1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 3

(Первый индекс всегда относится кнормали, второй — к направлению проектирования.) Если векто­ры η , т ориентированы вдоль осей декартовых координат, то обо­значения упрощают.Пусть ё£, ёг/, ё. — единичные орты вдоль координатных осей.Вектор напряжений на площадке с нормалью ё{ обозначается какσ ί , его проекции на вектора ё( , ёГ), ё- — как σ ξξ, σ ίη, σ ί; . Компо­нентыназываются нормальным напряжением, а компонентыσ £η, σ ξ, — касательными напряжениями.

Аналогичные обозначенияпринимаются и для площадок с нормалями ёп и ёс (рис. 1.3):°с = <га ё; + σ ξηΈη + σ £ζεζ = {σ„, σ ξη, σ ξζ},°п = σ , Λ + σ -,Λ + σ η & = Κ ί . σ „η’ σ „Λ’σ ζ - σ ςξΈξ + σ ζηβη + σ ςςβς = {σα , σ ζη, σ ζζ}.Там, где удобно, вместо буквенных индексов ξ , η, ζ будем ис­пользовать цифровые обозначения 1,2,3.

Тогда последние равен­ства можно переписать следующим образом<Т| — СцС, +(Т2& 2 \^ ξ<т3 —апе2 -Г сг 13е 3 — { & и , <т|2, сг13},^22^2^23^*3{^*219 ^ 2 2 ’ ^*2 3 } 5(^ )+ сг22е2 + σ 33β3 —{сг3|, сг32, сг33}.Если компоненты (6) записать в виде матрицы, то нетрудно по­казать, что матрица будет симметричной. Это следует из условия на16моменты. Возьмем элементарный объем с размерами ά ξ χ ά η κ ά ζ(рис. 1.4). Рассмотрим моменты сил, поворачивающих объем вокругоси Οη . Момент силы, действующей на грань АВСО, равенЗдесь с/ξ / 2 — плечо, а напряжение, умноженное на элемент пло­щади ά η ά ξ , — это сила.

Знак «-» поставлен потому, что приσ<. > 0 момент действует по часовой стрелке. Для грани £>ССХ)’момент равен(Р<1ζλ.ρ , с/ ζξ ,Π ,— <1ξάη—ζ~ ■Λ2 )2Аналогичные выражения будут и для двух противоположных гра­ней. Приравняем их сумму нулю и устремим размеры элементак нулю. В результате получим, что σ α = σν · Таким же результатбудет и для двух других осей:σ ξη=σ ηξ’σ ίζ=σ ζξ’σ ηζ~σ ζηили в индексных обозначениях(7)Ζσ0Рис. 1.4Равенства (7) называются условиями парности касательныхнапряжений (иногда — закон парности касательных напряжений).17При выводе (7) мы предполагали, что напряжения по грани элемен­та распределены равномерно. Нетрудно показать, что учет нерав­номерности распределения напряжений, в том числе и моментов отнеравномерного распределения нормальных напряжений резуль­тат (7) не изменит. Результат (7) не изменится также и в динамиче­ском случае.Однако условия (7) нарушатся, если отказаться от предположе­ния о том, что все моменты в теле создаются только действующиминапряжениями.

В более общих теориях предполагается, что на каж­дую элементарную площадку тела действуют не только нормальныеи касательные напряжения, но и распределенный момент. Теорииэтого типа называются моментными теориями упругости [Д1] ив настоящем курсе не рассматриваются.Итак, матрица, составленная из компонентов (6), является сим­метричной. Поставим теперь основной вопрос. Пусть известны всекомпоненты напряжений (6). Можно ли по ним определить напря­жения, действующие на площадке с произвольной наперед задан­ной нормалью я ? Ответ на данный вопрос является положитель­ным и приводит к формуле, которая имеет фундаментальное значе­ние.

Перейдем к ее выводу.Пусть нормаль п имеет следующие компонентып = яД + яД 2 + п3ё3 = я Д , п~ + п2 + п\ = 1.Выделим в теле элементарный объем в форме пирамиды, пока­занной на рис. 1.5. Все тело вне пирамиды отнесем к устройствунагружения данной пирамиды. Грань АВС выбрана так, что нормальк ней совпадает с я . Опустим из точки О перпендикуляр ΟΌ насторону АВ. Соединим ϋ с вершиной пирамиды С. По теоремео трех перпендикулярах отрезок СО ортогонален АВ.

Обозначимчерез а угол СОО. Ясно, что сова = я3 и 5олв - 5 сова = Уя,, где 5 и$олв — площади граней АВС и ОАВ. Сила, действующая на граньАВО, равна напряжению σ . , умноженному на площадь ОАВ, т. е.σ .Вгц . Учитывая (5) и обозначение ё, = ёъ, выражение для силыможно записать так: - σ 2Βη} .18Аналогичные выражения будут иметь место и для граней ОВС иОАС. Сумма сил, действующих на пирамиду ОАВС, равна- σ ^ η ^ Β - σ 2η28 - σ 3η3Β + σ β + Ρν = 0 .(8)Здесь V — объем пирамиды, ¥ — объемная сила, т.

е. сила, дей­ствующая на единицу объема пирамиды. Это может быть сила тя­жести, сила инерции и т. д. Главное, что мы считаем, что при5 —»0, V —>0 эта сила остается ограниченной. Пусть все размерыпирамида уменьшаются так, что все ее углы остаются неизменны­ми. Тогда V I 5 —>0 и из (8) получаем<Т„ =(7,/7, + сг,/?, + σ 3η}.(9)Данная формула полностью решает проблему описания вектор­ной функции векторного аргумента <у ( п ) . Оказывается, эта функ­ция имеет только шесть степеней свободы и однозначно описывает­ся шестью скалярными величинами (6), т. е.

