1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 7

Тождества Сен-Венана называют также условиями совместно­сти деформаций, или условиями сплошности, или условиями нераз­рывности деформаций.Их механический смысл сводится к следующему. Возьмем телодо деформации и мысленно разрежем его плоскостями, параллель­ными координатным плоскостям, на элементарные параллелепипе­ды. Зададим поля деформаций ехх(х,у, ζ),..., е:~(х,у, ζ).

Дадим каж­дому параллелепипеду деформации ехх( х \ у \ ζ0),.., соответствующиеего центру (х°, у0, ζ°). В результате каждый параллелепипед изменитдлину своих ребер и углы между ними. Можно ли будет из такихэлементов собрать тело так, чтобы внутри не было ни пустот, ниналожения объемов друг на друга?Ответ будет положительным: если поле удовлетворяет тожде­ствам Сен-Венана. Если же поле не удовлетворяет тождествам, то«собрать» сплошное тело не удастся.

Этот факт и подчеркиваетсяразличными названиями тождеств Сен-Венана.45§ 2.6. Инварианты и главные направлениятензора деформаций, главные деформацииВыше было показано, что и напряженное, и деформированноесостояния среды описываются математическими объектами, кото­рые имеют одну и ту же математическую природу, — а именносимметричными тензорами второго ранга. Поэтому любые выводы,которые опираются только на тензорный характер полей, автомати­чески переносятся с одних переменных на другие. Различными бу­дут только механические интерпретации фактов.Заменим в § 1.2, 1.3 символы σ ц на е,у. Полученные результатыможно теперь описать следующим образом.Пусть в некотором элементарном объеме тела задан тензор де­формаций ец, отнесенный к системе координат ОХ{Х 2Х } .

Выберемплощадку с нормалью п и направим ось ОХ\ декартовой системыО Х \Х \Х \ вдоль вектора п . Тогда оси ОХ[ , ОХ[ окажутся в плос­кости рассматриваемой площадки. Компонента деформации е'пимеет смысл относительного удлинения вдоль ОХ[ , а компоненты2е\г , 2е’п — сдвигов между волокнами вдоль соответствующихосей координат.

Направление ОХ\ , для которого е\2 = 0 , е’} = Оназовем главным направлением (главной осью) тензора деформа­ций, а значение е'и будем обозначать как е,= е, и называть главнойдеформацией. В общем случае у тензора деформаций существуеттри взаимно ортогональных главных направления и три главныедеформации ε,, ε 2, ε3. Их величины удовлетворяют характеристи­ческому уравнению с коэффициентами, которые представляют со­бой инварианты тензора деформаций4 ~~^11 ^22 ^33»е \\иI 2ее 12=—«Пе 22^13+^23+е \2е 22е \\β \2β 12β 22'2 3е \зв 23'3 3^13е ,зII46е 33е 23е ззЭлементарный прямоугольный параллелепипед, сориентирован­ный вдоль главных осей тензора деформаций, в результате дефор­мирования тела преобразуется следующим образом.

Во-первых, онпереносится на некоторый вектор как жесткое целое, затем повора­чивается вокруг некоторого направления на малый угол, затем де­формируется. Деформация сводится только к изменению длин егоребер. Углы же между ребрами не меняются. Проще говоря, парал­лелепипед остается прямоугольным.§ 2.7. Диаграмма Мора для деформаций, максимальныесдвиги, параметр вида деформированного состоянияЗаменим теперь символы от. нав § 1.4. Продолжим описаниерезультатов.

Вернемся к площадке с нормалью п и осью координатОХ\ , направленной вдоль п . Направление п — произвольно, но несовпадает с главным направлением тензора деформаций. Рассмот­рим значение сдвига γ[2 = 2е\г . Если вращать оси О Х ', ОХ\ вокругфиксированного вектора п , то значение е[2 будет меняться. Изформулы Коши σ η- σ ήи равенства σ ηπι =сгп т (вектор тнаправлен вдоль оси О Х'2) сразу следует, что найдется направлениеОХ'г такое, что значение 2е\г достигнет максимума. Данное значе­ние зависит только от направления п .

Поэтому его можно обозна­чить как γ η. Значение е'п обозначим как ε η. Пара (εη, у„/2) анало­гична паре (σ ηη, τ η) (см. рис. 1.8). Из диаграммы видно, что макси­мальные сдвиги равныГ,з = £\ ~ £Ъ1 Г23 = ε 2 —ε}, Г|2 —ε ι —ε2.Они реализуются на площадках, показанных на рис. 1.10— 1.12,если на рисунках буквы σ ,, σ 2, σ 3 заменить на ε ,, ε 2, ε 3. Введемпараметрвидадеформированногосостояния(параметрЛоде — Надаи для деформаций):II _ Г23- Г |2 _ 2ε2 —(^ + ε 3)В заключение укажем два важных термина. 1) Если главныенаправления двух тензоров совпадают между собой, то такие тен­зоры называются соосными.

2) Если тензоры напряжений и де­формаций таковы, что для них μ σ = μ _, то тензоры называютсяподобными.48Глава 3. УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИВсе уравнения, описывающие поведение различных сред, можноразбить на две группы. К первой группе относятся те уравнения,которые отражают общие законы сохранения, т. е.

законы, которыевыполняются всегда и везде, а значит, и для рассматриваемых про­цессов деформирования. Ко второй группе относятся уравнения,которые описывают свойства конкретной среды (в нашем случае —упругой среды). Уравнения этой группы часто называют определя­ющими.Рассмотрим вначале уравнения первой группы.§ ЗЛ. Уравнения равновесия и движенияОграничимся случаем, когда для описания состояния элементасреды достаточно указать только напряжения и деформации. Выве­дем три скалярные уравнения, которые следуют из закона сохране­ния импульса.

