1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 6

Новые длины ребер определяются величина­ми относительных удлинений, новые углы между ребрами — вели­чинами сдвигов (рис. 2.3).§ 2.3. Линейный тензор деформацииОбратимся к равенствам (3). Можно ожидать, что теория, в кото­рой фигурируют нелинейные выражения относительно частныхпроизводных, будет весьма сложной. Поэтому сразу можно поста­38вить вопрос о построении линейного приближения к этой теории,которое было бы гораздо проще. Необходимо отметить, что такогорода построения являются типичными для всех прикладных теорийи в действительности только повышают их ценность, а не снижаютее, как это могло бы показаться на первый взгляд (считать, что при­ближенная теория — это некоторый второй сорт по сравнениюс точной теорией — принципиально неверно).В прикладных исследованиях требуются результаты, во-первых,достаточно быстрые, а во-вторых — вполне обозримые.

И глав­ное — теория должна быть достаточно адекватной и точной, но неизбыточно точной. Например, если мы знаем, что конечный резуль­тат — это сумма двух слагаемых и первое слагаемое известно сточностью до десятых, то нет смысла тратить время и силы для вы­числения второго слагаемого с точностью, скажем, до десятитысяч­ных. Данные вопросы носят принципиальный характер, и мы будемк ним еще не раз возвращаться [Д2].Итак, для построения упрощенной теории отбросим в выражени­ях (3) нелинейные слагаемые. В результате получим следующийнабор параметров:диδυδχνβχχ~~δχ' вуу~~ду' в= ~ 7 к ’1 ^ δ υ 5ννΛ1 ди —δ υ λ1( ди еНгЛ— ++ — , е = — ----- г, ех. = —2 ^ δζ2δχ , ** 2 ,δ ζдх ,ду у——или в индексных обозначениях:( 12)Оказывается, что объект (12) представляет собой симметричныйтензор второго ранга.

Причем этот факт не связан с тем, что подра­зумевается, что нелинейные члены малы и, значит, е близкик компонентам объекта £и, о котором мы уже точно знаем, что этотензор. Для компонент (12) мы уже не располагаем инвариантнойквадратичной формой типа (4). Поэтому проведем доказательство,опираясь непосредственно на определение.39Необходимо выяснить закон преобразования набора чисел (12)при повороте системы координат.Подставим выражениядх'= а,.дх.в формулу, _ 1 ди.

ди\-7 2 к дх) + дх, ]В результате получимеи =а,„ат/епт.Таким образом,представляет собой симметричный тензорвторого рангае = е„ё,ёгУпотребление буквы е в разных смыслах к путанице не приво­дит. Однако в последующих главах, где нелинейный тензор дефор­маций фигурировать уже не будет, для обозначения линейного тен­зора будем: использовать букву ε . Объект е называется линейнымтензором деформаций или, если ясно о чем идет речь, — тензоромдеформаций.§ 2.4.

Компоненты вектора поворота.Геометрически нелинейные теории упругостиВектор поворота равен половине ротора поля смещений:в,дсо ——2 дхисо, =δννдиду ' &βνддуυ1 'ди~ 2 кдг40е.дδζννδ\ν( 13)ΐίδ υ,С°г ~ 2ζ Vдхдиду_Через компоненты вектора поворота и линейного тензора де­формаций можно выразить все частные производные перемещенийпо координатам:дидиди= е + ω.= е.= е. ■со.дудхдгдодхС, + ω.до _дуδνν= ег_ - содхд\\>дудо _'' ’&.. +сох ,βνУ* ■-сох ,дм>дгСледовательно, компоненты нелинейного тензора деформацийвыражаются через линейный тензор и поворот следующим образом:= Сл++++(ех/о .-ех:соу) + -(со1+ο χ )....Для остальных компонент структура формул будет аналогична.Предположим, что 10 компоненты линейных деформаций малы, т. е.| е | « 1 и 2° компоненты вектора поворота | <у, | имеют тот же илибольший порядок малости, что и щ | .

Тогда величинами е,у., е1оок,ω\ можно пренебречь по сравнению с ец . Поэтому линейный и не­линейный тензоры деформаций между собой можно отождествить:ε υ « е...иТеории, где учитываются нелинейные слагаемые в представле­нии деформаций, называются геометрически нелинейными.

Можновыделить разные варианты геометрически нелинейных теорий [4].Первый — самый общий, — когда учитываются все нелинейныеслагаемые. Второй случай реализуется, когда деформации ец малы,а повороты велики так, что | е;/1 « 1 и ω] ~ е,у. Тогда8 хх=в хх+~41( С01 + ο χ ),....Возможны и другие варианты. В нашем курсе мы будем рас­сматривать наиболее простой и основной вариант теории, именногеометрически линейную теорию упругости.§ 2.5. Определения векторов поворота и перемещенияпо заданным деформациям.

Тоиэдества Сен-ВенанаВ деформируемом теле вектор перемещения и тензор деформа­ции зависят от координат. Поэтому можно говорить о поле переме­щений и поле деформаций. Будем предполагать, что это достаточногладкие поля. Равенство (12) показывает, что шесть компонент век­тора деформаций определяются только тремя компонентами векто­ра перемещения. Поэтому между самими компонентами деформа­ций должны быть некоторые связи. Технически удобнее их вы­явить, рассматривая другую задачу. Предположим, что имеется не­которое поле деформаций.

