1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 8

В противном случае тело называют изотропным. Ясно,что свойства однородности -—- неоднородности и изотропии — ани­зотропии независимы друг от друга. Поэтому по данным признакамвозможно четыре различных типа тел: 1) неоднородные и анизо­тропные, 2) неоднородные изотропные, 3) однородные анизотроп­ные и 4) однородные изотропные.

Ниже мы ограничимся изучением52основного случая, когда тело является однородным и изотропным.В § 4.3 будут рассмотрены анизотропные тела.Итак, предположим, что тело является однородным и изотроп­ным. Возьмем образец материала в форме стержня квадратного по­перечного сечения (рис. 3.2). Приложим к основаниям стержнянапряжения σ ,. Боковую поверхность оставим свободной отнапряжений. При <т, > 0 будем иметь растяжение, при σ ,< 0 —сжатие. Есть две возможности. Первая: материал по-разному реаги­рует на растяжение и сжатие.

Такие материалы называются анор­мальными, или разномодульными. К ним относятся горные поро­ды, некоторые конструкционные материалы и т. д. Вторая возмож­ность — материал одинаково реагирует на растяжение и сжатие.Такие материалы называются нормальными. К ним относятсябольшинство конструкционных материалов: металлы и др. Нижемы ограничимся наиболее простым и важным вторым случаем, аименно случаем нормальных материалов. Анормальные материалыявляются предметом исследования специальных разделов механикидеформируемого твердого тела.Приложение растягивающего или сжимающего усилия, соответ­ствующего напряжению сг, ,· вызовет растяжение или сжатие стерж­ня вдоль оси Ох,.

Эксперименты показывают, что при не слишкомбольших напряжениях реакция материала будет линейной, т. е.σ, = Ее, ,где Е — постоянная материала, называемая модулем Юнга, илимодулем упругости. Растяжение (сжатие) стержня вызывает его53сужение (расширение) в поперечном направлении. Поскольку мате­риал изотропен, то и сужение (расширение) поперечного сечениябудет одинаковым в разных направлениях.

Например, квадратноепоперечное сечение перейдет в квадратное сечение. Опыты показы­вают, что в достаточно широком диапазоне поперечная деформациязависит от продольной линейно:£ 2 = - У £ 1, £ 3 = - Щ,где ν — постоянная материала, называемая коэффициентом Пуас­сона. Таким образом, приложенное напряжение σ, вызывает сле­дующие деформации1ν(4 )£\ —“Д σ ρ ε2 = ~ Τ σ οЕьЕВозьмем теперь образец материала в форме куба и приложимк нему последовательно напряжения σ,, σ 2, σ }. Напряжение σ, вы­зовет деформации.

Напряжение σ 2, если бы оно прикладывалосьпри ег, = 0, <т, = 0 , вызовет деформации1ε' =~ Ί σ"Аналогично для σ.£1 ~ν~ЁΓ σ 2’Е( 5)ν1( 6)£ СТз’ £ з ~ ЕПри малых деформациях можно принять (и эксперименты это под­тверждают), что результаты (5), (6) не меняются, если напряжениеσ 2 прикладывается на фоне уже действующего напряжения σ 2,а напряжение σ, прикладывается на фоне действующих напряже­ний σ ρ <т,. Складывая правые части (4) — (6), получим1ε χ = —[σ, - у ( ст2 + σ 3)]Еε ι = ^ Ι σ 2 - ν ( σ , + σ ,)]Ε6:3 = - ί [ σ } - ν ( σ , + σ 2)]Ε54Λ?-,»?,( 7)Полученные соотношения представляют собой закон Гука, запи­санный в главных осях. Исходный элемент среды — куб — мынагружали только нормальными напряжениями.

Следовательно,изначально ребра куба мы ориентировали вдоль главных направле­ний тензора напряжений. Это наш выбор.В качестве результата мы показали, что куб переходит в паралле­лепипед, причем в прямоугольный параллелепипед. Это следствиеизотропии материала. Поэтому главные направления ег,, σ ,, σ, яв­ляются и главными направлениями тензора деформации ε ι, ε 2, ε }.В таких случаях говорят, что тензоры напряжений и деформацийявляются соосными.Далее следует отметить, чтоμσ2σ2 - (сг, + <х3) _ 1ε2 - (£·, + ε 3)или μ σ = μ ι:. По-другому об этом равенстве говорят так: ТЕНЗОРЫнапряжений и деформаций ПОДОБНЫ между собой.Перейдем теперь от главных к произвольным осям.

