1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 4

Второеравенство умножим на р , и также просуммируем по /. Вычтем изпервой суммы вторую. Вследствие симметрии σ ή = σ μ первые дваслагаемых взаимно уничтожаются. В результате получим/ % / / А + Ρ ιΡ Α ,) = А ? / + Р) ) = 0 ·Следовательно, β = 0 и, значит, все решения уравнения (14) —действительны.Предположим, что данные решения различны. Обозначим их какА. Д |, (Т,, су(19)(Что будет, если два из решений или все три решения совпадаютмежду собой, станет ясно из дальнейшего).

Каждому корню (19)соответствует свое значение нормали п :Оказывается, что векторы й (" и п '2' между собой ортогональны.Этот факт также является следствием симметрии тензора. Действи­тельно, в соответствии с (13), имеем(20)Умножим первое равенство на п\2), второе на п\Х), просуммиру­ем по /, и вычтем из первой суммы вторую. Ясно, что( 21)в силу симметрии тензора. Индексы /,у в правой части заменены наг, х, чтобы показать, что в данном равенстве все индексы являются23немыми и, значит, справа и слева в (21) стоят двойные суммы.И з (2 0 )Следует, что( ¢ 7 ,- ( 7 ,) ( ^ ^ + ^ 4 ^ + ^ ) =0 Таким образом, при <т, * ег, векторы й (|), п '2) ортогональнымежду собой. Указанные выкладки переносятся и на пары векторовй (,\ й ,3‘ и « (2), й (3).

Таким образом, общий вывод состоитв следующем: если главные напряжения σ ,,σ ,,σ , между собойразличны, то тензор напряжений имеет три главные направления,которые Между собой взаимно ортогональны.Выберем систему координат, ориентированную вдоль главныхнаправлений тензора напряжений. Выделим элементарный объемв форме куба с ребрами вдоль главных направлений (рис. 1.6). Те­перь можцо утверждать, что на гранях данного куба касательныенапряжения отсутствуют и действуют только нормальные напря­жения σ,, <7,, σ 3.Общий вы1Вод состоит в следующем.

Напряженное состояние вТ(эчке тела хдрактеризуется шестью скалярными величинами σ,,,^ 22^ 33^ 12^ . , , , ( 7,3. Механический смысл их состой! в том, что01Ти определяют компоненты векторов напряжения, действующихгранях куб>а с осями вдоль осей исходной систем ы координат.:егда можно, найти такую ориентацию объема, что на его (раняхУдут действовать только нормальные напряжения (рис. 1.7).24§ 1.4. Диаграмма Мора для напряжений.Максимальные касательные напряжения.Параметр вида напряженного состояния(параметр Лоде — Надаи)Постановка задачи. Пусть некоторое тело находится в равнове­сии под действием внешних приложенных сил.

В каждой точке теладействуют определенные внутренние напряжения. Мы выяснили,что напряженное состояние в некоторой точке полностью характе­ризуется тензором напряжений<т = ст..ёгё ,.(22)Возьмем произвольную площадку с нормалью п . Обозначим через <у „„,тп — нормальное и касательное напряжения, которые дей­ствуют на этой площадке.

Ясно, что, меняя направление п , мы бу­дем получать различные значения σ ηη, τ η. Твердые тела по-разномуреагируют на нормальные и касательные напряжения (например,при переходе из упругого в пластическое состояние, при разруше­нии и т. д.). Поэтому большой интерес представляет полное описа­ние всевозможных значений пар (а т, г„), которые отвечают задан­ному тензору напряжений. Иными словами, необходимо описатьобласть всевозможных значений (сгт, τη) при заданном напряжен­ном состоянии (22). Такова постановка задачи.Перейдем к реш ению задачи. Естественно ввести плоскость сдекартовыми координатами (σ ηη, гя) . Единичная нормаль п имеетдве степени свободы.

