1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (Ковалевский - Семинары по теории вероятностей)

Ñåìèíàðû ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå(ÔÔ, 6-é ñåìåñòð)Ÿ1. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâÎïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûì âåêòîðîì X⃗ = (X , . . . , X ) íà1nçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω â n-ìåðíîå àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòàíñòâî Rn , ÷òî äëÿ⃗êàæäîãî ⃗t = (t1 , .

. . , tn ) ∈ Rn ìíîæåñòâî {ω ∈ Ω : X(ω)< ⃗t}ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì, òî åñòü îïðåäåëåíà åãî âåðîÿòíîñòü.⃗ íàçûâàñëó÷àéíîãî âåêòîðà Xåòñÿ ýòà âåðîÿòíîñòü êàê ôóíêöèÿ âåêòîðíîé ïåðåìåííîé ⃗t:ìåðíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿÌíîãî-⃗⃗ < ⃗t }.FX⃗ ( ⃗t ) = P{ ω ∈ Ω : X(ω)< ⃗t } = P{ X⃗ < ⃗t ïîíèìàåòñÿ ïîêîîðäèíàòíî, òî åñòü îçíàÍåðàâåíñòâî X÷àåò ñèñòåìó íåðàâåíñòâ X1 < t1 , . . . , Xn < tn .Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì îáû÷íûå îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.⃗ , ïðèíèìàþíàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûé âåêòîð Xùèé êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé ⃗t1 , ⃗t2 , . . .. Åãî ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà,⃗ = ⃗tj }.  äâóìåðíîì ñëó÷àå (ïðèò.å.

íàáîðîì âåðîÿòíîñòåé P{Xn = 2) òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà⃗ = (X, Y ) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäåXb1b2 . . .X\Ya1p11 p12 . . .a2p21 p22 . . ....... ... ...Çäåñü pij = P{X = ai , Y = bj }.Ñâîéñòâà òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîãî äèñêðåòíîãîâåêòîðà:1) âñå ai ðàçëè÷íû;2) âñå bj ðàçëè÷íû;3) âñå pij íåîòðèöàòåëüíû;Äèñêðåòíûì14) ñóììà âñåõ pij ðàâíà 1.Òàáëèöà îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xïîëó÷àþòñÿ èç∑òàáëèöû äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëåP{X = ai } = j pij .⃗ èìååòÃîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíûé âåêòîð Xìíîãîìåðíîå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé fX⃗ ( ⃗t ) òàêàÿ, ÷òîäëÿ B ⊆ Rn âûïîëíåíî ðàâåíñòâî∫⃗ ∈ B} = f ⃗ ( ⃗t )d⃗tP{XXB(çäåñü è äàëåå èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå d⃗t = dt1 .

. . dtn ).⃗ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðå ÷àñòíîñòè, åñëè Xäåëåíèå, òî äëÿ ëþáîãî ⃗t ∈ Rn âûïîëíåíî∫fX⃗ (⃗u)d⃗u.FX⃗ ( ⃗t ) =⃗u≤⃗t∫RnÑâîéñòâà ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ: fX⃗ ( ⃗t ) ≥ 0;fX⃗ ( ⃗t )d⃗t = 1.Îäíîìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà âû÷èñëÿþòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò.1.1.Íàéòè âåðîÿòíîñòü p è îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè P{X = 0, Y > 1},F(X,Y ) (2, 2):X\Y12300,1 p0100 0,0220,03 0021.2.Íàéòè âåðîÿòíîñòè p è q , åñëè èçâåñòíî, ÷òîP{X = −1} = 0, 3.

Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû Y è âåðîÿòíîñòü P{X > 1, Y < 1}:X\Y0 0,52-10,1 p 0,050,3 0,4q3Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí X è Y . Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè óñëîâèèY = −1; ïðè óñëîâèè Y = 2. Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Yïðè óñëîâèè X = −2; ïðè óñëîâèè X = 1.X\Y-102-20 0,5 0,110,1 0030,3 00Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí X è Y . Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè óñëîâèèY = 1; ïðè óñëîâèè Y > 1. Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Y ïðèóñëîâèè X = 0.-21235X\Y00,1 0,1 0,1 0,1 0,10,1 0,1 0,1 0,1 0,11Íàéòè êîíñòàíòó A òàêóþ, ÷òîáû ôóíêöèÿf (t1 , t2 ) = At1 t2 exp(−t21 − t22 ) ïðè t1 , t2 ≥ 0, è ðàâíàÿ íóëþ äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé âåêòîðà (t1 , t2 ), ÿâëÿëàñüäâóìåðíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.

