1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (Ждан, Рябченко, Тешуков - Лекции по гидродинамике)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИ ТЕТМеханико-математический факультетС. А. Ждан, В. П. Рябченко, В. М. ТешуковЛекции по гидродинамикеУчебное пособиеНОВОСИБИРСК2002ББК В253УДК 532Ждан С. А., Рябченко В. П., Тешуков В. М. Лекциипо гидродинамике: Учеб, пособие / Новосиб. гос. ун-т.Новосибирск, 2002.

86 с.ISBN 5-94356-097-1Учебное пособие соответствует программе полугодового курса«Механика сплошной среды (жидкости и газы)» , читаемогостудентам 3-го курса механико-математического факультета НГУ вкачестве основного курса лекций на кафедре гидродинамики. Оносодержит основной теоретический материал по гидродинамикенесжимаемой жидкости.

Большая част* курса лекций апробированаи давно используется в учебном процессе. При подготовке лекцийиспользовался материал из известных, но малодоступных длястудентов учебников, список которых приведен в конце пособия.Учебное пособие состоит из трех глав, объединяющих 14параграфов. В главе 1 сформулированы уравнения движениянесжимаемой идеальной и вязкой жидкости. В главе 2 подробнопроанализированы вихревые и потенциальные течения идеальнойжидкости.

Третья глава посвящена механике вязкой жидкости.Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантовмеханико-математического факультета, преподавателей курсовмеханики сплошных сред.Рецензентд-р физ.-мат. наук Е. И. Роменский© Новосибирский государственныйуниверситет, 2002ISBN 5-94356-097-1 © С. А. Ждан, В. П. Рябченко, В. М. Тешуков, 2002ВВЕДЕНИЕПредметом изучения в механике сплошных сред (МСС)являются физические тела, обладающие свойствами сплошности ивнутренней подвижности. Физическое тело - это совокупностьочень большого числа молекул, атомов и силовых полей.

В МССизучается поведение физических тел в целом в макроскопическоммасштабе, большем по сравнению с расстояниями междумолекулами. Физические величины, например массу и количестводвижения, будем считать равномерно распределенными и плавноменяющимися внутри тела. Поэтому тело можно приближеннорассматривать как среду, заполняющую часть пространствасплошным образом. В этом заключается гипотеза сплошности.Кроме того, рассматриваемые в МСС физические тела обладаютсвойством внутренней подвижности (деформируемости), т. е.отдельные части тела могут перемещаться друт относительно другапри неизменной внешней форме тела.

Таким образом, сплошноедеформируемое физическое тело и есть сплошная среда.Примеры сплошных сред - вода, воздух, масло, дерево, глина,железо, гранит, песок и т. д.Схематично сплошные среды можно разделить на жидкости,газы и деформируемые твердые тела.

В этом курсе будутизучаться жидкости и газы.Проблематика механики жидкостей и газов связана с рядомприложений. Это проблемы:1) силового и энергетического взаимодействия жидкостей игазов с движущимися в них телами; решение этой проблемыстимулируется техническими задачами (движение самолетов, ракет,кораблей; создание двигателей (винт));2) протекания жидкостей и газов по трубам и каналам(движение внутри двигателей и гидротурбин) и фильтрациижидкости через пористую среду;3) волновых и вибрационных явлений в жидкостях и газах;4) прогноза погоды, циркуляции атмосферы и океана;35) турбулентных потоков - быстро и беспорядочнопульсирующих движений жидкостей и газов;6) поведения сильно сжатых и очень разреженных газов(взрывные явления, космическая газодинамика);7) движения ионизированных газов (плазмы);8) поведения веществ в условиях химических превращений(детонация, горение);9) биомеханики (движение крови, живых организмов).Как естественная наука,МССподразделяетсянаэкспериментальную и теоретическую.

Здесь будут изучатьсятеоретические вопросы, но мы будем обращаться и к результатамэксперимента и натурных наблюдений.Метод теоретической МСС связан с построением на основеобщихфизическихзаконовисистематизированныхэкспериментальныхданныхматематическоймодели.описывающей поведение того или иного класса сплошных сред.Математическая модель формулируется, как правило, в видесистемы соотношений (уравнений и неравенств), связывающихвеличины, характеризующие различные свойства сплошных сред. Вэту систему могут входить дифференциальные уравнения,дополненные начальными и граничными условиями. Обычнорассматриваютсямодели,удовлетворяющиетребованиюкорректности - условию существования, единственности иустойчивости решений. Для оценки качества математическоймодели используется также критерий практики.К основным физическим величинам, характеризующимпроцессы в жидкостях и газах, относятся скорость, давление,напряжения, плотность, температура.

