1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 5

В результате каждая точка М тела сместится на некото­рый вектор м и займет новое положение М ‘ (рис. 2.1). Компонен­ты вектора смещения в координатах ΟΧΥΖ обозначим через и, ν, νν.Соответствующие координаты точки М* обозначим через ξ, η, ζ.Считаем, что некоторыми внешними условиями положение тела впространстве зафиксировано.Из определения вектора смещения следует, чтоξ=Χ+14(χ,)>, Ζ),η = γ + ν{χ,γ,ζ),( 1)ζ= ζ + \ν(χ,γ, ζ).Как отмечалось, будем использовать также индексные обозначе­ния, понимая под Х \,х2,Х} — *,у ,г , под ξ ], ξ2, ξι — ξ, η, ζ, подЩ, М2, м3— Μ, V, νν И Τ. Д.Иногда удобно тело до и после деформирования изображать не водной и той же системе координат ΟΧΥΖ, а в двух различных си­стемах — Охуг и Οξηζ (рис. 2.2). Тогда акт деформирования (1)можно представить себе как отображение области V, заданной в си­стеме Охуг, на область V", заданной в системе координат Οξηζ.

Обесистемы координат являются, конечно, декартовыми прямоуголь­ными. С другой стороны, ясно, что переменные х, у и ζ являются31криволинейными координатами в декартовой системе Οξηζ инаоборот, переменные ξ, η и ζ являются криволинейными координа­тами в декартовой системе х, у, ζ.Далее, поле перемещений дает исчерпывающее описание кине­матики деформирования тела, если это поле известно. Если же ононе известно, то мы должны поставить вопрос о формулировке урав­нений, которые позволили бы определить все смещения.

Опыт ре­шения задачи об одноосном растяжении стержня показывает, что вуравнениях должны фигурировать не сами смещения, а только от­носительные смещения точек тела. Причем не просто относитель­ные смещения, а только те, которые не зависят от поворота и сме­щения тела как жесткого целого.Последнее требование необходимо пояснить.

Обратимся к рис. 2.2.Преобразование V -» V’ мы могли бы совершить путем смещения иповорота тела как жесткого целого. При этом мы получим некото­рое поле смещений. Но ясно, что такие смещения никакого влиянияна само тело не окажут: никаких изменений ни формы тела, ни егоразмеров не произойдет. Изучение подобных процессов составляетпредмет теоретической механики. Для теории упругости представ­ляют интерес смещения точек тела другого типа, именно гс смеще­ния, которые изменяют форму тела и его размеры, т. е.

меняют самотело. Таким образом, наша ближайшая задача состоит в том, чтобынайти такое описание кинематики деформирования, которое не за­висело бы от смещения и поворота тела как жесткого целого.32Предположим, что деформируемое тело является сплошным.Возьмем две близкие материальные точки тела ΜΝ и точки, лежа­щие на отрезке ΜΝ.

В механике такие отрезки называются матери­альными волокнами, а под близкими точками подразумеваются бес­конечно близкие точки. В результате преобразования (1) волокноΜΝ перейдет в волокно Μ ’Ν * (см. рис. 2.2).При смещении и повороте тела как жесткого целого длина любо­го волокна ΜΝ не изменится: Μ Ν = Μ 'Ν * . И наоборот — измене­ние длины любого волокна будет означать смещения, отличные отжестких. То же будет верно и для квадратов длин. Возьмем этонаблюдение за основу и вычислим величину (Μ ’Ν*)2 - (Μ Ν)2.Здесь необходимо предположить, что смещения (1) являются до­статочно гладкими функциями координат. Предположим также, чтоотображение (1) является взаимно однозначным.

