1625915003-5aff445d5e891ceccf0e3e59deb8c3b2 (2016 - Задачи)

Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé1. Ðåáåíîê èãðàåò ñ 10 áóêâàìè ðàçðåçíîé àçáóêè À, À, À, Å, È, Ê, Ì, Ì, Ò, Ò.Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì ðàñïîëîæåíèè áóêâ â ðÿä îí ïîëó÷èòñëîâî ìàòåìàòèêà?2.nêíèã ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàññòàâëÿþòñÿ íà êíèæíîé ïîëêå. Êàêîâà âåðîÿò-íîñòü, ÷òî äâå ôèêñèðîâàííûå êíèãè îêàæóòñÿ ñòîÿùèìè ðÿäîì?3. Ó ÷åëîâåêà â êàðìàíånêëþ÷åé, èç êîòîðûõ òîëüêî îäèí ïîäõîäèò ê åãî äâåðè.Êëþ÷è ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëåêàþòñÿ (áåç âîçâðàùåíèÿ) äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîÿâèòñÿ íóæíûé êëþ÷. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íóæíûé êëþ÷ ïîÿâèòñÿ ïðèk -ìèçâëå÷åíèè.4. ×èñëà1, 2, ..., nðàññòàâëåíû ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàçëè÷íûåðàñïîëîæåíèÿ ÷èñåë ðàâíîâåðîÿòíû, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëà 1, 2, 3ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ, íî íå îáÿçàòåëüíî ðÿäîì.5.

Èç êîëîäû, íàñ÷èòûâàþùåé 36 êàðò, íàóãàä èçâëåêàþòñÿ 6 êàðò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî:à) ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ òóç ïèê;á) ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ ðîâíî îäèí òóç;â) ñðåäè íèõ îêàæóòñÿ ðîâíî äâå áóáíîâûå êàðòû;ã) ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ õîòÿ áû îäíà áóáíîâàÿ êàðòà?6.  ëîòåðåånáèëåòîâ, èç êîòîðûõmâûèãðûøíûõ. Íåêòî ïðèîáðåòàåòkáèëåòîâ.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí áèëåò îêàæåòñÿ âûèãðûøíûì.7.

 çðèòåëüíîì çàëå êèíîòåàòðà 500 ìåñò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàçìåùåíèè â çàëå 490 çðèòåëåé ïóñòûìè îñòàíóòñÿ 10 ïåðâûõ ìåñò âòîðîãîðÿäà?8. Èç êîëîäû, íàñ÷èòûâàþùåé 52 êàðòû, íàóãàä èçâëåêàþò 6 êàðò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ñðåäè íèõ áóäóò ïðåäñòàâèòåëè âñåõ ÷åòûðåõ ìàñòåé?9.  ëèôò âîñüìèýòàæíîãî äîìà íà ïåðâîì ýòàæå âõîäÿò 5 ÷åëîâåê. Íåçàâèñèìî îòäðóãèõ êàæäûé ìîæåò âûéòè ñ ðàâíûìè øàíñàìè íà ëþáîì ýòàæå, íà÷èíàÿ ñîâòîðîãî. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî à) âñå âûéäóò íà ÷åòâåðòîì ýòàæå; á) âñå ïÿòåðîâûéäóò íà îäíîì è òîì æå ýòàæå; â) âñå ïÿòåðî âûéäóò íà ðàçíûõ ýòàæàõ?10.

Èç ÷èñåë 1, 2, ..., 49 íàóãàä âûáèðàþòñÿ è ôèêñèðóþòñÿ 6 ÷èñåë, ñ÷èòàþùèåñÿâûèãðûøíûìè. Íåêòî, æåëàþùèé âûèãðàòü, íàóãàä íàçûâàåò ñâîè 6 ÷èñåë èç49. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ñðåäè íàçâàííûõ èì ÷èñåë îêàæåòñÿ íå ìåíåå òðåõâûèãðûøíûõ?11. Íà øàõìàòíóþ äîñêó èç 64 êëåòîê ñòàâÿòñÿ íàóäà÷ó äâå ëàäüè ðàçíîãî öâåòà. Ñêàêîé âåðîÿòíîñòüþ îíè íå áóäóò áèòü äðóã äðóãà?12. Ãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç2näåâóøåê è2nþíîøåé, äåëèòñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîìíà äâå ðàâíûå ïî êîëè÷åñòâó ïîäãðóïïû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â êàæäîéïîäãðóïïå îêàæåòñÿ ïîðîâíó þíîøåé è äåâóøåê.13. Ãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç3nþíîøåé è 3 äåâóøåê, äåëèòñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîìíà òðè ðàâíûå ïî êîëè÷åñòâó ïîäãðóïïû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âñå äåâóøêèîêàæóòñÿ â ðàçíûõ ïîäãðóïïàõ?114.nñòóäåíòîâ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàñõîäÿòñÿ ïîk -éàóäèòîðèè -nkàóäèòîðèÿì.