Пусть п,тпроизвольные единичные и ортогональные между собой векторы.В главных осях они имеют компоненты п1,т! :η - пхёх + п2ё2 + п3ё3,т —т1ё[ + т2ё2 + т3ё3,п] + п2 + η] = 1,пт = /7,т, + п2т2 + п3т3 = 0.11лпомним формулу Коши:σ η = σ ·η = <т,/7,^, + а 2п2ё2 + а 3п3ё3.Огсюдаσ„„ = σ„ η = σ χη; + σ 2η; + σ ,η;,σ„,„ = σ ηϊη=+ а 2п2т2 + σ 3η3τη3.Аналогично для деформаций- ε μ ; + ε 2η; + ε 3η\,ε ηη - ε ίηιιη] + ε2η2ηι2 + ε 3η3ηι3.55Умножим равенства (7) на и2, п2, п] и сложим их.

В результатеполучимε пп = —\σ)1.-. · пп —ν ν('-σ'Ι . + σ , + σ3, —σ л я /-1ь7Сумма главных напряжений есть инвариант. Поэтомуег, + σ 2+ σ } - σ ηη —σ,, + σ 22+ σ 33:·Направим вектор η вдоль оси Οχ,. Теперь вместо σ ηη, ε ηη можнозаписать σ,,, ε ι, и получить следующее равенство£ПΙσ η - ν ( σ 22 + σ 33)].ΕАналогичные равенства будут для ε 22, ε 33. Умножим теперь первоеравенство (7) на н ,т ,, второе на п2т2, третье на п3т3 и сложим их.В результате получим_ 1+ νσ.„£"т~ ~ ЁЕсли вектор п направить вдоль оси Ох,, а вектор т вдоль оси Ох,,то последнее равенство приобретет вид\ +ν-σ,Аналогично получаются равенства и для ε ί3, ε 23. Таким образом,в произвольных осях£и = “ [σ π - ν ( σ 22 + σ 33)],ь£п = |:[ ο · 22- ν ( σ ι, + σ 33)],( 8)£эз = ~ [ σ 33 - Κ σ „ + σ 22)],Ε1~’ ε ΐ311_ σ,3, ε 23 — (τ23, μ —■2μ2μ2μ2(1 + и)Упругая постоянная μ называется модулем сдвига.

Смысл мо­дуля определяется равенствами(Т,2 —2 μ ει2 —μ γ у 12 = 2ε12.Ιεσ 1,24 '1 Э г ь\ ό'56~ 4Э^4Э '·Ъ/ л\( ледовательно, μ — это отношение касательного напряженияк величине сдвига. Равенства (8) выражают собой закон Гука впроизвольных осях.Рассмотрим одно следствие из закона Гука. Сложим первые триравенства (8).

Получимε -(9)Iдс(Тц -Ь СТ·,·>“Н^"зз* = *ι, + ε 22 + ε }3, σ = ------- у ------- ,ι: — относительное изменение объема; σ — гидростатическое сжатие.Условие (9) принято записывать в следующей формеσ =Κ ε .Упругая постоянная К называется модулем объемного сжатия.Из закона сохранения энергии, а точнее из предположения о том,ч го внутри тела отсутствуют источники энергии, следуют условияЕ > 0,1- 2ν > 0,ν < —.2Крайнее значение 1/ = 1/2 означает несжимаемость тела. Длябольшинства материалов коэффициент Пуассона положителен(ν > 0 ) . Однако есть материалы, для которых значение ν < 0 .Разрешим соотношения (8) относительно напряжений=-^[σ·„ - ν ( σ η + σ 22 + σ 33) + ν σ η].Ε11одставим сюда σ через ε из условия (9).

Получимσ„ = λ ε + 2 μ ε η ,гдеλ = —------ — .1+ ν 1—2νОбщий результат следующий:σ ϋ = λβδν + 2 μ εν ,(Ю)где δη — символ Кронекера; λ и μ называются упругими постоннными Ламе.57§ 3 .3 . З а к о н т е р м о у п р у г о с т и Д ю а м е л я — Н е й м а н аБольшинство тел при нагревании расширяется, а при охлажде­нии сжимается, т. е. тела испытывают определенные деформации.Если данные деформации каким-то образом стесняются, то в телевозникают внутренние напряжения. Например, здание, в котороммы сейчас находимся, с южной стороны прогревается сильнее, чемс северной.