Возможны случаи,когда указанные условия нарушаются. Например, когда в теле воз­никают трещины или когда в результате деформирования некото­рые участки границы тела приводятся в соприкосновение междусобой. Указанные случаи представляют интерес и изучаются от­дельно.Пусть άχ, ά\\ άζ координаты вектора ΜΝ. Тогда, в соответствиис (1), координаты вектора Μ ’Ν ' будут равныδν . (. сНЛθνά η - — άχ+ 1-1---- άν-\------ άζдху ду)дг(2 )Пусть ά8 длина волокна ΜΝ до деформации, а ά8, — его длинапосле деформации. Для упрощения (ά8)2 будем обозначать какά82. Аналогичные обозначения будут и для других переменных.Тогда можно записатьά82 - άΞ2 = ά ξ 2 + ά η 2 + ά ζ 2 - άχ2 - άγ2 - άζ2 == 2(εχχάχ2 + ε .ά γ 2 + ε_άζ2 + 2εχ>άχάν+ 2 ε χζάχάζ+ 2 εν:άγάζ),гдеди 1£χχ ~ ~дх + 2ди V + ί δν V ( θννдх ) Vдх )Vдхду _1 ^ д и }2 г дул2θ>ν++ду + 2 Р у .8\ν 1£-.

= ----- 1--дг 2дидг( 5ν^\+ δζ( δνν(3)+ί1 ди диδν δνδ\ν δ\νдх дудх дудх ду1 ( ди биЛ 1 ди диεΧ7 —ε = — — + — + —” 21δζ д х ) 2 дх дгду дудх дгδ\ν д\удх дгεди ---δν-----1= ε« = —2ду дхε ... = ε .1 ο*ν2 κδζ+ -θι+Ν4-_1 ди диIду у 2 ду δζδν δνδνν дмду δζду δζЕсли для и, х, ... будем использовать индексные выраженияи\,х\, . .. ,τ ο ε χχ, ... будем обозначать как ε π, ... .Таким образом,άΞ2 —άΞ2 = 2εί]άχίάχί == 2(εηδχ2 + ε 22άχ\ + ε ,χάχ\ + ε λ2άχχάχ2 +(4)+ ε 2ίάχ2άχί + ε^άχιάχ1 + ε }>άχ3άχι + ε 23άχ2άχ3 + ε 22άχ2άχδ).Пусть зафиксирована некоторая точка (х, у, г).

Равенство (3) даетшесть чисел, которые вычисляются через производные компонентвектора смещения по направлениям координатных осей. Если пе­рейти к другим координатам, то изменятся и компоненты вектораперемещения и направления дифференцирования. Следовательно,изменится и шестерка чисел (3). Для дальнейших построений нампонадобится закон, по которому меняется набор чисел ε ;у. Данныйзакон легко получить следующим образом. Пусть ё. — единичныеорты вдоль осей Οχ μ34Новую систему координат и все переменные, которые относятсяк ней, будем отмечать одним штрихом. Ясно, что в штрихованныхкоординатах мы придем к той же самой формуле (4):( Ж ) 2 - {ά5')2 = 2ε[άχ]άχ) .(5)Длина материального волокна — это скаляр.

Он будет одинако­вым (т. е. инвариантным) в любой системе координат. Поэтомудвойные суммы (4) и (5) между собой совпадают:ε 1}άχιάχί = ε'„άχ\άχ[.(6)Здесь все индексы — немые. Поэтому (6) — это одно равенстводвух двойных сумм.Связь двух систем координат определяется следующими равен­ствами:(ё,ё*') = ай , ё.,=а1кё'к , р = ак]ё ’к ,где а1к — соответствующие направляющие косинусы.Отсюдаά χ,= αα.άχ[., άχ} = а /тОх'ти, значит,·(7)Данное равенство имеет место для любого материального волок­на, т. е. для любых Ых'к .

Поэтому в (7) можно приравнять коэффи­циенты при одинаковых произведениях άχ\άχ\. В результате полу­чим следующие шесть равенствε' =а а ε .Полученный закон преобразования показывает, что ε.ή — это непросто набор шести чисел (3), а компоненты симметричного тензо­ра второго ранга.Тензор£ =тназывается нелинейным тензором деформаций.Выясним механический смысл компонент этого тензора.Ι|! Οι ищ и н и.ш.н-удлинении и сдвиги' ........ им м.ним удлинением материального волокна ΜΝ назовем|тн' дующее отношение,,ά8.

