1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (Коршунов, Фосс 2003 - Сборник задач и упражнений по теории вероятностей)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетД. А. КОРШУНОВ, С. Г. ФОСССБОРНИКЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙПО ТЕОРИИВЕРОЯТНОСТЕЙИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕУчебное пособиеНОВОСИБИРСК2003УДК 519.2ББК 22.171К66Коршунов Д. А., Фосс С. Г.Сборник задач и упражнений по теории вероятностей: Учебное пособие. — 2-е изд., испр. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2003. — 119 с.ISBN 5–94356–160–9Сборник содержит около 800 задач и упражнений по основным разделамучебных курсов теории вероятностей и теории случайных процессов.Данное пособие предназначено для студентов и аспирантов естественно-научных и экономических факультетов Новосибирского государственногоуниверситета и других высших учебных заведений.Табл.

4. Библиогр. 26 назв.Адрес авторов: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр.Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, РоссияE-mail: korshunov@math.nsc.ru, foss@math.nsc.ru1602090000−00Без объявл.14Б(03)−97ISBN 5–94356–160–9c Новосибирский государственныйуниверситет, 2003c Коршунов Д. А., Фосс С. Г., 2003СОДЕРЖАНИЕПредисловие ко второму изданию5Предисловие к первому изданию6Отдел§ 1.§ 2.§ 3.I. Вероятностное пространствоОперации над событиями . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .Классическое вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . .Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .881117Отдел§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.II. Условная вероятность и независимостьУсловная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . .Независимые события . . . . . . .

. . . . . . . . .Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Формула полной вероятности. Формула Байеса .............................2020212326О т д е л III. Случайные величины и их распределения§ 8. Случайные величины . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .§ 9. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 10. Совместное распределение. Независимость . . . . . .§ 11. Моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 12. Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . .§ 13. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14. Безгранично делимые распределения . . . .

. . . . . ...........................................3434353949596263О т д е л IV. Сходимость случайных величин и распределений§ 15. Сходимость почти наверное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 16. Сходимость по вероятности . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .§ 17. Слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 18. Сходимость средних и в среднем . . . . . . . . . . . . . . . . .....6565686972........4О т д е л V. Закон больших чисел§ 19. Независимые одинаково распределённые слагаемые . . . . . . .§ 20. Независимые разнораспределённые слагаемые . . .

. . . . . . .§ 21. Зависимые слагаемые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75757678О т д е л VI. Предельные теоремы§ 22. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 23. Численные задачи на использование центральной предельнойтеоремы и теоремы Пуассона . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .8181О т д е л VII. Цепи Маркова§ 24. Переходные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 25. Классификация состояний. Эргодичность цепей . . . . . . . . .89899383О т д е л VIII. Условное математическое ожидание. Мартингалы 97§ 26. Условное математическое ожидание .

. . . . . . . . . . . . . . . 97§ 27. Мартингалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100О т д е л IX. Случайные процессы§ 28. Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 29. Винеровский процесс . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 30. Пуассоновский процесс . . . . . . . .

. . . . . . . .§ 31. Линейная теория случайных последовательностей§ 32. Ветвящиеся процессы с дискретным временем . .........................................103103106107109111Приложения1.Важнейшие дискретные распределения2.Таблица распределения Пуассона . . . .3.Важнейшие плотности распределения .4.Таблица нормального распределения . .................................113113114115116Список литературы........................117ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮНастоящее издание сборника, в основном, печатается без изменений.По сравнению с первым изданием, выпущенным издательством НИИматематико-информационных основ обучения Новосибирского государственного университета в 1997 г., уточнены формулировки отдельныхзадач, немного изменены некоторые таблицы и добавлено несколько новых задач.Мы глубоко благодарны нашим коллегам, нашедших время сообщить нам о недостатках первого издания.Новосибирск, ноябрь 2003 г.Д.

А. КоршуновС. Г. ФоссПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮНастоящий сборник задач и упражнений предназначен прежде всегодля использования на практических занятиях по курсам теории вероятностей и случайных процессов на математических факультетах университетов. Кроме того, бо́льшая часть задач, включенных в сборник,может предлагаться и студентам других естественно-научных специальностей, изучающим теорию вероятностей и математическую статистику.При составлении сборника, содержащего около 800 задач различной степени сложности, была просмотрена весьма обширная литература (см. соответствующий список), а также дополнительные задачии упражнения, использовавшиеся авторами и их коллегами в процессепреподавания вероятностных курсов на различных факультетах Новосибирского государственного университета.

