1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 9

На этом пути большое внимание уделяется так назы­ваемому механическому смыслу задач. Иными словами, мы не про­сто решаем некоторые уравнения, а решаем конкретные задачи.Здесь мы можем знать кое-что о решении из эксперимента, общегоопыта и, наконец, можем опираться на здравый смысл.60Модель упругого тела является классической и исследованавесьма полно. Хотя указанные выше проблемы относятся и к ней,ПК как в выборе даже упругих уравнений есть произвол (например,учитывать или пренебречь термоупругими напряжениями, в какоймерс учитывать эффекты нелинейности и др.). Но в большей мерепо относится к моделям пластичности, горных пород и других бонсе сложных сред. Здесь, как правило, общепризнанных моделейпег, и указанные выше вопросы имеют гораздо большую остроту.Надо сказать, что выбор между указанными точками зрения имеп вполне конкретное значение в связи с ограниченностью интел­лектуальных ресурсов.

Автор, безусловно, придерживается второйгички зрения. Достаточно подробно она обосновывается в [Д2].§ 3.5. Уравнения Ламе и Бельтрами — МитчеллаИтак, упругая модель (12)— (14) содержит 15 уравнений относиIсльно 15 неизвестных. Не все эти уравнения, если можно так выранпься, равноценны между собой. Некоторые уравнения фактическипредставляют собой определения дополнительных неизвестных.Рассмотрим две формы записи системы, свободные от уравне­ний— определений. В первой форме фигурируют только смеще­ния, во второй — только напряжения.I. Уравнения Ламе.

Запишем закон Гука как связь напряженийи перемещений:(бибиди, ои-, ди.сг. = Яδ ..+ μ — *- + —дх. <Эх, дхз<Эх. дх.\11ослс подстановки в уравнения равновесия и приведения подобныхч ненов получим следующую систему:(Я + μ ) ^ - + μΑ υχ + Г, = О,СХ,(Я + μ')---- + μΑΐί2 + Рг =0,бх2Яг(Я + μ ) — + μΑυ3+Ρ} =0,бх,_ ди. ди7 ди,ε = άίΛΜ - — 11 + —-.ох, дх2 бх,61( 15)Уравнения называются уравнениями Ламе, или уравнениямиравновесия в перемещениях. Если, как обычно, первое уравнениеумножить на <?,, второе на ё2, третье на ё3 и сложить, то получим(Л + μ)&Άάάίνΰ + μΔΓι + Г = 0 .(16)В динамике, когда учитываются инерционные члены, имеем_02 —(Л + μ)&Ά<Μΐνΰ + μΔ ΰ + Р = р ——.(17)дгПолученный результат производит большое впечатление.

В этойкороткой строчке в свернутом виде содержатся решения всех —именно всех! — задач теории упругости, динамических и статиче­ских. Заключенная здесь информация может разворачиваться доцелых библиотек и все это — повторим — содержится только в од­ной короткой строке ( 17).В настоящей книге мы сделаем только первые шаги по разверты­ванию строки (17). Вначале остановимся на статическом случае (16).Уравнение (16) линейно и неоднородно.

Для перехода к одно­родной системе достаточно найти одно частное решение неодно­родной системы. В большинстве задач упругости объемные силыдостаточно просты. Это, как правило, либо сила тяжести, либо цен­тробежные силы. Для них частное решение подбирается без про­блем. Поэтому ниже можно предположить, что объемная сила от­сутствует, т. е.е ; = о, Р2 =0, Ръ = 0, ^ = 6 .Продифференцируем первое уравнение (15) по дг,, второе по дс2,третье по х3.