Êàêîâà âåðîÿò-n1 ñòóäåíòîâ,n1 + ... + nk = n?íîñòü, ÷òî â ïåðâîé àóäèòîðèè îêàæåòñÿ..., âkñòóäåíòîâ,n2âî âòîðîé -ñòóäåíòîâ,15.  êóïåéíûé âàãîí (9 êóïå ïî 4 ìåñòà) ñåìè ïàññàæèðàì ïðîäàíî ñåìü áèëåòîâ.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàíÿòûìè îêàçàëèñü òîëüêî äâà êóïå.16.n ðàçëè÷íûõ øàðîâ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî n ÿùèêàì. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè ýòîì ðîâíî îäèí ÿùèê îêàæåòñÿ ïóñòûì?17.  ÷óëàíå íàõîäÿòñÿâûáèðàþòmnïàð áîòèíîê, âñå ïàðû ðàçíûõ ôàñîíîâ.

Íàóãàä â òåìíîòåáîòèíîê. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ áîòèíîê îòñóò-ñòâóþò ïàðíûå?18. Îòðåçîê äëèíûlëîìàåòñÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî äëèíàíàèáîëüøåãî îáëîìêà ïðåâîñõîäèò2l/3?19.  êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà. Îáîçíà÷èìX, Yåå êîîðäèíàòû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â îáëàñòü,ëåæàùóþ öåëèêîì âíóòðè êâàäðàòà, çàâèñèò ëèøü îò ïëîùàäè ýòîé îáëàñòè èïðîïîðöèîíàëüíà åé.à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ0 < u < 1, 0 < v < 1P (X < u, Y < v) = P (X < u) P (Y < v) = uv;á) íàéòè äëÿ0<t<11) P(|X − Y | < t),3) P(max(X, Y ) < t),â) íàéòèP (X + Y < t)20. Íà îòðåçîê äëèíûläëÿ2) P(XY < t),4) P(min(X, Y ) < t);0 < t < 2.ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì áðîøåíû òðè òî÷êè.

ÏóñòüX, Y, Zðàññòîÿíèÿ äî ýòèõ òî÷åê îò ëåâîãî êîíöà îòðåçêà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èçîòðåçêîâ ñ äëèíàìèX, YèZìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê?21. Íà îòðåçîê åäèíè÷íîé äëèíû ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì áðîøåíû äâå òî÷êè, êîòîðûå äåëÿò îòðåçîê íà òðè ÷àñòè.

Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èç ýòèõ ÷àñòåé ìîæíîñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê?22. Èç îòðåçêà [0,1] íàóãàä âûáèðàåòñÿ ÷èñëî. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî â äåñÿòè÷íîéçàïèñè ýòîãî ÷èñëà âòîðàÿ öèôðà ïîñëå çàïÿòîé áóäåò äâîéêîé?23. Ïóñòü ñîáûòèåAíå çàâèñèò îò ñàìîãî ñåáÿ. Äîêàçàòü, ÷òî òîãäàP (A)ðàâíî 0èëè 1.24. Ïóñòüe1èe2ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûì äâóì öèôðàì ïîñëå çàïÿòîé â çàäà÷å22.

