1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 2

Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие Ai состоит в том,что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что:а) ни одна из деталей не имеет дефектов;б) хотя бы одна деталь имеет дефект;в) ровно одна деталь имеет дефект;г) не более двух деталей имеют дефекты;д) по крайней мере две детали не имеют дефектов;е) точно две детали дефектны.10отдел i.

вероятностное пространство1.9. Объединение A ∪ B двух событий может быть выражено какобъединение двух несовместных событий, именно A ∪ B = A ∪ (B \ AB).Выразить подобным образом объединение трех событий A, B и C.1.10. Доказать, что для любого набора событий A1 , . . . , An справедливы равенстваn\Ai =i=1n[Ai ,i=1n[i=1Ai =n\Ai .i=11.11. Пусть B и C — два события. Положим An = B, если n чётноеи An = C, если n нечётное.

Найти событие, состоящее в том, что:a) произошло бесконечно много событий среди An ;б) произошло конечное число событий среди An ?1.12. Для любых событий A и B доказать, что:а) 1 − P{A} − P{B} 6 P{AB} 6 1;б) P{A ∪ B} = P{A} + P{B} − P{AB};в) P{AB} = 1 − P{A} − P{B} + P{A B}.1.13. Для любого набора событий A1 , . . . , An доказать следующиеравенства:( n)n[XXa) PAi =P{Ai } −P{Ai Aj }i=1i=116i<j6n(X+n+1P{Ai Aj Ak } − · · · + (−1)Pб) Pn\)Ai=i=1nXP{Ai } −i=1AiXP{Ai ∪ Aj }16i<j6n(+;i=116i<j<k6n()n\Xn+1P{Ai ∪ Aj ∪ Ak } − · · · + (−1)Pn[)Ai.i=116i<j<k6n1.14.

Пусть P{An } = 1 при всех n. Доказать равенство(∞)\PAn = 1.n=11.15. Пусть F — совокупность всех подмножеств A ⊆ R таких, что Aили R \ A содержит конечное число элементов. Является ли F алгеброймножеств? Найти наименьшую σ-алгебру, порождённую F. Являютсяли измеримыми относительно σ(F) следующие функции:§ 2. классические вероятности11а) f (x) = x;г) f (x) = I[0,1] (x);б) f (x) ≡ 17;д) f (x) = I{0} (x);в) f (x) = IZ (x);е) f (x) = xIZ (x)?1.16.

Пусть F — совокупность отрезков в R вида [0, 2−n ), n ∈ Z+ .а) Является ли F σ-алгеброй подмножеств?б) Найти наименьшую σ-алгебру, порождённую F.в) Какие функции из R в R измеримы относительно σ(F)?1.17. Пусть F — совокупность отрезков в R вида [0, n), n ∈ Z+ .а) Является ли F σ-алгеброй подмножеств?б) Найти наименьшую σ-алгебру, порождённую F.в) Какие функции из R в R измеримы относительно σ(F)?1.18. Пусть F1 — совокупность всех подмножеств в R2 вида B × R,где B ⊆ R измеримо по Борелю, а F2 — вида R × B.а) Являются ли F1 и F2 σ-алгебрами подмножеств?б) Какие события из F2 измеримы относительно F1 ?в) Какие функции из R2 в R измеримы относительно F1 ?г) Найти наименьшую σ-алгебру, порождённую F1 ∪ F2 .§ 2.

Классическое вероятностное пространствоПусть множество Ω состоит из конечного числа n элементарных исходов Ω ={ω1 , . . . , ωn }, σ-алгебра F состоит из всех подмножеств пространства Ω. Для любогособытия A положимчисло элементов в AP{A} =.nЭто определение вероятности, при котором все элементарные исходы равновозможны, называется классическим.2.1.

Брошены три монеты. Найти вероятности событий:а) A={первая монета выпала гербом};б) B={выпало ровно два герба};в) C={выпало не больше двух гербов}.2.2. Бросаются две игральные кости. Пусть событие A состоит в том,что выпавшая сумма очков нечётна, а событие B — в том, что хотя бына одной из костей выпала единица. Описать событияа) AB;в) A ∪ B;б) AB;г) AB.Найти их вероятности.2.3. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К,М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположениибукв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?12отдел i.