Неравномерный нагрев приводит к возникновению до­полнительных внутренних напряжений.Возьмем некоторый объем тела, например, в форме куба, и бу­дем его равномерно нагревать. Предположим, что тело по отноше­нию к термическим деформациям является изотропным. Поэтомупри нагревании куб свои размеры меняет, но остается по-прежнемукубом. Опыты показывают, что в достаточно широком диапазонетемператур реакция тела будет линейной по отношению к прира­щению температуры АТ. При совместном действии напряжений иизменения температуры общие деформации тела будут равныε η = τ ί σ η - ν (σ 22+ση )] + «ΔΓ,™\σ 22 ■ν(ση + σ 33)] + αΔ7\'22 = —г, IйЕ\_[сг33 - ν ( σ η + σ 22)] + αΑΤ,Е11(И)_ 23_2μ2μ2μСоотношения(11)выражаютсобойзаконДюамеля —- Неймана. Коэффициент а называется коэффициен­том теплового расширения.

Как правило, значения а положитель­ные (а >0). Тем не менее для некоторых материалов в определен­ных температурных диапазонах значение а < 0. Есть материалы,для которых практически а ~ 0 .Появление в уравнениях (11) новой неизвестной АТ означает, чтодля получения замкнутой модели необходимо привлечь новое урав­нение. Обычно в качестве такого уравнения берется классическое58уравнение теплопроводности. Изучение подобных задач являетсяпредметом специальных разделов теории упругости.

Этот материалвыходит за рамки данного курса. Его можно найти в [ДЗ].§ 3.4. Замкнутая математическая модель упругого телаПодведем итог наших построений. Поведение упругого тела опи• и Иветея следующими переменными: полем перемещений и1 (три пе­ременные), полем деформаций ε υ (шесть переменных) и полемнапряжений σ υ (шесть переменных), всего 15 вещественных функций.11одсчитаем уравнения: во-первых, это три уравнения равновесияд а и | д а ]2 ( д а п■ + Е = 0,дх,дх2дх}да,, да ,,■+ дх2дх]да,.+ е ; = о,дхъда ,,дх.да,+ К = 0.дх.δσ^дх,( 12)Во-вторых — это шесть связей компонент деформаций с пере­мещениями1 ди(£у2ди](13)κеx^ + дх>)11, наконец, шесть уравнений, конкретизирующих упругий мате­р и т (закон Гука):σν - λβδν + 2μ ε .., ε♦=ε η + ε ,2 + ε 33.(14)11γογο 15 уравнений.

Система замкнута. О данной системе можнотворить как о математической модели упругого тела.Как отмечалось, в любой замкнутой математической модели фиI урируют уравнения, отражающие общие законы сохранения, т. е.иконы, которые имеют место всегда и везде, в том числе и в процесоах деформирования упругих тел. Возможны, конечно, и урав­нения, которые фактически имеют смысл определений. Так можнофвктовать связи (13) — как определение смысла переменных ε ϋ .59Наконец, последнюю группу уравнений называют определяющимиуравнениями (фактически это то же самое, что уравнения состоя­ния).

Данные уравнения конкретизируют ту или иную среду, кото­рую описывает математическая модель. Для упругого тела опреде­ляющие уравнения — это закон Гука. Вообще для математика упру­гие тела — это прежде всего замкнутая система уравнений.Как теперь работать с этой и другими подобными моделями?Здесь есть две основные точки зрения. Одна из них состоит в том,что коль скоро математическая модель сформулирована, то теперьвсе проблемы ее теоретического исследования — это проблемы ма­тематики.

Поэтому здесь надо действовать, строго следуя всем ка­нонам теоретической математики. Необходимо доказать теоремысуществования решений, рассмотреть вопросы единственности,корректности краевых задач. Любые построенные решения должныносить строгий характер и т. д.Другая точка зрения основана на следующих соображениях. Са­ми уравнения математической модели получены не каким-то дедук­тивным путем из некоторой системы аксиом, а получены на основеболее или менее правдоподобных рассуждений, т. е. они носятпринципиально приближенный характер. При их выводе использу­ется целый ряд упрощающих предположений, которые выполняют­ся только с определенной степенью точности.

Если говорить о кон­кретных прикладных решениях (когда результат — это конкретныечисла), то имеет значение и тот факт, что все параметры материаловизвестны только приближенно. Кроме того, теоретические краевыеусловия отражают реальные краевые условия также приближенно.Отсюда делается принципиальный вывод о том, что нет необхо­димости решать теоретические задачи с избыточной точностью —нет смысла стремиться к «абсолютной» строгости результатов.Например, тратить много времени на исследование существованиярешения. Если решение построено, оно правдоподобно и согласует­ся с известными и проверенными результатами, то этим можно иограничиться.