Äîêàçàòü, ÷òî ñîáûòèÿ25. ÑòðåëîêA{e1 = 3}è{e2 = 5}íåçàâèñèìû.ïîðàæàåò ìèøåíü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.6, ñòðåëîê0.5, ñòðåëîêCB ñ âåðîÿòíîñòüþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4. Ñòðåëêè äàëè çàëï ïî ìèøåíè. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî ðîâíî äâå ïóëè ïîïàëè â öåëü?226. ÑîáûòèÿA1 , ..., Aníåçàâèñèìû, èçâåñòíû âåðîÿòíîñòèpi = P (Ai ) , i = 1, ..., n.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:Ai ;Ai ;èç Ai .à) ïðîèçîéäåò ðîâíî îäíî èçá) íå ïðîèçîéäåò íè îäíî èçâ) ïðîèçîéäåò õîòÿ áû îäíî27. Äâîå èãðàþò â èãðó, ïîî÷åðåäíî áðîñàÿ ìîíåòó. Âûèãðàâøèì ñ÷èòàåòñÿ òîò, êòîïåðâûì ïîëó÷èò ãåðá.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èãðà çàêîí÷èòñÿ íàk -ìáðî-ñàíèè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà äëÿ èãðîêà, íà÷èíàþùåãî èãðó?28. ×òî âåðîÿòíåå, âûèãðàòü ó ðàâíîñèëüíîãî ïðîòèâíèêà 3 ïàðòèè èç 4 èëè 5 ïàðòèéèç 8?29. 10 ëþáèòåëåé ïîäëåäíîãî ëîâà ðûáû íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçìåùàþòñÿ íà ëüäó îçåðà, èìåþùåãî ôîðìó êðóãà ðàäèóñà 1 êì. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íå ìåíåå 5 ðûáàêîâ ðàñïîëîæàòñÿ íà ðàññòîÿíèè áîëåå 200ì îò áåðåãà?30.  øàð ðàäèóñàRíàóäà÷ó áðîñàþòñÿnòî÷åê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàñ-ñòîÿíèå îò öåíòðà øàðà äî áëèæàéøåé òî÷êè áóäåò íå ìåíüøå31. ØàõìàòèñòûAèBa, 0 < a < R .ðåøèëè ñûãðàòü ìåæäó ñîáîé ìàò÷.

Èçâåñòíî, ÷òîâàåò êàæäóþ ïàðòèþ óBA âûèãðû-ñ âåðîÿòíîñòüþ 2/3 è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/3 ïðîèãðûâàåò. ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ ïîáåäû â ìàò÷åAåìó íóæíî íàáðàòü 4 î÷êà, àBäëÿ ïîáåäûäîñòàòî÷íî íàáðàòü 2 î÷êà (çà âûèãðûø â ïàðòèè äàåòñÿ î÷êî, çà ïðîèãðûø - 0î÷êîâ, íè÷üèõ íåò). Ðàâíû ëè øàíñû íà óñïåõ?32. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîk -éïî ïîðÿäêó óñïåõ â ñåðèè ïîñëåäîâàòåëüíûõèñïûòàíèé Áåðíóëëè ïðîèçîéäåò íà l -ì èñïûòàíèè.33.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âóñïåõàpïîÿâÿòñÿm+lnèñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþóñïåõîâ, ïðè÷åìlóñïåõîâ ïîÿâÿòñÿ â ïîñëåäíèõlèñïû-òàíèÿõ.34. Íà îòðåçîê [0,10] íàóäà÷ó áðîøåíî 5 òî÷åê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâå òî÷êèïîïàäóò â [0,2], îäíà - â [2,3] è äâå - â [3,10].35.  êðóã âïèñàí êâàäðàò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 10 òî÷åê, áðîøåííûõíàóäà÷ó â êðóã, ÷åòûðå ïîïàäóò â êâàäðàò, òðè - â íèæíèé ñåãìåíò è ïî îäíîé â îñòàâøèåñÿ òðè ñåãìåíòà.A ïîðàæàåò ìèøåíü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.6, ñòðåëîê B ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5,ñòðåëîê C ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4.

Ñòðåëêè äàëè çàëï ïî ìèøåíè. Ïóñòü èçâåñòíî,÷òî äâå ïóëè èç òðåõ ïîïàëè â öåëü. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîìàõíóëñÿ C ?36. Ñòðåëîê37. ×òîáû íàéòè íóæíóþ êíèãó, ñòóäåíò ðåøèë îáîéòè 3 áèáëèîòåêè. Äëÿ êàæäîéáèáëèîòåêè îäèíàêîâî âåðîÿòíî, åñòü â ôîíäàõ ýòà êíèãà èëè íåò, è åñëè êíèãàåñòü â ôîíäàõ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5 îíà íå çàíÿòà äðóãèì ÷èòàòåëåì. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò íàéäåò êíèãó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî áèáëèîòåêè êîìïëåêòóþòñÿ íåçàâèñèìî îäíà îò äðóãîé?38. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 3 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, ïåðåëîæåíû 2 âûòÿíóòûõ íàóäà÷óøàðà â óðíó, ñîäåðæàùóþ 4 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü âûíóòüèç âòîðîé óðíû áåëûé øàð.339.