Требуется найти соответствующие поляперемещений и поворотов. Эта задача представляет интерес и самапо себе, так как во многих случаях действительно вначале вычисля­ются деформации, а затем по ним определяются перемещения и по­вороты. Итак, пусть задано шесть функций ехх, , ег, (х , у, ζ). Не­трудно заметить, чтоδωχ _ δ 1 δ\νду 2 дхдхд 1 ^δυδζ 2 ν дхд 1 δυδζ 2 дхдидех:дуду.δωχ8 е угд е уудудуδζд<охδζде_ду9д е у.δζ42С'И'ду 2 у дхди )+—де„δζ(14)*Для совместности необходимо и достаточно выполнение трехусловий^ δ ω ^ _ д_да^.Ву дхВх ду 8ζ дхдх Βζд δω.

_ д ΒωχΒζ дуВу Βζ^Подставим (14) в (15) и сделаем круговую перестановку индек­сов х —>у—>ζ —>х. В результате получим следующие шесть условийотносительно деформаций:В2ед 2е„.ду2ΒχΒζд2ег„ д 2е„.·+ ■ВуВг Вхду5ХВ2е=+■δζ2 ВхВудудг8%δχδζ8%Вудг8 \.Вхду5Хдх2еХд2еххΒζ2д 2е.В2е==2Вх2ΒχδζΒγΒζ8%+ Ще*Вх2Ву2=2-д2е_ д_Х-Г- + ду1Βζ2Βζ2=2-(16)8%Вхдуд2е.,_ВуВгТаким образом, если заданное поле деформаций удовлетворяетусловиям (16), то по заданным деформациям можно вычислитькомпоненты вектора поворота ωχ, ων, ω ..

Например:со.г( деϋ8У8е„ λ8ζ )άχ +Гд е Β β λ{ 8уΒζ )άν +ГдеВег \1 8уΒ ζ)άζ + οιЗдесь АВ некоторая дуга в деформируемой области, со°х — компо­нента поворота в точке А (она должна быть задана дополнительно),сох — компонента поворота в точке В. Под знаком интеграла стоитполный дифференциал, поэтому результат от пути интегрирования43•π ιιιμι...... Дин остальных компонент формулы получаются круго........ .I.тонкой.I смерь все готово, чтобы по заданным деформациям и вычис­тим ым поворотам определить поле перемещений. Действительно,из определений получим:ди^и—=хх ’ ду— -едх- со. ,диДля совместности необходимо и достаточно выполнения трехусловий:Все они тождественно выполняются. Иными словами, как и сле­довало ожидать, никаких новых условий на поле деформаций здесьпоявиться не может. Новый момент связан только со степенью про­извола, который появляется при вычислении поля смещений:“( В) =|еххс1х+ (еху- ω.)άγ + (ехг + ων)άζ + и .АВКаждая компонента поворота определена с точностью до кон­станты.

Поэтому смещения можно определить с точностью толькодо следующих линейных функций координат:и ~ и0 —ωζ°γ + ω,°ζ, υ ~ υ° —ωχ°ζ + ωζ°χ, νν ~ νν° —ωχ°χ —сох°у.Постоянные и0, υ° и νν° соответствуют переносу тела как жестко­го целого, постоянные же ωχ°, ω}°, ωζ° — повороту тела как жесткого целого. Полученные результаты имеют ясный механическийсмысл. Рассмотрим теперь смысл условий совместности (16).Обратимся к определению поля деформаций через компонентывектора смещений. Ничто не мешает нам посмотреть на равен­ства (11) как на дифференциальные уравнения относительно сме­щений. Имеем шесть уравнений первого порядка относительно трехнеизвестных функций. Система переопределена. Для ее совместно­сти необходимо исключить три переменные из правых частей.44В результате получим три уравнения, в которые войдут только де­формации.Выше мы получили связи между деформациями другим путем.Ясно, что они должны иметь тот же смысл, что и рассмотренныездесь связи, т.

е. смысл условий совместности уравнений (11). От­сюда сразу следует, что из шести уравнений относительно шестикомпонент деформаций независимыми будут только три. Более то­го, на равенства (11) мы можем теперь смотреть как на общее реше­ние уравнений (16), именно общее решение, в которое входят трипроизвольные функции и, υ, \ν. Действительно, подстановка (11)в (16) приводит к тождествам.В теории упругости удобнее иметь дело не с тремя независимы­ми условиями совместности, а с шестью (зависимыми) условиями.Поэтому ниже мы будем говорить о шести условиях (16). Ониназываются тождествами Сен-Венана. Конечно, на самом деле этоникакие не тождества.

Тождествами, как известно, называются со­отношения типа (а + Ь У - а 2 +2аЬ+Ь2. Уравнения (16) — этообычные дифференциальные уравнения относительно функций е:),зависящих от трех независимых переменных. Однако историческитак сложилось, что данные уравнения называются именно тожде­ствами Сен-Венана, и мы также будем придерживаться этого назва­ния.