Как отмечалось, напряжения возникают в среде по­сле ее деформирования. Поэтому в качестве исходной выберем си­стему координат точек после деформации — систему Οξιξ2ξ}(рис. 3.1). Выделим элементарный объем в виде прямоугольного па­раллелепипеда с ребрами άξλ,ά ξ 2, άξ2 и центром в точке (ξ], ξ2, ξ λ).Пусть σ\, — вектор напряжения на грани А ВС О. Тогда сила, дей­ствующая на эту грань, равнаАналогично сила, действующая на грань А ’В ’С ΌДля суммы данных сил имеемάξχάξ2άξ2.άξ,49Аналогичные выражения будут иметь место и для двух других парграней.

Далее, на элемент может действовать объемная силаΡ (ξ „ ξ 2,ξ ,)ά ξ {άξ2άξ,и сила инерциид2йρ — άξ,άξ2άξз,а7где р — плотность.Суммируя все силы, получим следующее уравнение:Е и + Е и + Ё е. + р = р ? 1 .άξχ άξ2 άξ,ИδΐРис. 3.1Если для компонент напряжений воспользоваться цифровымиобозначениями для индексов, то можно записатьд а и , 6 σ η , δ σ ιιд2Ч\+κ =δΐλδξ,δξ2δ σ η , β σ 22 , δ σ α_δ \■+/% =δ ί1δξ,δξ2δ&( 1)д2иъδ <7,3 ! доГ23 , 6 σ 33+Κ =δί1δξ2δξδξ>При решении задач с использованием данных уравнений возни­кает одна трудность.

Она связана с тем, что в уравнениях в каче­стве «независимых» переменных фигурируют ξχ, ξ 2,ξ 2. По опре­50делению ξχ, ξ 2,ξ 3 — это декартовы координаты материальных то­чек после деформации тела. Поэтому конфигурация тела в коор­динатах ξχ,ξ 2, ξ3 заранее неизвестна (хотя можно поставить неко­торые искусственные задачи, когда данная конфигурация задана).Как правило, исходная конфигурация задается для ненапряжен­ного состояния тела, т. е.

конфигурация в координатах 0х,х2х3. По­этому координаты (ξι, ξ 2, ξ 3) — это уже зависимые переменные,причем в связях (χ], χ 2, χ 3)<τ+(ξ], ξ 2, ξ 3) фигурируют функции, ко­торые заранее неизвестны:ξ. = х, + и.(х,,х2,х 3), / = 1,2,3.(2)Поэтому в уравнениях (1) необходимо перейти к переменным(х19х2, х3) . Можно отвлечься от механического смысла равенств (2)и формально рассматривать (2) как способ задания криволинейныхкоординат ξι, ξ 2, ξ 3 в декартовых координатах х,, х2, х, и наоборот— способ задания криволинейных координат х,, х ,, х3 в декартовыхкоординатах ξλ, ξ 2, ξ 3.Формулы, полученные в главе 2, позволяют определить направ­ляющие косинусы к единичным векторам, касательным к указан­ным координатным линиям. Это позволяет перейти к производнымпо х,, х2, х3.

Полученные уравнения будут нелинейными [4]. По­этому уравнения (1) называют нелинейными уравнениями равнове­сия. Однако если все компоненты деформаций и поворотов малытак, что нелинейными членами можно пренебречь, то уравнения (1)приобретают следующий вид:δσπ д ( Т \2 0σ]3д2и.+++ Г , =- р — χ-;йх3йх,бх2е ед (У \2дх]4-δ σ 22+дх2θσ23■+дх3д2и2= р — ~Р2 ■е ед а п д а 23 δ σ 33д 2и3+++ к ■-= р --- .дх3бх.дх2д(2Система (3) является линейной. Необходимо отметить, что в си­стеме (1), например, компонента σ,, имеет смысл <х,,а , а в уравне51ниях (3) — смысл σ ΛΛ . При малых деформациях и поворотах си­стемы Οξ{ξ:ξз и Ох,х2х3 фактически между собой не различаются.Поэтому под сгп,...

можно понимать напряжения на площадкес нормалью вдоль Охх в теле до его деформации. Более кратко в ста­тическом случае систему (3) можно записать такδ σ ν•+ & = О., σ + Г = 0 .дх,Если тело находится в равновесии, то сумма сил и моментов сил,действующих на тело, равны нулю.

Уравнения означают, что суммасил, действующих на любой элементарный объем тела, равна нулю.Отсутствие момента обеспечивается условием парности касатель­ных напряжений (или условием симметрии тензора напряжений).§ 3.2. Закон Гука для однородного изотропного телаПерейдем теперь к определяющим уравнениям. Предположим,что мы располагаем достаточным числом идентичных экземпляровисследуемого твердого тела. Отметим в теле точку с координатамих,х2х3 и вырежем из тела некоторый образец с центром в точке(х,х,х3).

Данный образец будем нагружать по заданным програм­мам и таким образом исследовать механические свойства тела. Еслисвойства образца не зависят от координат х,х,х3, то тело будемназывать однородным. В противном случае тело называется неод­нородным. Зафиксируем теперь некоторую точку (х,х,х3) и выбе­рем некоторый вектор п .

Вырежем образец в виде прямого цилин­дра с центром в точке (х,х2х3) и образующей вдоль вектора п . Дляразных п образцы будем вырезать из различных экземпляров тела.Может оказаться, что свойства образцов зависят от ориентации п .В таком случае об исходном теле говорят, что оно является анизо­тропным.