Èçnýêçàìåíàöèîííûõ áèëåòîâ ñòóäåíò çíàåòâûì íà ýêçàìåí, òî ñ âåðîÿòíîñòüþm/nm,ïîýòîìó, åñëè îí çàéäåò ïåð-îí âûòàùèò õîðîøèé áèëåò. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü âûòàùèòü õîðîøèé áèëåò, åñëè ñòóäåíò çàéäåò íà ýêçàìåí âòîðûì?40.λk −λÍåêîòîðîå íàñåêîìîå ñ âåðîÿòíîñòüþe îòêëàäûâàåò k ÿèö, ãäå k = 0, 1, 2, ..., àk!÷èñëî λ ïîëîæèòåëüíî. Âåðîÿòíîñòü ðàçâèòèÿ ïîòîìêà èç ÿéöà ðàâíà p.

Êàêîâàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ó íàñåêîìîãî áóäåò ðîâíî m ïîòîìêîâ? Êàêîâà âåðîÿòíîñòü,÷òî áûëî îòëîæåíî 20 ÿèö, åñëè ó íàñåêîìîãî ðàçâèëîñü 10 ïîòîìêîâ?41. Äîïóñòèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîì âûñòðåëå ðàâíà p, à âåkðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè ïðè k ïîïàäàíèÿõ ðàâíà 1 − q .

Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî öåëü ïîðàæåíà, åñëè áûëî ïðîèçâåäåíînâûñòðåëîâ?42. Â ïðîäàæó ïîñòóïàþò òåëåâèçîðû òðåõ çàâîäîâ. Ïðîäóêöèÿ ïåðâîãî çàâîäà ñîäåðæèò 5% òåëåâèçîðîâ ñî ñêðûòûì äåôåêòîì, âòîðîãî - 3% è òðåòüåãî - 1%.Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ïðèîáðåñòè èñïðàâíûé òåëåâèçîð, åñëè â ìàãàçèí ïîñòóïèëî20% òåëåâèçîðîâ ñ ïåðâîãî çàâîäà, 30% - ñî âòîðîãî è 50% -ñ òðåòüåãî?43.

Èçâåñòíî, ÷òî 34% ëþäåé èìåþò ïåðâóþ ãðóïïó êðîâè, 37% - âòîðóþ, 21% - òðåòüþè 8% - ÷åòâåðòóþ. Áîëüíîìó ñ ïåðâîé ãðóïïîé ìîæíî ïåðåëèâàòü òîëüêî êðîâüïåðâîé ãðóïïû, ñî âòîðîé - êðîâü ïåðâîé è âòîðîé ãðóïï, ñ òðåòüåé - êðîâü ïåðâîéè òðåòüåé ãðóïï, è ÷åëîâåêó ñ ÷åòâåðòîé ãðóïïîé ìîæíî ïåðåëèâàòü êðîâü ëþáîéãðóïïû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîèçâîëüíî âçÿòîìó áîëüíîìó ìîæíî ïåðåëèòüêðîâü ïðîèçâîëüíî âûáðàííîãî äîíîðà?44. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî 5% âñåõ ìóæ÷èí è 0.25% âñåõ æåíùèí - äàëüòîíèêè. Íàóãàäâûáðàííîå ëèöî ñòðàäàåò äàëüòîíèçìîì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòî ìóæ÷èíà?Ñ÷èòàòü, ÷òî ìóæ÷èí è æåíùèí îäèíàêîâîå ÷èñëî.45.

Ïî êàíàëó ñâÿçè ìîæåò áûòü ïåðåäàíà îäíà èç òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áóêâ:AAAA, BBBB, CCCC, ïðè÷åì äåëàåòñÿ ýòî ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.3, 0.4 è 0.3 ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî, ÷òî äåéñòâèå øóìîâ íà ïðèåìíîå óñòðîéñòâî óìåíüøàåò âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíîãî ïðèåìà êàæäîé èç ïåðåäàííûõ áóêâ äî 0.6, à âåðîÿòíîñòüïðèåìà êàæäîé ïåðåäàííîé áóêâû çà äâå äðóãèå ðàâíû 0.2 è 0.2. Ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî áóêâû èñêàæàþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîáûëà ïåðåäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü AAAA, åñëè íà ïðèåìíîì óñòðîéñòâå ïîëó÷åíî ABCA.46.

Èãðîê âûèãðûâàåò î÷êî, åñëè ïðè ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû âûïàäàåò ãåðá, è ïðîèãðûâàåò î÷êî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿñóììàðíîãî âûèãðûøà èãðîêà ïîñëå äâóõ áðîñàíèé ìîíåòû.47. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà èñïûòàíèé Áåðíóëëè, ïðîèçâîäèìûõ äî ïîÿâëåíèÿ ïåðâîãî óñïåõà âêëþ÷èòåëüíî.X âåðîÿòíîñòè ñëåP (a < X < b), P (a ≤ X < b), P (a < X ≤ b), P (a ≤ X ≤ b).48.