величинами σ,; .Рассмотрим некоторые следствия из формулы (9). Запишем σ„через сг . Подстановка (6) в (9) даетσ„=(σ„/7, + σ 21η2 + <г„/73)ё, ++ (σ,2Η, + σ 22η2 + сг32/73)ё, ++ (σ 13«, + σ 13η2 + (τ,,/ϊ, )ё, = σ,,./7,6..19Возьмем некоторый единичный векторт = тхё{ + т2ё2 + т2ё2 - ткёк .Вычислим проекцию σ„ на т :σ „„, =σ„τή = а цп е т кёк = а п т к51к = а ^ п п г .( 10)Как обычно, при записи различных сумм знак £ будем опускать.Везде будем предполагать, что суммирование осуществляется толь­ко по немым индексам, т.

е. индексам, которые фигурируют в однойчасти равенства и не фигурируют в другой. Поэтому в случае необ­ходимости в уравнениях у нуля будем ставить соответствующиеиндексы. Если не оговаривается противное, то все индексы будутпринимать значения 1,2, 3. Например, Д = 0 будет означатьА\ +А2+А ) - 0 ,а запись А, = 0, будет означать три уравнения,4, = 0 ,Л2= 0,Л 3= 0.Полученная формула (10) позволяет найти компоненты напря­жений в произвольных координатах. Действительно, выше черезσ η были обозначены напряжения на гранях элементарного куба,ориентированного вдоль осей системы 0ξχξ2ξ3. Введем новую си­стему координат 0ξ'ξ'2ξ2, повернутую относительно исходной си­стемы известным образом.

На гранях соответствующего элементар­ного куба будут действовать свои напряжения σ',.. Формула (10)позволит вычислить любую компоненту σ'η через компоненты σ Γ .Действительно, направим вектор п вдоль оси 0£,' и положимт = п . Тогда формула (10) дает выражение для компоненты сг',.Если вектор п направлен вдоль оси 0ξ[ , а т вдоль оси 0ξ2, то по­лучим выражение для компоненты σ ', и т. д. Структура формулпоказывает, что объект, описываемый шестью компонентами σ, ,представляет собой симметричный тензор второго ранга.

Его удоб­но представить в следующем виде:20<т —(т^бб^ —сгие,е1++ <Упеъег + (т^в1е1 +^ 21^2^1 ^ Зе,е3 + σ 3163β, + <У2ъ^г^ъ ^ 32^3^2 ·Тогда формулу (10) можно записать как скалярное произведениеIонзора σ на векторп = пкёк =+ п2ё2 + п2ёъ, σ η ~ σ · η .(11)Техника умножения следующая:σ„ = сг.ё.ё/ · и*ё* - а ^ п к(ё& ) = а 0ё,пкд.к = а п ё , .Формула (11) называется формулой Коши. Она позволяет, знаяюнзор напряжений σ , вычислить вектор направления на любойплощадке с нормалью п . Меняя ориентацию площадки, т.

е. ме­няя ή , мы будем получать различные векторы σ η.§ 1.3. Инварианты и главные направлениятензора напряжений. Главные напряженияПоставим следующий вопрос: существуют ли такие площад­ки п , на которых действуют только нормальные напряжения?Иными словами, существуют ли площадки, на которых касательныенапряжения отсутствуют? Ясно, что для определения п должнывыполняться условияст„=Яй,( 12)где Л — пока неопределенная величина нормального напряжения.Подстановка (12) в (11) приводит к следующей системе:(σ,, - Л)и, + σ ,2η2 + σ 13«3 = 0,σ Ι2η, + (σ 22 - λ )η 2 + σ ηη2 = 0,(13)σ 13я, + σ 23«2 + (σ 33 _ Л)п} = 0.Система имеет нетривиальное решение, если ее определительравен нулю:■И- Лσ,°,2σ.σ22λСТ,2&2321σ η·Раскроем определитель.

В результате получим( 14)-Л 3 + 3,Л: - з 2л + з } = о ,гдеУи + σ η + σ 33,32=σ ιισησ \2σ 2Ισ ι,+σισ,.σ ΐ3 σ 33σ ΐ2σ !3•} ъ = σ ι2СТ22^23σ ,3°21*33+^22^*23σ 27>^33(15)Величины 3 ,, 3 3 , представляют собой три независимых инвари­анта тензора напряжений. Ясно, что любая функция инвариантов/ ( 3 ^ 3 -,,./,) также будет инвариантом тензора. Выбор конкретныхинвариантов определяется механическим смыслом той или инойзадачи.Далее, любое кубическое уравнение имеет три корня, один изкоторых будет обязательно действительным. Для симметричного жетензора действительными будут все три корня.

Доказательство это­го факта не представляет больших трудностей [2]. Предположим,что решение уравнения (14) есть комплексное числоЛ - α +ίβ .(16)Пусть этому значению Л отвечает некоторое решение системы (13):Щ = Р\ + Щ\,пг = р 2 + гц2,»з = Ръ + ЩУБолее компактно систему можно записать так:( ^ , - ^ ) ^ = 0,..(17)(18)Напомним, что в правой части 0, означает, что суммирование влевой части идет только по немому индексу у. По / суммированиянет, и поэтому в записи содержится три уравнения для /'= 1, 2, 3.22Подставим (16), (17) в (18) и приравняем нулю действительную имнимую части.В результате получим(σ :ι- α δ ιι) ρ ι + / * ? Д = 0, ц,К~ а д„)д, - βρ ,8Ц= 0, р , ‘Умножим первое равенство наи просуммируем по /.