С изменением нормали п аффикс точки(σ „η’ τη) очертит определенную область плоскости (σ ηη, τ η) . Необ­ходимо описать данную область. Технически удобнее решать об­ратную задачу. Зададим пару значений (σ ηπ, τη) и будем искатьплощадку (и, значит, вектор п ), на которой реализуется данная па­ра. Если такая площадка находится, значит, заданная точка (σ ηη, г„)принадлежит нашей области, если не находится, — значит, не при­надлежит. Выберем координаты (рис. 1.8) вдоль главных осей тен­зора напряжений.

Тогда вместо (22) имеемσ = егёД .25По форлуле Коши для п =получимσ " = σ ·" = стДё, ·пкёк = а ё Д кпк = ст.л.ё, + а 2п2ё2+ ст3и3ё3.Так как|σ„|2 =Γ„: +σ;„,σ-„„=σ„«,тоσ]η; + σ \η \ + σ \η \ = г2 + σ 2„σ ι«ι + σ 2Μ2 + σ 3«3 = σ„„,л,+ л2 + л3 = 1.ОтноситеГ1ЬНО п^ п* щ данная система линейна. В первом урав­нении коэффициенты ПрИ уКазанных неизвестных стоят в квадрате,во втором УРавнении — в первой степени и в третьем — в нулевой.То же относ},тся и к свободным членам (без г„).

Этим обстоятель­ством можно воспользоваться таким образом [3]. Умножим первоеуравнение на а = \ ^ второе на Ь, третье на с и сложим все. В резуль­тате получим(ст2 + 6σ, + с)и2 + (σ \ + Ьа2 + с)п\ ++ (σ; + Ьаг + с)п\ = ( σ 2„ + Ьапп + с) + г2Вспомним, что для любого квадратного трехчлена(23)Γ (ζ) = ζ 2 +δζ + с = (ζ - ζ, )(ζ - ζ2),где ζ ,,ζ 2к'орни. Возьмем Ь и с такими, чтобы ζ, = ег,, ζ2 = <т3.То. да равенств^ (23) примет следующий вид:~)(<т, - сг3)л,2 = (σ„„ - σ 2)(σ„„ - σ 3) + г2.26(24)м|Предположим, что все главные напряжения различны и ранжи­рованы следующим образом:< σ, < σ ,.Что получится, если два из них или все три совпадают между со­бой, будет видно из дальнейшего.

Из (24), (25) и аналогичных ра­венств для п\, п: следует, что2σ 2 + σ 3Ν _μ г2 ί σ 2 - σ 3Ϊ+ г»2 ·)(σ, - σ 2)(σ, - σ 3)2( σ ηη σ · +Λσ 3] + г 2+ Γη1 2 ^1 )2- ^(26)( σ , - σ , Χ σ , - σ 3)σ, + σ 2-+г —σ, - σ γ«3 =(σ 3 ~ σ ι)(σ3 - σ 2)Таким образом, если σ„„, г„ таковы, что все правые части в (26)неотрицательны, то площадка, на которой реализуются данные зна­чения напряжений, найдется. Если нет — то площадка не находит­ся, и точка (сгяя, г„) области допустимых значений не принадлежит.Легко заметить, что числитель в первом равенстве соответствуетполуокружности с центром в точкеσ= σ 2+&3и радиусом ( σ , -сг?) / 2 . Следовательно, окружность проходит че­рез точки σ ηη - σ 2, а т = <т3, г = 0 (рис.

1.9). Знаменатель положите­лен, поэтому область находится вне полуокружности. Аналогичноиз условия п\ > 0 следует, что область лежит вне полуокружности,27проходящей через точки σ ηη= σ ι, σ 2, τ η = 0 , а из условия>Оследует, что область лежит внутри полуокружности, проходящейчерез точки а т = σ ι, σ 3, τ η = 0 . Область, изображенная на рис.