Сложим их. В результате получим, что (Л + 2μ )Δ ε = 0 .Так как Л + 2μ * 0 , то, значит,Δ ε - Δ(ίΛνπ) = Δ^ ди.ди,' + —ν сЬс,Из закона Гука следует, что иАсг = Δ — -+ди,- +дх23^ = 0 .ох3 У.?зз_= оВзяв лапласиан от каждого из равенств (15), придем к заключе­нию, чтоΔΔ μ, = 0, ΔΔ μ2 = 0, ΔΔ μ3 = 0.(18)62Таким образом, изменение объема и гидростатическое сжатиенвияются функциями гармоническими, а компоненты вектора пере­мещений — бигармоническими функциями.Далее, в системе (15) фигурируют обе упругие постоянные. Од­нако, если объемные силы равны нулю, то равенства можно подениIь на μ , и мы придем к системе, где фигурирует только одна,| н· (размерная упругая постоянная — коэффициент Пуассона:1 δε+ Ли, = О,1- 2ν сЬс,1 δε+ Ли2 ■ О,1 - 2 ν дх2(19)1 δε4- Ли3 —0.1- 2ν дхъНычисление коэффициента трудностей не составило:νЕ_Еλ +μ _ \1+ ν ί - 2 ν ’ ^2(ΐ + ν ) ’μ\-2 νФорма записи (19) удобна для понимания того, что будет, еслиупругое тело стремится к несжимаемому.

В этом случае ε —>0, нои г >1/2. Поэтому первый член из уравнений не исчезает. Оннжжен быть заменен на градиент давления Р.2. Уравнение Бельтрами— Митчелла. Вначале сделаем некои'рыс формальные выкладки и затем рассмотрим смысл результата.11пмробуем от уравнений Ламе снова перейти к напряжениям.

Но нек уравнениям равновесия, из которых, собственно, и получилисьуравнения (19), а другим путем: продифференцируем первое уравIII НИС ПО X,1 6‘ε. ди,(20)----------- Т + А — 1- - 0 .1—2у дх{дх{Переменную ε заменим через σ на основании закона Гука.11римсним к равенствуз~ ди]σ„ = λ ε + 2 μ —±бх,оператор Лапласа Δ и учтем, что Л£ = 0 .63ПолучимΛ·, Λ & ιΔσπ=2μΔ-—Сαχ,Подставляя правую часть в (20), получим уравнение3 δ 2σΔσ,, +01+ ν δχ2=.(21 )Дальше продифференцируем первое уравнение по х2, второе —по х. и сложим их:д2еди. ди. Л+ Δ — !- + ; = 0 .( 22)1 •2ν дх]дх2йх,дх.г21' Л 1 /Как и прежде, ε заменим на σ . Применим к равенствуσ \2 ~ μди]ох,διι2дх.1уоператор Лапласа. Результаты подставим в (22). Получимδ~σ(23)Δσ., += 0.1+ ν <Эх,<Зх2Еще четыре уравнения получаются круговой перестановкой ин­дексов 1 —>2 —>3 —>1.Уравнения (21), (23) можно кратко записать таким образом:Δσ..

-I—^ - =0" I + у δχβχΊ"(24)Данные уравнения называются уравнениями Бельтрами —Митчелла. В чем состоит их механический смысл? Данные уравне­ния имеют смысл тождеств Сен-Венана, выраженных через напряже­ния. Имеется в виду следующее. В тождествах Сен-Венана фигури­руют только деформации. Их шесть, и тождеств также шесть. Неза­висимыми из них будут только три. Это мы установили выше. Даль­ше. Закон Гука выражает шесть компонент тензора деформации че­рез шесть компонент тензора напряжений.

Соотношения довольнопростые, линейные. Поэтому практически все равно работать снапряжениями или деформациями. Следовательно, тождества СенВенана можно записать через напряжения. При этом соотношенияможно упростить, воспользовавшись уравнениями равновесия.64Именно такой записи и соответствуют шесть уравнений Бельфлми— Митчелла. Отсюда сразу следует, что независимыми изних будут только три уравнения. При построении решений удобнопринимать во внимание все шесть уравнений.Таким образом, замкнутая модель упругости в напряжениях сок'ржит три уравнения равновесия и шесть уравненийI·< н.трами — Митчелла.Указанным выше формам записи уравнений отвечают две ос­новные постановки упругих задач.

