1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 2

Растянем их одновременно на ве­личину и (рис 7).р =/Рис. 79В соответствии с (1), каждый из стержней окажет сопротивлениеР = /(н ). Поэтому общее усилие растяжения будет равно 2/(и). Ноэти два стержня можно расположить вплотную и рассматривать какодин стержень с площадью поперечного сечения 250. Диаграмма егорастяжения показана на рис.

5 в.Здесь подразумевается, что соприкосновение точек А+ и А~ присближении стержней на результатах опыта не отразится. Поэтомустержни должны деформироваться строго одинаково. Условия ихзаделки не должны препятствовать их сужению и, кроме того, рас­тягивающая сила по сечению должна распределяться равномерно.Из тех же соображений симметрии можно заключить, что если висходном образце сделать бесконечно тонкие вертикальные разре­зы, то на диаграмме растяжения это никак не отразится.

Указанныевыше процедуры можно делать сколько угодно раз. Отсюда можносделать два вывода: диаграмма растяжения от конфигурации сече­ния стержня не зависит, а зависит только от его площади; причемзависимость от площади является линейной. Поэтому вместо равен­ства (4) можно записатьилиσ =/(ε ),(5)гдеσ - — , ε =— .5„А)Таким образом, диаграмма (5) зависит только от свойств матери­ала образца и не зависит ни от его длины, ни от площади его попе­речного сечения. Иными словами, если нас интересуют толькосвойства материала как такового, то экспериментальные данные мыдолжны обрабатывать не в терминах Р - и , а в терминах Р /5 0-и /1 0.Первое отношение называется напряжением, второе — деформацией.Теперь основной вывод можно сформулировать следующим об­разом: для корректного описания поведения деформируемого мате­риала надо оперировать не понятиями сил и перемещений, а поня10Ι Ι Ι Ν Μ Η напряжений и деформаций.

Цепь рассуждений, которая приН«·аа к ному выводу, может показаться довольно элементарной.I Ииам> исторически именно этот шаг — переход от сил и переме­ни мни к напряжениям и деформациям был основным для всей ман МН1МЧССКОЙ теории.Диасе, если проследить весь переход от (1) к (5), то нетрудно заΜΐ 1и и.

что факт именно упругого поведения нигде не использовал• и Но ошачаег, что и неупругое поведение также должно описы1П1Н I и и терминах «напряжения-деформации».Iсмерь о размерностях. Силы и перемещения имеют размер­ное и. ньютонов и метров. Следовательно, деформации будут веяичинями безразмерными, а напряжения будут иметь размерность111·« и,шей (н/м~).Рассмотренные выше выводы имеют принципиальный характер,........носятся к весьма частным условиям нагружения. Для исследоιι,ιιιιιιι произвольных случаев необходимо построение общей теории.Минчане рассмотрим теорию напряжений.Глава 1.

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ§ 1.1. Определение напряженийВо введении мы выяснили, что процесс деформирования твердоготела должен описываться не в терминах «сила-перемещение», а втерминах «напряжение-деформация». Выше эти понятия были вве­дены для одноосного растяжения. Рассмотрим теперь общий случай.Пусть ΟΧΥΖ — исходная система декартовых координат. В нейзадано некоторое тело. Приложим к телу внешние нагрузки и за­фиксируем их. Данные нагрузки вызовут некоторое перемещениеточек тела. Предположим, что при фиксированных внешнихнагрузках данные перемещения также зафиксированы, т. е. во вре­мени не меняются (фактически это некоторое определение нашегообъекта исследований — деформируемого твердого тела.

Ниже бу­дет дано более строгое определение упругого тела). Внешниенагрузки могут иметь характер массовых тел (например, вес, цен­тробежные силы), а также поверхностных сил, которые действуютчерез непосредственный контакт с другими телами.Декартовы координаты материальных точек тела до деформациибудем обозначать через (х, у, ζ), а после деформации — через (ς, η, ζ).Там, где удобно, будем пользоваться также индексными обозначе­ниями:(х, у, ζ)<-> (χ,,χ2, χ 3),( ξ , η , ζ ) ^ ( ξ ι, ξ 2, ξ 3).Подробнее см.

главу 2. В настоящей главе рассматривается телопосле деформации. Поэтому его необходимо отнести к декартовымкоординатам Ο ξ η ζ , или Οξιξ2ξ3.Выделим внутри тела прямой цилиндр (элемент) малой высоты И(рис. 1.1). Пусть 5 — площадь оснований цилиндра, А и В — центрыоснований, п — внешняя единичная нормаль в точке А. Очевидно,что вектор внешней единичной нормали в точке В равен (-й ).12//¾χ,оРис. 1.1I смерь мысленно отнесем все тело вне цилиндра к устройствумш ρν жения.

