1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей), страница 10

Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причём ξ +ηпринимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 1/3 каждое. Доказать, чтоодна из величин ξ или η имеет вырожденное распределение.10.81. Пусть случайная величина принимает ровно два значения.Доказать, что она не может быть представлена в виде суммы двух независимых невырожденных случайных величин.10.82. Пусть случайная величина имеет равномерное распределениена некотором отрезке. Выяснить, может ли она быть представлена ввиде суммы двух независимых случайных величин с невырожденнымираспределениями.49§ 11.

моменты10.83. Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и каждаяимеет симметричное распределение. Доказать, что сумма ξ1 + · · · + ξnтакже имеет симметричное распределение.10.84. Число ξ выбирается случайно среди чисел 1, 2, 3 и 4; числоη выбирается случайно среди ξ, ξ + 1, . . . , 4. Найти совместное распределение чисел ξ и η и их средние значения.10.85.

Две точки выбираются случайно и независимо на отрезке[0, 1]; третья точка выбирается случайно между первыми двумя. Доказать, что распределение координаты третьей точки абсолютно непрерывно; найти его плотность.10.86. Пусть ξ1 и ξ2 — независимые случайные величины, принимающие целые неотрицательные значения. При каких условиях события{ξ1 — чётно} и {ξ1 + ξ2 — чётно} независимы?10.87. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , .

. . независимы и имеютодну и ту же непрерывную функцию распределения F . Пусть An ={ξn > max(ξ1 , . . . , ξn−1 )} — событие, состоящее в том, что в моментвремени n произошел «рекорд» в том смысле, что ξn превзошло всепредыдущие значения ξ1 ,. . . , ξn−1 . Доказать, что:а) события A1 , A2 , . . . независимы;б) P{An } = 1/n;в) P{для бесконечно многих n произошло An } = 1.10.88. Показать, что если ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины, то случайные величины lim inf ξn и lim sup ξn вырождены.n→∞n→∞10.89. Доказать, что интегральное уравнениеZ∞2x(t)dt= e−y(y − t)2 + 1−∞не имеет решения в классе неотрицательных функций.§ 11.

МоментыСредним значением (математическим ожиданием) Eξ случайной величины ξназывается интегралZ∞Eξ =xdP{ξ < x},−∞при условии, что интеграл сходится абсолютно. Если случайная величина ξ принимает лишь счётное число значений x1 , x2 , . . .

, то её среднее значение может быть50отдел iii. случайные величины и их распределениявычислено по формулеEξ =∞Xxi P{ξ = xi }.i=1Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью p(x), то её среднее значение может быть вычислено по формулеZ∞xp(x)dx.Eξ =−∞Другие числовые характеристики случайных величин:Dξ = E(ξ − Eξ)2 — дисперсия случайной величины ξ;Cov(ξ, η) = E(ξ − Eξ)(η − Eη) — ковариация случайных величин ξ и η;Cov(ξ, η)ρ(ξ, η) = √— коэффициент корреляции случайных величин ξ и η;DξDηEξ k — момент порядка k (k-й момент) случайной величины ξ.11.1. Доказать, что:а) Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 ;б) Cov(ξ, η) = Eξη − EξEη.11.2. Случайные величины ξ и η независимы, причём Eξ = 2, Dξ =1, Eη = 1, Dη = 3.

Найти среднее значение и дисперсию случайнойвеличиныа) ξ − 2η;б) 2ξ − η.11.3. Пусть случайная величина имеет:а) биномиальное распределение;б) распределение Пуассона с параметром λ;в) геометрическое распределение с параметром p;г) равномерное распределение на отрезке [−a, a];д) равномерное распределение на отрезке [a, b];е) распределение Коши с параметром сдвига a;ж) показательное распределение с параметром α;з) распределение Лапласа;и) нормальное распределение с параметрами a и σ 2 .Существует ли у нее математическое ожидание и дисперсия? Если «да»,посчитать соответствующие значения.11.4.

Дискретная случайная величина ξ имеет ряд распределенияxiP{ξ = xi }−11/501/1013/102.2/5Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин:а) ξ;в) ξ 2 ;б) |ξ|;г) 2ξ .11.5. Решить задачу 11.4, если дискретная случайная величина ξимеет ряд распределения51§ 11. моментыxiP{ξ = xi }−11/301/61.1/211.6. Решить задачу 11.4, если дискретная случайная величина ξимеет ряд распределенияxiP{ξ = xi }−23/801/811/45.1/411.7. Пусть случайная величина ξ принимает значения −2, −1, 0,1 и 2 с вероятностью 1/5 каждое. Найти математические ожидания идисперсии случайных величин:а) ξ;в) |ξ|;б) −ξ;г) ξ 2 .11.8.

Вычислить E(1 + ξ)−1 , если случайная величина ξ имеет:а) распределение Пуассона с параметром λ;б) биномиальное распределение с параметрами n и p.11.9. В предположениях задачи 11.8 вычислить E(2 + ξ)−1 .11.10. Находящийся в силовом поле электрон имеет энергию V , принимающую значения vi = a(i + 1/2), i = 1, 2, . . . , с вероятностями, пропорциональными e−bvi ; a и b — постоянные. Найти EV и EV 2 .11.11. В дополнение к условиям задачи 6.23 предположим, что организаторы матча учредили призовой фонд в 100 тугриков.