вероятностное пространство2.4. В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек.Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти налюбом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что:а) все пятеро выйдут на пятом этаже;б) все пятеро выйдут одновременно (на одном и том же этаже);в) все пятеро выйдут на разных этажах.2.5. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиководного размера. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.2.6.

Какова вероятность того, что в четырехзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиляа) все цифры разные;б) две пары одинаковых цифр;в) только две одинаковые цифры;г) только три одинаковые цифры;д) все цифры одинаковые;е) сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?2.7. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что наних выпадет по одинаковому числу очков.2.8. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятностьтого, что две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?2.9. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукописьприходится три папки).

Найти вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.2.10. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Еслистудент не знает ответа на поставленный вопрос, преподаватель задаетему еще один, дополнительный. Зачет ставится, если студент правильноотвечает хотя бы на один вопрос.

Какова вероятность получения зачета?2.11. Колода игральных карт (52 листа, 4 масти по 13 карт в каждой) тщательно перетасована. Наудачу берут 6 карт (без возвращения).Описать пространство элементарных исходов, а также найти вероятность того, что среди этих карта) окажется король пик;б) окажутся представители всех мастей;в) будет ровно 5 карт одной масти.Какое наименьшее число карт надо взять из колоды, чтобы с вероятностью более 1/2 среди них встретились хотя бы две карты одинаковогонаименования?Решить задачу 2.11 в случае, когда из колоды вынимается2.12. 7 карт.2.13. 8 карт.§ 2.

классические вероятности132.14. Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимаются три карты.Найти вероятность того, что:а) среди них окажется ровно один туз;б) среди них окажется хотя бы один туз;в) это будут тройка, семерка и туз (в любом порядке).2.15. Колоду карт (36 листов) наудачу разделяют на две равныепачки. Чему равна вероятность, что:а) в каждой из пачек окажется по два туза;б) в одной из пачек окажутся все четыре туза;в) в пачках окажется по равному числу красных карт?2.16.

N человек садятся случайным образом за круглый стол. Найтивероятность того, что:а) друзья A и B сядут рядом, причём B слева от A;б) друзья A, B и C сядут рядом, причём A справа от B, а C слева.2.17. N человек, среди которых находятся А и Б, случайным образом поставлены в ряд.

Какова вероятность того, что между А и Бокажется ровно r человек?2.18. Числа 1, . . . , n расположены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числаа) 1 и 2;б) 1, 2 и 3расположены рядом в указанном порядке.2.19. На полке в случайном порядке расставлено n книг, среди которых находится двухтомник Д. Лондона. Предполагая, что различныерасположения книг равновероятны, найти вероятность того, что оба тома расположены рядом.2.20.

Из набора чисел 1, 2, . . . , N случайно отобраны n чисел ирасположены в порядке возрастания: x1 < x2 < . . . < xn . Какова вероятность того, что xm < M . Найти предел этой вероятности, когдаM, N → ∞ так, что M/N → α > 0.2.21. В лотерее распространяются n билетов, из которых m выигрышные. Некто купил k билетов. С какой вероятностью среди них естьхотя бы один выигрышный?2.22.

Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на пяти карточках. Наудачувынимаются по одной три карточки и кладутся рядом слева направо.Какова вероятность того, что полученное число окажется чётным?2.23. Найти вероятность того, что среди r случайно выбранных (свозвращением) цифр:а) не встретится 0;в) не встретится ни 0, ни 1;б) не встретится 1;г) нет двух равных;д) не встретится хотя бы одна из двух цифр 0 или 1.14отдел i. вероятностное пространство2.24. Из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 сначала выбирают одну, а затем изоставшихся четырех — вторую. Найти вероятность того, что:а) в первый раз;в) оба разаб) во второй раз;будет выбрана нечётная цифра.2.25. Найти вероятность получить 12 очков хотя бы один раз при nбросаниях двух игральных костей.2.26.

В партии, состоящей из N изделий, имеется M бракованных.С какой вероятностью среди n (n < N ) наудачу выбранных из этойпартии изделий окажется m бракованных (m < M )? Не больше m бракованных?2.27. Некто написал n адресатам письма, в каждый конверт вложилпо одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте одиниз n адресов.