1625915088-e8ebe38cf39945169f45febc4019083c (2019 - Программа курса Ковалевский)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА(6-й семестр)Лектор — Артем Павлович КовалевскийI. Теория вероятностей1. Понятие вероятности. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече. События, операции над ними. Общее определение вероятности.Основные свойства вероятности: дополнения, включения, объединения.2. Элементы комбинаторики.

Выборки с возвращением и без возвращения. Размещение частиц по ячейкам. Статистики Максвелла—Больцмана, Бозе—Эйнштейна, Ферми—Дирака. Гипергеометрическое распределение.3. Независимые события. Независимость дополнений. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Время ожидания в схеме Бернулли.4. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.5. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.

Типы распределений:дискретный, абсолютно непрерывный, смешанный.6. Дискретные распределения. Преобразования дискретных случайных величин. Основные семейства дискретных распределений: вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона.7. Абсолютно непрерывные распределения. Преобразования случайных величин с абсолютно неперывным распределением. Основные семейства абсолютно непрерывных распределений: равномерное, показательное, гамма-распределение, нормальное.8. Многомерные распределения и плотности, их основные свойства, примеры: равномерное в области, многомерное стандартное нормальное.9. Независимые случайные величины.

Критерии независимости. Сохранение независимости при преобразованиях случайных величин. Формула свертки.10. Математическое ожидание случайной величины и его свойства, формулы для вычисления, примеры. Неравенство Маркова. Неравенство Йенсена.11. Моменты, вопросы их существования. Дисперсия и среднеквадратическое отклонениеслучайной величины. Их свойства. Примеры. Неравенство Чебышева.12. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства.13. Матрица ковариаций. Многомерное нормальное распределение и его свойства.14. Характеристические и производящие функции: определения и свойства.

Распределение суммы независимых случайных величин, имеющих гамма-распределение, нормальноераспределение.15. Распределение Максвелла—Больцмана. Распределение скоростей и энергий молекулгаза. Распределение модуля скорости. Среднеквадратическая скорость.16. Сходимость по распределению. Теорема о непрерывном соответствии. Сходимость пораспределению к константе. Закон больших чисел Хинчина. Сходимость с вероятностьюединица, ее свойства. Закон больших чисел Колмогорова.17. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра—Лапласа.18. Теорема Пуассона.19. Моделирование случайных величин и векторов.II.

Математическая статистика1. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко—Кантелли.Гистограмма и полигон частот.2. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность оценок.Выборочные моменты и их свойства. Выборочные асимметрия и эксцесс.3. Метод моментов. Состоятельность оценок, полученных методом моментов.4. Метод максимального правдоподобия.15. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

Нормальная регрессия. Коэффициент детерминации. Модели с полиномиальным и циклическим трендом.6. Распределения, связанные с нормальным (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).7. Лемма Фишера. Теорема о свойствах выборочного среднего и выборочной дисперсиидля выборок из нормального распределения.8. Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения.9. Асимптотические доверительные интервалы.10. Статистические критерии. Понятия статистической гипотезы, статистического критерия, вероятностей ошибок первого и второго рода. Критерии согласия Колмогорова, хиквадрат Пирсона. Связь статистических критериев и доверительных интервалов.План семинаров1-й семинар: Классическая вероятностная модель.

Комбинаторика.2-й семинар: Гипергеометрическое распределение. Геометрическая вероятностная модель.3-й семинар: Независимые события. Схема Бернулли.4-й семинар: Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.5-й семинар: Распределения случайных величин.6-й семинар: Преобразования случайных величин.7-й семинар: Математическое ожидание и дисперсия.8-й семинар: Ковариация и коэффициент корреляции. Характеристические и производящие функции.9-й семинар: Предельные теоремы.10-й семинар: Выборка и выборочные характеристики. Оценивание неизвестных параметров методом моментов.11-й семинар: Оценивание неизвестных параметров методом максимального правдоподобия.12-й семинар: Линейная регрессия.13-й семинар: Интервальное оценивание.14-й семинар: Статистические гипотезы и критерии.Задачи1.1.

Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости:а) выпадет число 3;б) выпадет число, отличное от трех;в) выпадет число, не меньшее трех.1.2. Однократно бросается пара игральных костей. Найти вероятность того, что:а) сумма выпавших очков окажется равна трем;б) выпадут одинаковые грани;в) сумма выпавших очков окажется не меньше шести.1.3. n книг произвольным образом расставляются на книжной полке.

Какова вероятностьтого, что две фиксированные книги окажутся стоящими рядом?1.4. Числа 1; 2; . . . ; n расставлены случайным образом. Предполагая, что различныерасположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3 расположеныв порядке возрастания, но не обязательно рядом.1.5. Найти вероятность того, что в наугад выбранном четырехзначном номере (от 0000 до9999):а) все цифры одинаковы;б) все цифры различны;в) ровно три одинаковые цифры;2г) только две одинаковые цифры;д) две пары одинаковых цифр.1.6.

Найти вероятность того, что в наугад выбранном трехзначном автомобильном номере:а) все цифры одинаковы;б) все цифры различны;в) только две одинаковые цифры.1.7. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже входят 5 человек. Независимо отдругих каждый может выйти с равными шансами на любом этаже, начиная со второго.Какова вероятность того, что:а) все выйдут на четвертом этаже;б) все пятеро выйдут на одном и том же этаже;в) все пятеро выйдут на разных этажах?1.8.

Ребенок играет с десятью буквами разрезной азбуки: A, A, A, Е, И, К, М, М, Т, Т.Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово"МАТЕМАТИКА"?1.9. Буквы, составляющие Вашу фамилию, написали на карточках, затем карточки перетасовали и стали выкладывать в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что врезультате получится Ваша фамилия?1.10.

У человека в кармане n ключей, из которых только один подходит к его двери.Ключи последовательно извлекаются (без возвращения) до тех пор, пока не появится нужный ключ. Найти вероятность того, что нужный ключ появится при k-м извлечении. Какизменится эта вероятность, если ключ каждый раз возвращается обратно в карман?1.11. Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекаются 6 карт. Какова вероятностьтого, что:а) среди них окажется туз пик;б) среди них окажется ровно один туз;в) среди них окажутся ровно две бубновые карты;г) среди них окажется хотя бы одна бубновая карта?1.12.

В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Некто приобретает k билетов.Найти вероятность того, что хотя бы один билет окажется выигрышным.1.13. На шахматную доску из 64 клеток ставятся наудачу две ладьи разного цвета. Скакой вероятностью они не будут «бить» друг друга?1.14. В лотерейном билете 20 полей, на 10 из которых расположены буквы слова «автомобиль».

Игрок последовательно открывает поля. Если он найдет все буквы слова «автомобиль», открыв 10 полей, он выигрывает автомобиль. Если он найдет их, открыв 11 полей,он выигрывает стоимость половины автомобиля. Найти вероятность выигрыша автомобиляи стоимости половины автомобиля, если поля открываются наудачу.2.1. Недобросовестный казначей заменил 3 из 50 золотых монет в казне на фальшивые.Султан взвешивает 2 наугад выбранных монеты. Какова вероятность того, что казначейбудет уличен?2.2.

Из чисел 1, 2, ..., 49 наугад выбираются и фиксируются 6 чисел, считающиеся выигрышными. Некто, желающий выиграть, наугад называет свои 6 чисел из 49. Какова вероятность, что среди названных им чисел окажется не менее трех выигрышных?2.3. Группа, состоящая из 2n девушек и 2n юношей, делится произвольным образом надве равные по количеству подгруппы.

Найти вероятность того, что в каждой подгруппеокажется поровну юношей и девушек.2.4. В ящике имеется 4 зеленых, 5 синих и 6 красных шаров. Наугад выбирается два шара.Какова вероятность того, чтоа) это будут синий и зеленый шары;б) шары окажутся одного цвета;в) шары окажутся различных цветов.32.5. Из колоды, насчитывающей 52 карты, наугад извлекают 6 карт. Какова вероятность,что среди них будут представители всех четырех мастей?2.6. В купейном вагоне (9 купе по 4 места) наудачу выбрано 7 мест. Найти вероятностьтого, что занятыми оказались ровно пять купе.2.7.

Группа, состоящая из 3n юношей и 3 девушек, делится произвольным образом на триравные по количеству подгруппы. Какова вероятность, что все девушки окажутся в разныхподгруппах?2.8. n различных шаров произвольным образом раскладываются по n ящикам. Каковавероятность, что при этом ровно один ящик окажется пустым?2.9. n студентов произвольным образом расходятся по k аудиториям. Какова вероятность,что в первой аудитории окажется n1 студентов, во второй — n2 студентов, ..., в k-й аудитории— nk студентов, n1 + .

. . + nk = n?2.10. Из отрезка [0,1] наугад выбирается число. Какова вероятность, что в десятичнойзаписи этого числа вторая цифра после запятой будет двойкой?2.11. На отрезок единичной длины произвольным образом брошены две точки, которыеделят отрезок на три части. Какова вероятность, что из этих частей можно составить треугольник?2.12. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу брошена точка. Обозначимчерез X, Y ее координаты.

Предполагается, что вероятность попадания в область, лежащуюцеликом внутри квадрата, зависит лишь от площади этой области и пропорциональна ей.а) Доказать, что для 0 < u < 1, 0 < v < 1 выполненоP {X < u, Y < v} = P {X < u}P {Y < v} = uv;б) найти для 0 < t < 1 вероятности1) P {|X − Y | < t};2) P {XY < t};3) P {max(X, Y ) < t}; 4) P {min(X, Y ) < t};в) найти P {X + Y < t} для 0 < t < 2.2.13. На отрезок длины l произвольным образом брошены три точки.

Пусть X, Y, Z —расстояния до этих точек от левого конца отрезка. Какова вероятность, что из отрезков сдлинами X, Y и Z можно составить треугольник?2.14. Отрезок длины l ломается в произвольной точке. Какова вероятность, что длинанаибольшего обломка превосходит 2l/3?2.15. Точка бросается наудачу в квадрат. Найти вероятность того, что точка попадет вкруг, вписанный в этот квадрат.2.16. Точка бросается наудачу в треугольник с вершинами в точках (0,0),(2,0) и (0,1).Найти вероятность того, чтоа) абсцисса точки окажется больше 1/2;б) ордината точки окажется больше 1/2.2.17.

В прямоугольник с вершинами (0,0), (0,1), (2,0), (2,1) наудачу брошена точка. Обозначим через X, Y ее координаты. Для всех t ∈ R найти:Вариант 1. P{X − Y < t}.Вариант 2. P{2X − Y < t}.Вариант 3. P{X − 3Y < t}.Вариант 4. P{4X − Y < t}.Вариант 5. P{X − 5Y < t}.Вариант 6. P{X + Y < t}.Вариант 7. P{2X + Y < t}.Вариант 8. P{X + 3Y < t}.Вариант 9. P{4X + Y < t}.Вариант 10.

P{X + 5Y < t}.4Вариант 11. P{Y − X < t}.Вариант 12. P{2Y − X < t}.Вариант 13. P{Y − 3X < t}.Вариант 14. P{4Y − X < t}.Вариант 15. P{Y − 5X < t}.3.1. Элементы цепи выходят из строя (перегорают) независимо друг от друга с вероятностями по 0,1. Найти вероятность того, что цепь из трех элементов будет пропускать токпри (а) последовательном, (б) параллельном соединении элементов.3.2. События A1 , . . . , An независимы, известны вероятности pi = P (Ai ), i = 1, . .