Жидкости и газы - легкоподвижные физические тела, не остающиеся в равновесии даже придействии на них сколь угодно малых сил. Поэтому внутренниенапряжения в них зависят не от величины деформации, а отскорости, с которой она происходит.4Глава 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙЖИДКОСТИГидродинамика изучает движения жидкостей, возникающиепри их взаимодействии с другими телами или при действии тех илииных сил. Выделить жидкости в отдельный класс сплошных средпозволяют следующие характерные свойства: 1) сплошность (т.

е.непрерывность распределения массы и физико-химическиххарактеристик среды); 2) текучесть, или легкая подвижность. Вотличие от твердого тела, в котором напряжения вызываютсядеформациями, напряжения в жидком объеме определяютсяскоростью деформации.В жидком состоянии вещество сохраняет свой объем, нопринимает форму сосуда, в котором оно находится.

Междумолекулами жидкости действуют силы притяжения, при этомрасстояния между молекулами меньше радиуса действиямолекулярных сил. Если вокруг какой-либо молекулы описатьсферу молекулярного действия, то внутри этой сферы окажутсяцентры многих других молекул, взаимодействующих с данноймолекулой. Силы взаимодействия удерживают молекулу около еевременного положения равновесия в течение ~ 10'i2- 10'10 с.Молекулы совершают колебательное движение около положенияравновесия, постепенно с течением времени переходя в новыеположения равновесия.

Поэтому жидкость обладает текучестью.Далее будут рассматриваться две основные модели жидкойсреды: модель идеальной жидкости (без внутреннего трения) имодель вязкой несжимаемой жидкости (с напряжением трения,пропорциональным скорости деформации). Движения многихжидкостей в широком диапазоне параметров описываются этимимоделями.§ 1.

Интегральные законы сохранения массы, импульсаи момента импульса для жидкого и фиксированного объемаВведем понятие плотности среды5р = lim М/ш.СО-+0Считается, что такой предел всюду существует. Здесь М - масса,заключенная в объеме co(t)c R3; М = j pdco. Жидкость, занимавшая<')при t = 0 объем о)с. перемещается за время t в объем cot. Пустьперемещение задает гомеоморфизм области со0 на со,, т.

е. в каждойточке х0 е со0 определено отображение х,(х0). Это позволяетиндивидуализировать точки сплошной среды. Жидкой частицейназывается точка х = x(x0,t)eR3, получаемая в результате движенияфиксированной точки х0 6 со0- Каждая частица при изменениивремени t описывает в R3 линию, называемую траекторией этойчастицы.Жидкий объем. Жидким, (или движущимся) объемомназывается объем со,, состоящий при каждом t из одних и тех жежидких частиц.Существует два способа описания движения сплошной среды:а) эйлеров, когда характеристика cp(x,t) определяется в точке xeR 3;б) лагранжев, когда та же величина Ф(х0Д) определяется в каждойчастице. Функции Ф и ср, очевидно, связаны Ф(х0Д) = cp(x(x0,t),t).Дифференцируя по t левую и правую часть, получаем<ЭФ(х<П)/31 = 5cp(x,t)/c?t + v *9cp(x,t) /дх, v = 9x(x0,t)/5t.Координаты (x0,t) называются лагранжевыми, a (x,t) - эйлеровыми.Если скорость V(x0,t) известна в лагранжевых координатах, тоопределение траектории сводится к квадратурам: х = Хо + |У(х(),т)с1т.Если же v = v(x,t), то определение траекторий сводится к решениюзадачи Кошиdx/dt = v(x,t), х(0) = х0.Якобиан J = det(dx/(5x0) характеризует относительное изменениевеличины объема.

Имеет место формула ЭйлераdJ/dt = J div v.(1.1)В дальнейшем будем иметь дело со следующими характеристикамиобъема со:К(со) = | pvdco, Н(со) =o il)J p(xxv)dco,o il)Е(со) =J У2р | v 12dco.cdi)6Здесь К(со) - импульс; Н(со) - момент количества движения; Е(со) кинетическая энергия.Силы, действующие на жидкий объем. Если на каждуючастицу жидкости действует внешняя массовая сила (например,сила тяжести) f, то на объем со (имеем дело с произвольнымобъемом, занятым жидкостью) действует внешняя силаF j(o)) = f pfdco.a it)Кроме того, на выделенный объем со действуют внутренние(поверхностные) силы со стороны остальной жидкости.