При этом авторы стремились отбирать задачи так, чтобы они были достаточно прозрачнымипо форме и по существу (точнее, не очень запутанными) и освещалиосновные разделы стандартного университетского курса теории вероятностей.Мы решили не включать в сборник ответы и указания к решениямзадач, и отнюдь не из-за лени авторов. По нашему мнению, это позволитпреподавателям успешно использовать сборник не только на занятиях,но и при проведении контрольных работ и экзаменов, а студентам —развивать навыки работы «без подсказок».Мы искренне признательны коллегам по кафедре теории вероятностей и математической статистики Новосибирского университета, многолетняя совместная работа с которыми оказала большое влияние наформирование наших педагогических взглядов: А. А. Боровкову,И.

С. Борисову, В. М. Бородихину, В. И. Лотову, Б. А. Рогозину, А. И. Саханенко и В. В. Юринскому. Мы также благодарим А. Д. Коршунова,В. И. Лотова и Н. И. Чернову, замечания и предложения которых способствовали улучшению изложения материала и устранению ряда неточностей и неясных мест. Со своей стороны надеемся, что результатнашего труда будет полезен друзьям и коллегам в их работе по обучению новых поколений студентов столь приятной во всех отношенияхнауке, как теория вероятностей. Мы будем весьма признательны за любые замечания и предложения как по тексту и составу задач, так и поструктуре сборника в целом.Новосибирск, январь 1997 г.Д. А.

КоршуновС. Г. ФоссОТДЕЛ IВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО§ 1. Операции над событиямиПусть Ω — непустое множество, элементы которого будем называть элементарными исходами. Для любых подмножеств A и B в Ω используются следующие обозначения: A ∪ B (или A + B) — объединение (или сумма) A и B; A ∩ B (или AB)— пересечение (или произведение) A и B; A \ B — разность A и B; A — обратное(дополнительное) множество, т.

е. множество Ω \ A.Выделяется некоторый класс F подмножеств в Ω, образующий σ-алгебру подмножеств, т. е. класс, обладающий следующими свойствами:1) Ω ∈ F;2) если A ∈ F, то A ∈ F;∞S3) если A1 , A2 , . . . ∈ F, тоAi ∈ F.i=1Элементы класса F называются событиями, а сам класс F называется σ-алгеброй событий. Событие Ω называют достоверным, а событие ∅ (пустое множество)— невозможным событием. События A и B несовместны, если AB = ∅.Функция P : F → [0, 1] называется вероятностью, если P{Ω} = 1 и(∞)∞[XPAi =P{Ai }i=1i=1для любого набора попарно несовместных событий A1 , A2 , .

. . ∈ F.Тройка (Ω, F, P) называется вероятностным пространством.1.1. Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, наудачу выбирают одного. Пусть событие A заключается в том,что выбранный студент окажется юношей; событие B — в том, что онне курит, а событие C — в том, что он живет в общежитии. Описатьсобытие ABC. Когда справедливы:а) равенство ABC = A;в) равенство A = B;б) включение C ⊂ B;г) равенство B = B?1.2.

Монета подбрасывается три раза подряд. Построить пространство Ω элементарных исходов. Описать событие A, состоящее в том, чтовыпало не менее двух гербов.§ 1. операции над событиями91.3. Монета подбрасывается три раза подряд. Является ли σ-алгеброй следующая система подмножеств:а) ∅, Ω, {ГГГ, ГРГ, ГГР, ГРР}, {РГГ, РРГ, РГР, РРР};б) ∅, Ω, {ГГГ, ГРГ, РГР, РРР}, {РГГ, РРГ, РГР, РРР}?Если «нет», найти наименьшую σ-алгебру, порождённую этой системойподмножеств.1.4.

Пусть A, B и C — события. Каков смысл равенств:а) ABC = A;б) A + B + C = A?1.5. Пусть A, B и C — события. Упростить выражения:а) (A + B)(B + C);в) (A + B)(A + B)(A + B).б) (A + B)(A + B);1.6. Установить, какие из следующих соотношений правильны:a) (A + B) \ C = A + (B \ C); ж) ABC = AB(B + C);з) A + B = (A \ AB) + B;б) (A + B)C = ABC;в) AB + BC + CA ⊃ ABC;и) (A + B)C = AC + BC;г) (A + B) \ A = B;к) ABC ⊂ A + B;л) (AB + BC + CA) ⊂ (A + B + C).д) A + B + C = ABC;е) (A + B)C = C \ C(A + B);1.7. Пусть A, B и C — произвольные события. Найти выражениядля событий, состоящих в том, что из A, B и C:а) произошло только A;б) произошли A и B, но C не произошло;в) все три события произошли;г) произошло хотя бы одно из этих событий;д) произошло хотя бы два события;е) произошло одно и только одно из этих событий;ж) произошло два и только два события;з) ни одно событие не произошло;и) произошло не более двух событий.1.8.