- с18ά8'Из определения следует, что(с15, )2 - с/52 с!3. - с!5 с/5. + άΞ~ Ε μν(Ε μν + 2 ) .( 8)ά52άΞά8Пусть волокно ΜΝ ориентировано вдоль оси Ох. Величину Ешдля этого случая обозначим как Ехх. Тогда из (8) получим следую­щее уравнение:Ε;χ + 2Εχχ- 2 ε χχ= 0.Отсюдаε „ = Ε χχ+ ^ Ε 2χχ,Е хх= ^ \ + 2εχχ - 1 .Остальные формулы получаются круговой перестановкой индексовх —* у —* ζ —> х .Таким образом, диагональные компоненты тензора деформацийсвязаны с относительными удлинениями, реализуемыми вдоль ко­ординатных осей. При малых относительных удлинениях(Ехх « 1) компоненты деформаций с относительными удлинения­ми — совпадают:ε χχ = Ехх,8уу = Еуу,ε Σ = Е= .Далее, в результате деформирования тела меняются не толькодлины его материальных волокон, но и их ориентация в простран­стве.

Ориентация волокна до и после деформации характеризуетсянаправляющими косинусами Я, μ, ν и λ \ μ , ν*.Разделим обе части равенств (2) наάΞ, =(1 + Ε ΜΝ) ά Ξ .36В результате получим( 9)Иν11+дм> „ δ\νίδχν''— λ-\---- μ + 1ч------ νΕ μ ν ! _ дхду\θζ )Формулы позволяют вычислить ориентацию любого волокна по­сле деформации, если известно поле перемещений и ориентацияволокна до деформации. Этого, однако, для наших целей недоста­точно, так как изменение ориентации волокна может быть связанотакже с поворотом тела как жесткого целого. Следовательно, необ­ходимо ввести какую-то меру, которая характеризовала бы относи­тельное изменение ориентаций волокон.

Такая мера называется сдви­гом. Перейдем к ее описанию.Возьмем два материальных волокна, которые исходят из общейточки (х, у, ζ) и направлены вдоль координатных осей Ох и Оу. Дляпервого волокна имеем А= 1, μ = 0, ν=0, для второго — А= 0, μ - 1,ν = 0. Угол между волокнами равен ж /2. Единичные векторы ΐχ и ίν,направленные вдоль данных волокон после деформации соглас­но (9), имеют следующие координаты:Пусть а п — угол между векторами ίχ , ϊν, а φχν — дополни­тельный угол, т.

е. φχ), - π / 2 - α χν. Тогда скалярное произведениевекторов равно(1 0 )37Ηιί ι ι *ιиιι:ι φχγ, τ. е. угол, на который меняется прямой угол меж-и волокнами, называется сдвигом. Формула (10) раскрывает меха­нический смысл недиагональных компонент тензора деформаций.Если ε χχ, ε π « \ , (рху « 1, то ε χν « φχν / 2 .

Таким образом, недиаго­нальные компоненты тензора деформаций равны половине соответ­ствующих сдвигов.Теперь у нас все готово, чтобы понять, как преобразуется эле­ментарный объем среды в процессе ее деформирования. Возьмемэлементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда.Это означает, что мы рассматриваем преобразования следующейобласти:х0- с к < х < х 0 + άχ, уо~с1у<у<уо + с]у, ζ0-ά ζ< ζ< ζ0 + άζ.Здесь (х0, у 0, ζ0) — центр параллелепипеда, 2с1х, 2с1у, 2άζ — длиныего ребер, ориентированных вдоль координатных осей. В результа­те деформирования элементарный объем испытает перенос и пово­рот как жесткого целого и, кроме того, преобразуется в косоуголь­ный параллелепипед.