1.9,называется Диаграммой Мора.г.0σОп.пРис. 1.9Таким образом, у нас теперь есть возможность наблюдать одно­временно напряжения на всех площадках элементарного объема,подверженному действию трех главных напряжений σ,, σ ,, <т3. Чтомы видим? Во-первых, видно, что нормальные напряжения имеюттри экстремума, равные σ,, σ,, сг,. Экстремальные значения реали­зуются на площадках, где касательные напряжения равны нулю,т. е.

на площадках с нормалями вдоль главных напряжений.Далее, видно, что касательные напряжения также имеют три экс­тремума:7· _ σ ι σ ισι ~ σ :2Рассмотри^ абсолютный экстремум Г13. Для негоПодставляд данные значения в (26), найдем ту площадку, на ко­торой действуют максимальные касательные напряжения. Нетруднопоказать, что28Таким образом, площадки проходят через направление σ, и делятпополам углы между осями σ, и сг, (рис. 1.10). Или по-другому:имеются две площадки, на которых действует максимальное каса­тельное напряжение Т1г = (σ, -с г ,)/2 .

Эти площадки ортогональнымежду собой и составляют с осями σ ,,σ , угол л 7 4 (45°). Нормаль­ные напряжения на данных площадках равны (σ, + σ ,) /2 . Аналогич­ные результаты получатся и для экстремальных напряжений Тп и Т,3(рис. 1.11, 1.12).В механике твердого тела большую роль играет параметр, равный2σ, ~(σ, + σ,)σ ,-σОн называется параметром Лоде — Надаи, или параметром виданапряженного состояния. Рассмотрим его механический смысл.",Рис.

1.10Рис. 1.11·>",",Рис. 1.1229Наложим на данное напряженное состояние гидростатическоесжатие, т. е. заменим σ ,,σ 2, σ 3 на σ, + р, σ 2 + ρ, σ 3 + ρ . От этойоперации вся диаграмма Мора сместится как жесткое целое либовправо при р> 0, либо влево при р< 0 .

Параметр Лоде — Надаиостанется неизменным. Заменим теперь σ χ, σ 2, σ 3 на к а х,к а г, к а 2.При к > 0 это даст преобразование подобия диаграммы Мора, приА< 0 — подобие и отражение относительно оси 0 г ; . В обоих слу­чаях параметр Лоде — Надаи останется неизменным. Из определе­ния данного параметра следует, что- \ < μ σ < \.Нетрудно понять, чему соответствуют крайние и среднее значенияμσ . В случае одноосного растяжения имеем:σ, = р > 0, σ, = О, σ 3 = 0 и μ σ - - 1 .При одноосном сжатииσ, = 0, σ 2 = 0, <т3 = р < 0 и μ σ = 1.Присг, = г > 0, σ 2 = 0, σ 3 = - τ , μ σ = 0 , μ σ = 0 .Ниже будет показано, что последний случай соответствует кручению.Теперь нетрудно понять, что будет, когда пара или все главныенапряжения совпадают между собой.

Пусть σ 3 <σ, и σ 2 —>σ, илиσ , . В этом случае диаграмма Мора вырождается в полуокружность.Если же σ, —> р, σ 2 —» р, сг, —> р , то диаграмма Мора вырождаетсяв точку сги = ρ , τ η= 0 . Это состояние называется состоянием гид­ростатического сжатия, или состоянием всестороннего сжатия.(При р> 0 фактически реализуется всестороннее растяжение).В этом случае все направления тензора становятся главными и навсех площадках действуют одинаковые нормальные напряжениясгт = р .

Касательные напряжения на всех площадках отсутствуют.30Глава 2. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ§ 2.1. Нелинейный тензор деформацийПусть ΟΧΥΖ — исходная декартова система координат. В этойсистеме задано тело V. Обозначим через х ,у , ζ декартовы координа­ты некоторой точки М. Нагрузим тело внешними силами и зафик­сируем их.