Это расширенное устройство действует на поверхностьи массу цилиндра определенными силами (рис. 1.2). В состоянии|и|||||оиесия сумма всех сил, действующих на тело, а также момен·«и» них сил, равна нулю. Займемся сначала первым условием. Обонычим через РА, Рв и Рв поверхностные силы, которые действуютни основания А, В и боковую поверхность цилиндра, через Си —массовую силу.

Тогда(1)П<тпРис. 1.2Рассмотрим теперь ряд цилиндрических тел, которые имеютфиксированное основание Л и высоту И—>0. Предположим, что ингенсивность массовых сил (сила, отнесенная к массе) ограничена.13При /7 —>0 объем тела Бк также стремится к нулю. Если в теле нетсосредоточенных масс, то из условия к —>0 следует, что и Сн —>0 .Далее примем, что поверхностные сосредоточенные силы также от­сутствуют. Иными словами, в качестве исходной посылки примем,что условие Бк —>0 влечет за собой и Рн —>· 0 (Бк ~к — боковая по­верхность). Эти исходные положения имеют под собой следующиеоснования.

Ясно, что если допустить их нарушение на бесконечномколичестве точек, то придется иметь дело с бесконечно большимисилами. Это — экзотика, которая большого интереса не представля­ет. Исключение для отдельных точек рассматриваются особо.И'гак, в качестве исходных постулатов примем, что при к -» 0О,0.Тс)гда из ( 1) следует, что при к —» 0РА + Рв = 0 или РА= -Р В(2)(«действие равно противодействию»).Рассмотрим теперь еще одну последовательность цилиндрическихтел. Пусть точка Л и нормаль п являются для тел этой последователь­ности общими, а направляющая цилиндра постепенно стягивается кточке А (Б —> 0 ). Будем считать, что при 5 —» 0 также и РА —>0 та­ким образом, что отношение РА/Б имеет конечный предел:Ит ^ - = а А, |σΛ| < оо.(3)5—>0 5А 11Для принятия ограничения (3) есть достаточные основания.Во-первых, ясно, что если отказаться от условия (3) на множестветочек с конечной мерой площади, то придется иметь дело с бесконечны!ми силами.

Если же мера равна нулю, то силы могут бытьконечными. Однако исследование таких ситуаций для множествболее-.менее сложной структуры интереса не представляет. Дляприложений имеют значения только те случаи, где ограничение (3)нарушается либо на отдельных линиях, либо в изолированных точ­ках. Т&кие случаи рассматриваются особо.Отметим, что все построения сохранятся и в случае, когда рав­новесия нет.

Здесь в правой части появляется сила инерции М иа ,где М’к — масса элемента, а — ускорение его центра масс. Если14Λ—»0, то М иа также как и Он, стремится к нулю. Поэтому вывод(2) не меняется. Из (2) и (3) следует, что&в = - ° л ■(4)Предел (3) называется напряжением.

Вектор напряжения σ А за­висит от точки, в которую стягивается элемент, и нормали п . По­этому о нем принято говорить как о напряжении в точке А на пло­щадке с нормалью п . Зависимость от нормали обычно указываетсяиндексом п , а зависимость от точки — как обычная функция коор­динат:σ Α= σ,χΑ ) = Τ (η ,Α ).(5)Из (4), (5) видно, чтоσ ——σ .Предположим вначале, что точка И либо зафиксирована, либотело нагружено так, что зависимости от координат нет (однородноенапряженное состояние). Тогда напряжение представляет собойвекторную функцию векторного аргумента:σ„ = Р { п ).Например, при растягивании стержня (см.

рис. 4 введения) наплощадке /?, будут действовать определенные напряжения, а на- /7Пплощадке п2 напряжений нет:^("ι) = 7Γ"η^(й,) = 0 .То обстоятельство, что напряжения оказались зависимыми отнаправления, могло бы существенно осложнить всю теорию. К сча­стью, оказалось, что природа этой зависимости весьма проста. Пе­рейдем к ее исследованию.§ 1.2. Тензор напряжений. Формула КошиВначале условимся относительно некоторых обозначений. Про­екцию вектора σ η на произвольный единичный вектор т будемобозначать сг„„: σ ηιη - (σ η ■т) .