Какую суммуденег следует присудить игроку А?11.12. Пусть случайная величина ξ принимает конечное число неотрицательных значений x1 , . . . , xs . Доказать, что при n → ∞pEξ n+1а)→ max(x1 , . . . , xs );б) n Eξ n → max(x1 , . . . , xs ).Eξ n11.13. Случайная величина ξ может принимать только следующиезначения: −2, −1, 0, 1 и 2. С какими вероятностями ξ принимает этизначения, если:а) Eξ = Eξ 3 = 0, Eξ 2 = 1 и Eξ 4 = 2;б) Eξ = Eξ 3 = 0, Eξ 2 = 2 и Eξ 4 = 6.11.14. Выяснить, существует ли случайная величина ξ такая, чтоEξ = 1, Eξ 2 = 2, Eξ 3 = 3, Eξ 4 = 4 и Eξ 5 = 5?11.15.

Распределение случайной величины ξ имеет плотность2x при x ∈ [0, 1],p(x) =0 при x 6∈ [0, 1].Найти математические ожидания и дисперсии следующих величин:а) ξ;в) ξ 2 ;б) |ξ − 1/2|;г) 2ξ .52отдел iii. случайные величины и их распределения11.16. Распределение случайной величины ξ имеет плотность −43x при x > 1,p(x) =0при x < 1.Найти математические ожидания и дисперсии следующих величин:а) ξ;б) 1/ξ.11.17. Пусть случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Вычислить E sin2 πξ, D sin2 πξ.11.18. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное распределение Коши.

Вычислить E min(|ξ|, 1).11.19. Случайная величина ξ имеет показательное распределение спараметром α. Установить, при каких значениях α существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины eξ .11.20. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [a, b], найти среднее значениеи дисперсию площади круга.11.21. Случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Найти:а) E|ξ|;б) Eξ n , n ∈ N.11.22. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и σ 2 .

Найти E|ξ − Eξ|.11.23. Случайные величины ξ, η и ζ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти среднее значение и дисперсиюслучайной величины ξ + ξη + ξηζ.11.24. Случайные величины ξ и η независимы, причём ξ имеет нормальное распределение с параметрами 2 и 1/2, а η — равномерное распределение на отрезке [0, 4].

Найти:а) E(ξ + η);г) E(ξ − η 2 );б) Eξη;д) D(ξ + η);в) Eξ 2 ;е) D(ξ − η).11.25. Двумерное распределение пары целочисленных случайныхвеличин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=1ξ = −11/85/24ξ=01/121/6ξ=17/24 ,1/8где в пересечении столбца ξ = i и строки η = j находится вероятностьP{ξ = i, η = j}. Найти:а) Eξ, Dξ;в) Cov(ξ, η);б) Eη, Dη;г) E(ξ − 2η), D(ξ − 2η).53§ 11. моменты11.26.

Решить задачу 11.25, если двумерное распределение случайных величин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=2ξ = −21/61/6ξ=01/61/6ξ=11/6 .1/611.27. Решить задачу 11.25, если двумерное распределение случайных величин ξ и η задается с помощью таблицыη = −2η=0η=1ξ = −11/82/243/24ξ=01/121/121/12ξ=17/24.1/161/1611.28. Случайная точка (ξ, η) имеет равномерное распределение втреугольнике с вершинами в точках (0, 0), (2, 1), (2, 0).

Найти Eξ, Eη,Dξ, Dη, Cov(ξ, η). Проверить, зависимы или нет ξ и η.11.29. Случайная точка (ξ,√η) имеет равномерное распределение вквадрате {(x, y) : |x| + |y| 6 2}. Найти Eξ, Eη, Dξ, Dη, Cov(ξ, η).Проверить, зависимы или нет ξ и η.11.30. Случайная точка (ξ, η) распределена равномерно внутри единичного круга с центром в начале координат.а) Найти математическое ожидание и дисперсию ζ = ξη.б) Найти Cov(ξ, η).в) Проверить, зависимы или нет ξ и η.11.31. Случайная точка (ξ, η) распределена равномерно в квадрате{(x, y) : 0 6 x, y 6 1}.

Найти средние значения и дисперсии следующихвеличин:а) ζ = ξη;б) ζ = max(ξ, η).11.32. Пусть случайные величины ξ и η независимы, причём ξ имеетравномерное распределение на отрезке [0, 1], а η — на отрезке [1, 2].Найти средние значения и дисперсии следующих величин:а) ζ = ξη;б) ζ = max(ξ, η).11.33.

Совместное распределение случайных величин ξ и η имеетплотностьx + y при 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1,p(x, y) =0в остальных случаях.Найти Eξ, Eη, Dξ, Dη, Cov(ξ, η).54отдел iii. случайные величины и их распределения11.34. Доказать, что если случайная величина ξ принимает лишьцелые неотрицательные значения, то∞XEξ =P{ξ > n}.n=111.35. Доказать, что если случайная величина ξ принимает лишьнеотрицательные значения, то∞∞XXP{ξ > n} 6 Eξ 6P{ξ > n} + 1.n=1n=111.36. а) Доказать, что если P{ξ > 0} = 1, тоZ∞Eξ = P{ξ > x}dx.0б) Доказать, что если E|ξ| < ∞, тоZ∞Z0P{ξ > x}dx −Eξ =P{ξ < x}dx.−∞011.37.