки 2a наудачу брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что:а) монета попадет целиком внутрь одной клетки;б) монета пересечет не более одной стороны одной клетки.3.7. На отрезок [0, a] наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, равных расстояниям от точки 0 до точекпадения, можно составить треугольник.3.8. Стержень длины l разломан в двух наудачу выбранных точках. С какой вероятностью из полученных отрезков можно составитьтреугольник?3.9. Стержень длины l наудачу разламывается на две части, послечего бо́льшая из частей опять разламывается надвое в наудачу выбранной точке. Найти вероятность того, что из полученных частей можносоставить треугольник.3.10.

Три точки A, B и C лежат на одной прямой, причём точка Bнаходится между точками A и C, длина отрезка AB равна a, а длинаотрезка BC — b. На каждый из отрезков AB и BC наудачу бросается поодной точке. Найти вероятность того, что можно составить треугольникиз следующих трех отрезков: от точки A до первой брошенной точки;между двумя брошенными точками; от второй брошенной точки до точки C.3.11. В шаре радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано n точек. Какова вероятность того, что расстояние от центра доближайшей точки будет не менее r.