Íàéòè äâóìåðíóþôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè F (0, 0), F (0, −1), F (3, −2).Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (t1 , t2 ) äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X1 , X2 ) ðàâíà 12 t1 t2 â òðåóãîëüíèêå {0 ≤ t1 ≤ 1,0 ≤ t2 ≤ 4t1 }, è íóëþ âíå ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Íàéòè äâóìåðíóþôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè îäíîìåðíûå ôóíêöèè è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè P{X2 > 2}, P{X1 + X2 < 1}.Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ïóñòü (X, Y ) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè.Íàéòè ïëîòíîñòü äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèè è ïëîòíîñòè îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Íàéòè P{X < 0, Y < X}.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.31.8*. Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â øàð ðàäèóñà R ñ öåíòðîì âíà÷àëå êîîðäèíàò. Ïóñòü (X, Y, Z) äåêàðòîâû êîîðäèíàòûòî÷êè. Íàéòè ïëîòíîñòü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèèè ïëîòíîñòè îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ïóñòü (X1 , X2 , X3 ) êîîðäèíàòû òî÷êè, áðîøåííîéíàóäà÷ó â òåòðàýäð {t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t3 ≥ 0, t1 + t2 + t3 ≤ 2}.Íàéòè ïëîòíîñòü äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (X1 , X2 ).1.9*.Ÿ2.

Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ⃗ . ÒîãäàÏóñòü g ôóíêöèÿ n ïåðåìåííûõ, è Y = g(X)ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ñëó÷àéíîãî⃗ èëè ôóíêöèåé îò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X⃗.âåêòîðà X⃗Åñëè X èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ñíà÷àëà íàõîäÿòâñåâîçìîæíûå ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , àïîòîì âåðîÿòíîñòè, ñ êîòîðûìè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåòýòè çíà÷åíèÿ. àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåòôîðìóëà∫fX⃗ (⃗u)d⃗u.Fg(X)⃗ (t) =g(⃗u)<tÊîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,åñëè äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ ÷èñëîâîé ïðÿìîé B1 , . . .

, Bn âûïîëíåíî ðàâåíñòâîP{X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn } = P{X1 ∈ B1 } · . . . · P{Xn ∈ Bn }.Ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ñ íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè êîìïîíåíò.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþòàáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàçèòü ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ èõ ÷àñòíîãî ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü Z = X1 /X2 .

ÒîãäàÏðèìåð.FZ (u) = P{X1 /X2 < u}4∫∞=0∫=∫P{X1 < uv, X2 ∈ dv} +∫∞FX1 (uv)fX2 (v)dv +−∞0−∞00P{X1 > uv, X2 ∈ dv}(1 − FX1 (uv))fX2 (v)dv.Äèôôåðåíöèðóÿ ïî u, ïîëó÷àåì∫fZ (u) =∞∫vfX1 (uv)fX2 (v)dv −0∫∞=2.1.−∞0−∞vfX1 (uv)fX2 (v)dv|v|fX1 (uv)fX2 (v)dv.Íàéòè òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ(X + Y, X − Y ), (max(X, Y ), min(X, Y )). Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y , X − Y ,max(X, Y ), min(X, Y ), XY , Y /X .-102X\Y-20 0,5 0,110,1 0030,3 00Íàéòè òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ(X + Y, X − Y ), (max(X, Y ), min(X, Y )).

Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y , X − Y ,max(X, Y ), min(X, Y ), XY , Y /X .X\Y-2123500,1 0,1 0,1 0,1 0,110,1 0,1 0,1 0,1 0,1Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , X3 íåçàâèñèìû, ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0 è 1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íàéòè òàáëèöûðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 + X2 + X3 , X1 + X2 − X3 ,2X1 − X2 − X3 , max{X1 , X2 , X3 }, min{X1 , X2 , X3 }.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû, ïðèíèìàþòçíà÷åíèÿ -1, 0 è 1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íàéòè òàáëèöûðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 + X2 , X1 − X2 , 2X1 − X2 ,max{X1 , X2 }, X1 X22 .2.2.2.3.2.4.52.5.

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîåðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f . Íàéòè ïëîòíîñòè√ðàñïðåäåëåíèÿñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + 1, 2 − 3X , X 3 , |X|,√4 + X 2.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîåðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f . Íàéòè ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí eX , 1/X , X 2 , ln |X|.Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α.Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåíà îòðåçêå [0, 1].Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.

Âûðàçèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàçèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èõ ðàçíîñòè ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàçèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X13 X23 ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþòðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 2].

Íàéòè ïëîòíîñòüðàïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X1 − X2 )−1 .Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì 1. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X1 /X2 .Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû è èìåþòîäíî è òî æå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíî-2.6.2.7.2.8.2.9.2.10.2.11.2.12.2.13*.2.14*.2.15.6ñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f . Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí max(X1 , . . . , Xn ) è min(X1 , . .