Первая — постановка задачии перемещениях, когда за основу берутся уравнения Ламе, и втораяпостановка в напряжениях, когда за основу берутся уравненияБепьГрами — Митчелла, дополненные уравнениями равновесия.§ 3.6. Постановка основных начально-краевых задачИз курса уравнений математической физики известно, что во­прос о постановке начальных и краевых условий является далекоιιιί риниальным. Для эллиптических уравнений корректными будуто иIII задачи, для уравнений гиперболического типа — другие, дляпзрлболических уравнений — третьи. Рассмотрим данный вопросι ιιί уравнений теории упругости. Вначале мы будем руководствои.11ься только механическим смыслом упругих задач.

Действительп о если у нас есть упругое тело, то какими возможностями мы рас......чтобы его продеформировать? Например, мы можем по­ножи и. его между плитами пресса и задать на них перемещения,например, сжать тело. Можно представить себе устройства, кото­рые будут задавать перемещения любых точек тела, доступных нам,| с ючек на границах тела (рис. 3.3) и т.

д.65С напряжениями все не так очевидно. Например, пусть частьграниц тела представляет собой площадку х3 = 0 (рис. 3.4). Все точ­ки этой площадки для внешних воздействий вполне доступны. Наданной площадке мы можем приложить любые нормальные и каса­тельные усилия. Это значит, что из шести компонент напряженийна данной площадке могут быть заданы только три компоненты,причем не любые из шести, а только вполне определенные три ком­поненты, именно:Рис. 3.4Представить себе реальный способ и устройство, которое моглобы задать на границе х,= 0 компоненту напряжения σ,, ( χ ,,χ ,) ,практически невозможно. Посчитаем это достаточным основаниемдля того, чтобы подобные краевые задачи из рассмотрения исклю­чить.

Поэтому ограничимся только задачами типа (25).Приведенные рассуждения являются типичными для прикладнойматематики и механики. И в этом состоит сильная сторона этихнаук, позволяющая продвинуться к достижению реальных целей За *реальное, приемлемое время.Рассмотрим вначале статические задачи.Статические задачи.1. Постановки краевых задач. В статических задачах время нефигурирует, поэтому необходимо рассмотреть только краевыеусловия. Пусть V — упругое тело, 5 — его граница, п — внешняянормаль к границе (см. рис. 3.3).1) Пусть на всей замкнутой поверхности 5 заданы вектор напря­женияσ„\5 =σ°η(Α).(26)Задача (26) называется первой основной краевой задачей тео­рии упругости. На основании формулы Коши σ η - а1]п]ё1 краевыеусловия (26) можно записать в следующем развернутом виде:σ,,/ί, +σ ΐ3η3 —^п\ *2^1 Т^*23^3^"«2’(^7)+ сг2,и2 + σ„η 3 = σ '*1,.Правые части заданы как функции точек поверхности 5.

Нетри­виальным является то обстоятельство, что на границе задаются ли­нейные комбинации только типа (27) и никакие другие.Из механического смысла задачи следует, что краевые условиядолжны быть такими, чтобы результирующая сила и момент, дейа нующие на тело, равнялись нулю.2) Вторая основная краевая задача состоит в том, что на всейымкнутой поверхности 5 задается вектор смещений м , илии{ —и'(А ), щ = м ”(Л), щ = и "(А ).(28)3) Смешанная задача: на части поверхности 5п заданы условияна смещения (28), на другой части поверхности 5а — напряжения,Л'п и= 5 .

Последнее равенство означает, что часть поверхностей,па которых ничего не задано, — отсутствуют. Стоит отметить, чтослучай свободной поверхности («ничего не задано») соответствуетусловию (27) при^ , = 0 , σ"2=0, σ"3=0,I. е. здесь заданы нулевые граничные напряжения.4) Кроме основных задач представляют интерес и многие другиезадачи теории упругости.