. , Xn ).Ÿ3. Ìîìåíòû, êîâàðèàöèÿ, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèÅñëè äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ⃗t1 ,⃗t2 , . . ., òî åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòî âåêòîð∑⃗ = ⃗tj }.⃗ =⃗tj P{XEXjÅñëè ðÿä∑⃗ = ⃗tj }|⃗tj |P{Xjðàñõîäèòñÿ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò. Çäåñü ÷åðåç | · | îáîçíà÷åíà åâêëèäîâà íîðìà âåêòîðà.Åñëè ⃗g : Rn → Rm âåêòîð-ôóíêöèÿ, m ≥ 1, òî∑⃗ =⃗ = ⃗tj }.E⃗g (X)⃗g (⃗tj )P{Xj àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåîïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé∫⃗ =⃗tf ⃗ ( ⃗t )d⃗t.EXXRnÌàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò, åñëè∫| ⃗t |fX⃗ ( ⃗t )d⃗tRnðàñõîäèòñÿ.Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà∫⃗ =E⃗g (X)⃗g ( ⃗t )fX⃗ ( ⃗t )d⃗t.Rn7Åñëè êîìïîíåíòû âåêòîðà ⃗g çàïèñàòü â âèäå ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äàþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé ìàòðèöû.⃗ íàçûâàÌàòðèöåé êîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîð-ñòîëáöà Xåòñÿ ìàòðèöà⃗ = E(X⃗ − EX)(⃗ X⃗ − EX)⃗ T.C(X)⃗ ñèììåòðè÷íà è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà.Ìàòðèöà C(X)Åå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû äèñïåðñèè êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, à âíåäèàãîíàëüíûå êîâàðèàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõïàð êîìïîíåíò.Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì (ñòàíäàðòíûì) îòêëîíåíèåì êîìïîíåíòû íàçûâàåòñÿ êîðåíü èç åå äèñïåðñèè.

Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äâóõ êîìïîíåíò ýòî èõ êîâàðèàöèÿ, äåëåííàÿ íà ïðîèçâåäåíèå ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèé.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y .X\Y-102-20 0,5 0,110,1 000,3 003Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y è 2X − 3Y − 2.X\Y-212300,2 00 0,210,1 0,2 0,2 0,1Íàóäà÷ó âûáèðàþò öèôðó îò 0 äî 9.

Íàéòè êîýôôèöèåíòêîððåëÿöèè èíäèêàòîðîâ ñîáûòèé ¾öèôðà äåëèòñÿ áåç îñòàòêàíà 3¿ è ¾öèôðà äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà 5¿.Èç 20 ñòóäåíòîâ 5 íàïèñàëè íà ¾îòëè÷íî¿ ïåðâóþ êîíòðîëüíóþ, 4 âòîðóþ êîíòðîëüíóþ, è 3 îáå êîíòðîëüíûå.3.1.3.2.3.3.3.4.8Äëÿ âûáðàííîãî íàóäà÷ó ñòóäåíòà íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè èíäèêàòîðîâ ñîáûòèé ¾ïåðâàÿ êîíòðîëüíàÿ íàïèñàíà íàîòëè÷íóþ îöåíêó¿ è ¾âòîðàÿ êîíòðîëüíàÿ íàïèñàíà íà îòëè÷íóþ îöåíêó¿.Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (t1 , t2 ) äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X1 , X2 ) ðàâíà 21 t1 t2 â òðåóãîëüíèêå {0 ≤ t1 ≤ 1,0 ≤ t2 ≤ 4t1 }, è íóëþ âíå ýòîãî òðåóãîëüíèêà.

Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà.Íàéòè èõ êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ïóñòü (X, Y ) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè êîîðäèíàò òî÷êè.Íàéòè èõ êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y èìåþò äèñïåðñèè σ2X , σ2Yè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ. Íàéòè òàêóþ êîíñòàíòó c, ÷òîáûX è Y − cX áûëè íåêîððåëèðîâàííûìè.Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí2X è X , åñëè X èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.3.5.3.6.3.7.3.8*.Ÿ4. Ìàòðèöà êîâàðèàöèé.

Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå⃗ èìååò ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîåÏóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð Xíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü åãî ìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà)(11⃗ T ⃗⃗fX⃗ (t) =exp − t t ,2(2π)n/2ãäå ⃗t = (t1 , . . . , tn )T , è ⃗t T ⃗t = t21 + . . . + t2n .⃗ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîð-ñòîëáåö X⃗Ïóñòü âåêòîð-ñòîëáåö Yëèíåéíûì îáðàçîì:⃗ = ⃗a + B X,⃗Yãäå ⃗a íåñëó÷àéíûé âåêòîð-ñòîëáåö, B íåíóëåâàÿ êâàäðàòíàÿ⃗ èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîåìàòðèöà. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî Yðàñïðåäåëåíèå.9⃗ èìååò âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèÍîðìàëüíûé âåêòîð Y⃗ = ⃗a è êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó C = C(Y⃗ ) = BB T .äàíèÿ EY⃗Ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî âåêòîðà Y ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé.